关于小波变换的一些理解

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1、小波与傅立叶变换

任何学科都是由一门基本学科积累发展起来的，要做到学好用好，就得把基本学科的概念、原理理解透、掌握好。小波变换是由傅立叶变换的基础上发展起来的，其前身是短时傅立叶变换。所以，如果傅立叶变换没有学好（深入理解概念），是难以学好小波的。同样地，如果第一代小波变换没学好，也学不好第二代小波变换。不过若注重于编程应用，对基础原理的掌握要求就没那么高了。没学好傅立叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换，这个答案是肯定的。编程应用，只要能理解透算法，就可以相对容易的利用熟悉的程序语言编写实现。所以，要学好用好小波，还是得踏踏实实从最基本的傅立叶变换学起。

2、基的概念

学习小波，我们首先要明确的是基的概念。基相当于人体的骨骼，支撑其整个函数（信号）空间，信号可以分成无穷多个基的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅立叶变换的基对应于定义在0-2pi区间上的标准正交基，而小波变换是负无穷到正无穷之间的基。因此，小波在实轴上是紧支撑的。而傅立叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波函数能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理，即时频能量守恒定理。

3、离散化的处理

傅立叶变换，是一种数学的精妙描述，简洁易懂。但计算机实现，却需要进行离散化处理，一步步把时域和频域离散化开来。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅立叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅立叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅立叶变换（DFT）。需注意的是，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。

至于小波，所有满足容许性条件（从负无穷到正无穷积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，对于时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度因子a和平移因子b的小波，与原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，平移量离散化，即离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，就有了小波采样定理。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域离散，在满足频域窗口中心是频域窗口半径3倍的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不集中，所以只是近似二分的）。这时的小波变换，称为离散二进小波变换。第三步，引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。满足稳定性条件后，也就是一个小波框架产生成了可能。他是数值稳定性的保证。

4、快速算法

如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令人不得不佩服的快速傅立叶变换（FFT）。这里主要说的就是FFT的时频对应关系，也就是算法的来源。根据时域卷积定理，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅立叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅立叶变换。这里，可以看出，圆周卷积和离散傅立叶变换，可以说是一家子的。快速傅立叶是离散傅立叶的快速算法。因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然后就是快速傅立叶变换，频域相乘，最后反快速傅立叶变换。当然，如果我们需要的就是圆周卷积，那我们也就不用多此一举的补零。这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX，这里的A是循环矩阵。但不幸的是A仍然是满阵。另外提一下，MATLAB自带的FFT函数是用机器语言编写的，其计算速度是其他程序语言难以望及的，因此，如果要用MATLAB语言或者C语言实现FFT，就要忍受一下其相对较慢的运算速度了。

小波的快速算法，MALLAT算法，是一个令人振奋的东西。它很好地描述了多分辨率分析（多尺度分析）的本质，并且由此使多分辨率分析推广开来。很形象地说，算法是这样一个过程，在一个较高的尺度（细节）上作离散小波变换，得到了一个小波系数序列（矩阵），如果想得到比它尺度低的小波系数（概貌），就不用再计算内积，只是把较高尺度的小波系数与低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是，算法的推导过程是在整个实轴上进行的，即把信号看成无限长的，这个假设比较强，经常需要对信号进行延拓。还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积，才可以使用此算法。因此，我们开始简化，并扩展此理论：

第一，我们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。（这是可以的，因为小波很瘦时，和取样函数无异）；

第二，我们把原来的卷积，换为圆周卷积。这和DSP何尝不一样呢？他的物理意义，就是把信号作周期延拓（边界处理的一种），使之在整个实轴上扩展。

这种算法一个迷人的优点是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。正变换Y=AX；反变换X=A’Y；一般对于标准正交基，A’是A的共轭转置，对于双正交A’是A的对偶矩阵。但不管如何，我们可以大胆的写，AA’=A’A=I。这里I是单位矩阵。

那怎样操作才是最快的呢？我们来分析矩阵A的特点，首先A是正交阵，其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2为循环的。为什么，因为你做了2抽取。所以我们可以，实现小波变换用快速傅立叶变换。这时如果A是满阵的，则复杂度由O(N.^2）下降到(NlogN)。但还有一点，我们忘了A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的，也就是这个矩阵是个近似对角阵。所以，快速傅立叶是不快的。因此，小波变换是O(N)复杂度的。这是它的优势。但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩阵存储和稀疏矩阵乘法。第二个方法，因子化。因子化，是一个杰出的贡献。它在原有的O(N)的复杂度基础上，对于长滤波器，又把复杂度降低一半。但量级仍然是O(N)。

上述的这个快速算法是研学论坛上一位网友提出的，我还没很好的理解，还有待进一步钻研并努力编写程序实现它。

5、时频分析

对于平稳信号，傅立叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时间段的特点。在频率上，是点频的，即信号频率是离散的。而对于非平稳信号，它就无能为力了。而小波恰好对此派上用场。小波能够反映信号在某个时间段的特点。在频域上，能表征某个频率段的特点。也就是小波能够满足时频分析的需要。但小波，作为频谱分析确实存在很多问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。冉启文著的《小波变换与分数傅立叶变换》一书有详细的介绍。

6、压缩、消噪、特征提取

傅立叶变换的压缩，已经广泛应用了。它的简化版本就是离散余弦变换（DCT）。而小波包的提出，也就使DCT有些相形见绌。首先，它提出代价函数，一般就是熵准则。其次，一个自适应树分解。再次，基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。小波包是从频域上实现的。从时域上，我们也可采用类似的分裂和合并算法，来实现信号的最优表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。要记住的是，压缩是小波最大的优势。

消噪，一般的傅立叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。两者各有优缺点。而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组成。我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波，或用什么小波。这点上，小波的优势并不是很明显。

特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问题也是很多。首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLAT算法，或者改用叫多孔算法的东西来做。

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