【题解】codeforces765F Souvenirs

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题意：给定一个长度为n的数组与m个查询。第i个查询要求输出数组下标区间[li,ri]内的数之间的距离（差的绝对值）的最小值。

分析：离线处理查询。将查询区间按右端点从小到大排序，维护一个数据结构，使得将数组元素a1,a2,...,ai插入到数据结构之后能够快速查询以ai为右端点的查询区间的答案。考虑ai对查询区间的贡献，设d=|ai-aj|(j<i)，则对于满足l≤j,r=a[i]的查询区间[l,r]，有查询区间[l,r]的答案≤d。因此可以用线段树来维护答案，线段树每个结点记录左端点处于对应范围内时（当右端点为ai时）的查询区间的上确界。

若暴力处理ai对查询区间的贡献，则时间复杂度为O(n)，这显然是不可接受的。不妨先设a1,a2,...,ai-1均大于等于ai（一般情况下处理2次即可），则在计算完元素对(ai,ai-1)对查询区间的贡献后，设下一个选取的元素对为(ai,aj)，则aj应满足aj≤(ai+ai-1)/2。这是因为：1.aj≥ai-1时元素对(ai,aj)不优于元素对(ai,ai-1)的贡献；2.(ai+ai-1)/2≤aj≤ai-1时元素对(ai,aj)的贡献不优于元素对(ai-1,aj)的贡献。依次类推，计算ai对查询区间的贡献时间复杂度可以优化到O(lgn)。

下面讨论程序的实现。我们需要一个数据结构，使得能够快速求出数组下标在[1,j-1]范围内大小在范围[ai,(ai+aj)/2]内的下标最大的数。可以建一棵线段树，线段树的每个结点[l,r]存一个vector，vector里将al,al+1,...,ar按从小到大排序，然后就可以O(lgn^2)地完成这件事（官方题解似乎有O(lgn)的做法）。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
struct que
{int l,r,i;bool operator < (const que &o) const{return r<o.r;}
}qu[maxn];
int n,m,a[maxn],ans[maxn];
vector<int> vec[maxn*4];
int minv[maxn*4],ql,qr,p,val;
void build(int o,int l,int r)
{if (l==r) {vec[o].push_back(a[l]);return ;}int mid=(l+r)/2;build(2*o,l,mid);build(2*o+1,mid+1,r);int i=0,j=0;while (i<vec[2*o].size()&&j<vec[2*o+1].size()){if (vec[2*o][i]<=vec[2*o+1][j]) vec[o].push_back(vec[2*o][i]),i++;else vec[o].push_back(vec[2*o+1][j]),j++;}while (i<vec[2*o].size()) vec[o].push_back(vec[2*o][i]),i++;while (j<vec[2*o+1].size()) vec[o].push_back(vec[2*o+1][j]),j++;
}
int find(int o,int l,int r,int mine,int maxe)
{if (ql<=l&&r<=qr){vector<int>::iterator it=lower_bound(vec[o].begin(),vec[o].end(),mine);if (it==vec[o].end()||*it>maxe) return -1;if (l==r) return l;int mid=(l+r)/2,ret=find(2*o+1,mid+1,r,mine,maxe);if (ret!=-1) return ret;return find(2*o,l,mid,mine,maxe);}int mid=(l+r)/2,ret=-1;if (qr>mid) ret=find(2*o+1,mid+1,r,mine,maxe);if (ret!=-1) return ret;return find(2*o,l,mid,mine,maxe);
}
void updata(int o,int l,int r)
{if (l==r) {minv[o]=min(minv[o],val);return ;}int mid=(l+r)/2;if (p<=mid) updata(2*o,l,mid);else updata(2*o+1,mid+1,r);minv[o]=min(minv[2*o],minv[2*o+1]);
}
int query(int o,int l,int r)
{if (ql<=l&&r<=qr) return minv[o];int mid=(l+r)/2,ret=1e9;if (ql<=mid) ret=min(ret,query(2*o,l,mid));if (qr>mid) ret=min(ret,query(2*o+1,mid+1,r));return ret;
}
int main()
{cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);build(1,1,n);cin>>m;for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&qu[i].l,&qu[i].r),qu[i].i=i;sort(qu+1,qu+m+1);for (int i=0;i<maxn*4;i++) minv[i]=1e9;int pos=1;for (int i=2;i<=n;i++){int j;ql=1;qr=i-1;j=find(1,1,n,a[i],1e9);while (j!=-1){int d=a[j]-a[i];p=j;val=d;updata(1,1,n);if (!d||j==1) break;d/=2;ql=1;qr=j-1;j=find(1,1,n,a[i],a[i]+d);}ql=1;qr=i-1;j=find(1,1,n,0,a[i]);while (j!=-1){int d=a[i]-a[j];p=j;val=d;updata(1,1,n);if (!d||j==1) break;d/=2;ql=1;qr=j-1;j=find(1,1,n,a[i]-d,a[i]);}while (pos<=m&&qu[pos].r==i){ql=qu[pos].l;qr=i;ans[qu[pos].i]=query(1,1,n);pos++;}}for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}

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