数学归纳法及其证明（读书笔记—

它的证明挺简单的，我就是想提升一下B格所以po出来。

数学归纳法：

证明一整个无穷多个数学命题：

$A_{1},A_{2},A_{3},...$

1)通过某些数学论证证明了：如果 $r$ 是任意正整数，且如果命题 $A_{r}$ 已知是真的，则可推出命题 $A_{r+1}$ 也为真。

2)如果已知 $A_{1}$ 为真。

那么整个序列都为真。

数学归纳法的证明：

首先介绍一个最小自然数原理：任何一个非空正整数集都有最小元素。

我们考虑任意一系列命题：

$A_{1},A_{2},A_{3},...$

使得：

1)对于任一正整数 $r$ ，命题 $A_{r}$ 是真，则 $A_{r+1}$ 也为真。

2）已知 $A_{1}$ 为真。

利用反证法：假设在这一系列命题中，存在一个 $A_{n}$ 为假。那么，使得 $A_{1},A_{2},A_{3},...$ 不为真的全体正整数集合就不是空的，因为这个集合里面至少有一个 $n$ 。那么，由于最小自然数原理，这个集合里面一定包含一个最小整数，假设为 $m$ 。由于已知 $A_{1}$ 为真，所以 $m>1$ 。可是 $m>1$ ，那就意味着， $A_{m-1}$ 为真，而 $A_{m}$ 不为真的情况。与第一条假设矛盾。

所以数学归纳法为真。

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