泊松过程的推广型

文章目录

泊松过程的推广型
- 1. 泊松过程基本型回顾
- - 1.1 性质
  - 1.2 泊松分布与射击模型
- 2. 泊松过程的推广型
- - 2.1 放宽平稳性
  - - 2.1.1 非平稳泊松过程
  - 2.2 放宽稀疏性
  - - 2.3.1 复合泊松过程
    - 2.3.2 复合泊松过程举例
    - 2.3.3 泊松过程的和
    - 2.3.4 泊松过程的差
    - 2.3.5 复合泊松与稀疏性
  - 2.3 放宽独立性
  - - 2.3.1 案例引入
    - 2.3.2 Inspection Paradox
    - 2.3.3 间隔时间条件分布求解--微元法引入
    - - (1) t时刻内发生了1次
      - (2) t时刻内发生了2次
      - (3) t时刻内发生了n次
    - 2.3.4 顺序统计量
    - 2.3.5 顺序统计量的分布
    - - (1)最大值的分布
      - (2) 最小值的分布
      - (3) 顺序统计量的一元分布
      - (4) 顺序统计量的二元分布
      - (5) 顺序统计量的n元分布
    - 2.3.6 顺序统计量的应用
    - 2.3.7 过滤泊松过程
    - - (1) 独立增量的本质
      - (2) 过滤泊松过程模型的建立
      - (3) 分布函数求解
      - (4) 过滤泊松过程的均值
      - (4) 过滤泊松过程的方差
    - 2.3.8 小结
- 3. 更新过程
- - 3.1 概述
  - 3.2 N(t)的分布与期望
  - - 3.2.1 分布
    - 3.2.2 期望
    - - (1)与期望有关的变形
      - (2)期望的求解
  - 3.3 更新方程
  - 3.4 N(t)的变化率

1. 泊松过程基本型回顾

1.1 性质

泊松过程具有三个很重要的特性：独立增量特性、平稳增量特性以及稀疏性。同时，我们对泊松分布的研究主要集中在概率密度上，也就是时间t内事件发生次数的概率。

N(0)=0Independent IncrementStationary IncrementSparsity⇒P(N(t)=k)=(λt)kk!exp(−λt)N(0) = 0 \\ \text{Independent Increment} \\ \text{Stationary Increment} \\ \text{Sparsity} \\ \Rightarrow P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} exp(-\lambda t) N(0)=0Independent IncrementStationary IncrementSparsity⇒P(N(t)=k)=k!(λt)kexp(−λt)

1.2 泊松分布与射击模型

下面对泊松分布进行稍加说明

泊松分布其实是射击模型的一种逼近。我们假设射击n次，每次射击命中率为P，那么射中k次的概率可以表示为

Binomial DistributionP(Z=k)=Cnk(P)k(1−P)n−k\text{Binomial Distribution} \\ P(Z=k) = C_{n}^k(P)^k (1-P)^{n-k} Binomial DistributionP(Z=k)=Cnk(P)k(1−P)n−k

现在对射击模型进行逼近，假设命中率P趋近于0，射击次数n趋近于无穷大，并且nP=λ是常数

P→0n→∞nP=λP \rightarrow 0 \\ n \rightarrow \infty \\ nP = \lambda P→0n→∞nP=λ

我们可以计算一下这个射击模型的极限

P(Z=k)=Cnk(λn)k(1−λn)n−klimn→∞Cnk(λn)k(1−λn)n−k=limn→∞n!k!(n−k)!(λn)k(1−λn)−k(1−λn)n=limn→∞λkk!(n∗(n−1)∗...∗(n−k+1))nk(1−λn)−k(1−λn)n=λkk!∗1∗1∗e−λ=λkk!e−λP(Z=k) = C_{n}^k(\frac{\lambda}{n})^k (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\ lim_{n\rightarrow \infty}C_{n}^k(\frac{\lambda}{n})^k (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\ = lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{k!(n-k)!} (\frac{\lambda}{n})^k (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n} \\ \\ = lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\lambda^k}{k!} \frac{(n*(n-1)*...*(n-k+1))}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n} \\ = \frac{\lambda^k}{k!} *1*1*e^{-\lambda} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} P(Z=k)=Cnk(nλ)k(1−nλ)n−klimn→∞Cnk(nλ)k(1−nλ)n−k=limn→∞k!(n−k)!n!(nλ)k(1−nλ)−k(1−nλ)n=limn→∞k!λknk(n∗(n−1)∗...∗(n−k+1))(1−nλ)−k(1−nλ)n=k!λk∗1∗1∗e−λ=k!λke−λ

我们就得到了泊松分布。泊松分布是二项分布的逼近。二项分布是射击模型。当命中率足够小，射击次数足够多，就变成了泊松分布。泊松是在等待，等待一个稀有事件的到来，因此泊松具有稀疏性。

Waitting Rare Events\text{Waitting Rare Events} Waitting Rare Events

Z∼P(λ)E(Z)=λVar(Z)=λZ \sim P(\lambda) \\ E(Z) = \lambda \\ Var(Z) = \lambda Z∼P(λ)E(Z)=λVar(Z)=λ

