从傅里叶级数到小波变换——step1.复数域的重要结论（柯西

（一）柯西—黎曼条件

设f(z)为一个复数函数，对其求导，若即f‘(z)存在，那么在复平面坐标系中，不论从实轴还是虚轴趋近于一个点z0，得到f(z)的导数表达式也会趋近于相同。

令 z=x+yi且f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

与实数域的导数定义相同，复数域的导数定义为

则当沿着x轴趋近于z0时，z-z0= $\Delta$ x，则

当沿着y轴趋近于z0时，z-z0=i $\Delta$ y，则

上两式中实部与实部对应，虚部与虚部对应相等，则可得到柯西—黎曼条件，即

柯西—黎曼方程是函数在一点处可微的必要条件。

（二）性质

在复平面的一个区域D 内，如果函数 f(z)处处复可微，即满足柯西—黎曼关系，那么它就是一个解析函数。

（1）在解析区域内，任何复变函数的轨道积分等于零，即,其中f(z)为复数函数。求点

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