一、静电场的标量位

由 $\triangledown \times \vec{E} = 0$ 可知，静电场为保守场，即

$\vec{E}(\vec{r}) = -\triangledown \phi(\vec{r})$

静电场的标量位需要一个参考点，使各点的电位值唯一。一般来说，对于分布在有限区域内的带点系统，零电位的参考点取在无穷远处。

将单位电荷在电场中从P点移动到Q点，外力最少需要做的功为 $\phi_P - \phi_Q$

点电荷的标量位 $\phi(\vec{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r_s}$ ，单位：V

二、电偶极子

几何近似关系（ $r_s\gg d$ ）： $r_{+} = r_s - \frac{d}{2}cos(\theta)$ ， $r_{-} = r_s + \frac{d}{2}cos(\theta)$

$\phi_{+} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r_{+}}$

$\phi_{-} = \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0r_{-}}$

叠加原理：

$\phi = \phi_{+} + \phi_{-} \\ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-} \right ] \\ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r_- - r_+}{r_+ r_-} \\ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{d cos(\theta)}{r_s^2 + \frac{d^2}{4} cos^2(\theta)} \\ \approx \frac{qdcos(\theta)}{4\pi\varepsilon_0r_s^2} = \frac{pcos(\theta)}{4\pi\varepsilon_0r_s^2}$

$\vec{E} = -\triangledown \phi \\ = - \frac{p}{4\pi\varepsilon_0} \left \{ \frac{-2cos(\theta)}{r_s^3} \hat{i_{r_s}} + \frac{-sin(\theta)}{r_s^3} \hat{i_{\theta}} \right \} \\ = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0r_s^3}\left ( 2cos(\theta) \hat{i_{r_s}} + sin(\theta) \hat{i_{\theta}} \right )$

三、电场标量位的微分方程

$\triangledown \cdot \varepsilon_0 \vec{E} = \triangledown \cdot \varepsilon_0 (- \triangledown\phi) = - \varepsilon_0 \triangledown \cdot (\triangledown\phi) = - \varepsilon_0 \triangledown^2 \phi = \rho$

泊松方程： $\triangledown^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

四、电场标量位的边界条件

1. 一般边界条件

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