2. 泊松过程的推广型

我们知道，独立性、平稳性和稀疏性是泊松分布三个很重要的特性，下面，我们会逐渐的放松这些性质，可以得到更加实用性的泊松过程的推广型。

2.1 放宽平稳性

2.1.1 非平稳泊松过程

Stationary\text{Stationary} \\ Stationary

我们回忆，在计算泊松过程的母函数的时候，用到了平稳增量特性进行变换

E(ZN(t+Δt)−N(t)−1)=E(ZN(Δt)−1)E(Z^{N(t +\Delta t) - N(t)}-1) = E(Z^{N(\Delta t)}-1) \\ E(ZN(t+Δt)−N(t)−1)=E(ZN(Δt)−1)

现在没有平稳增量特性了，我们就需要使用原始的式子进行求解了

E(ZN(t+Δt)−N(t)−1)=P(N(t+Δt)−N(t)=0)−1+ZP(N(t+Δt)−N(t)=1)+∑k≥2ZkP(N(t+Δt)−N(t)=k)E(Z^{N(t +\Delta t) - N(t)}-1) = P(N(t +\Delta t) - N(t) = 0) - 1 +ZP(N(t +\Delta t) - N(t) = 1) \\+ \sum_{k \geq 2} Z^k P(N(t +\Delta t) - N(t) = k) E(ZN(t+Δt)−N(t)−1)=P(N(t+Δt)−N(t)=0)−1+ZP(N(t+Δt)−N(t)=1)+k≥2∑ZkP(N(t+Δt)−N(t)=k)

之前我们做的时候，利用平稳增量、独立增量特性可以把第一个概率证明出是指数函数,现在我们做额外的假设

Let limΔt→0P(N(t+Δt)−N(t)=0)−1Δt=−λ(t)\text{Let } \\ lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{P(N(t+\Delta t)-N(t)=0)-1}{\Delta t} = - \lambda(t) Let limΔt→0ΔtP(N(t+Δt)−N(t)=0)−1=−λ(t)

之前的结果是λ，是个确数。现在得到的是一个与时间t有关的函数

P(N(t+Δt)−N(t)=0)−1Δt+P(N(t+Δt)−N(t)=1)Δt(Z+∑k≥2ZkP(N(t+Δt)−N(t)=k)P(N(t+Δt)−N(t)=1))=P(N(t+Δt)−N(t)=0)−1Δt+P(N(t+Δt)−N(t)=1)Δt(Z+O(Δt))=−λ(t)+λ(t)Z\frac{P(N(t +\Delta t) - N(t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{P(N(t +\Delta t) - N(t) = 1)}{\Delta t} (Z+\sum_{k \geq 2} Z^k \frac{P(N(t +\Delta t) - N(t) = k)}{P(N(t +\Delta t) - N(t) = 1)}) \\ = \frac{P(N(t +\Delta t) - N(t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{P(N(t +\Delta t) - N(t) = 1)}{\Delta t} (Z+ O(\Delta t)) \\ = -\lambda(t) +\lambda(t) Z ΔtP(N(t+Δt)−N(t)=0)−1+ΔtP(N(t+Δt)−N(t)=1)(Z+k≥2∑ZkP(N(t+Δt)−N(t)=1)P(N(t+Δt)−N(t)=k))=ΔtP(N(t+Δt)−N(t)=0)−1+ΔtP(N(t+Δt)−N(t)=1)(Z+O(Δt))=−λ(t)+λ(t)Z

因此

dGN(t)(Z)dt=GN(t)(Z)(−λ(t)+λ(t)Z)\frac{dG_{N(t)}(Z)}{dt} = G_{N(t)}(Z) (-\lambda(t) +\lambda(t) Z) dtdGN(t)(Z)=GN(t)(Z)(−λ(t)+λ(t)Z)

得到了一个变系数微分方程

⇒GN(t)(Z)=exp((Z−1)∫0tλ(s)ds)\Rightarrow G_{N(t)}(Z) = exp((Z-1) \int_{0}^t \lambda(s)ds) ⇒GN(t)(Z)=exp((Z−1)∫0tλ(s)ds)

与平稳增量的结果进行对比

GN(t)(Z)=exp(−λt)exp(λZt)=exp((Z−1)λt)G_{N(t)}(Z) = exp(-\lambda t) exp(\lambda Z t) = exp((Z-1)\lambda t) GN(t)(Z)=exp(−λt)exp(λZt)=exp((Z−1)λt)

根据泊松分布的母函数形式来看，放宽平稳增量特性之后，得到的仍然是个泊松分布。现在这种泊松过程叫做非齐次泊松过程或者叫非平稳泊松过程

Non-Homogenous Posisson\text{Non-Homogenous Posisson} \\ Non-Homogenous Posisson

如果强度是个常数了之后，非平稳泊松过程是可以变回泊松过程的
λ(s)=λ⇒∫0tλ(s)ds=λt\lambda(s) = \lambda \Rightarrow \int_{0}^t \lambda(s)ds = \lambda t λ(s)=λ⇒∫0tλ(s)ds=λt

非平稳泊松过程意味着，在不同时刻，事件发生的强度是不同的，这就给之前网络的模型提供了更加好的模型。因为可以描述半夜三点和下午三点网络流量不同的这种情况了。

2.2 放宽稀疏性

2.3.1 复合泊松过程

下面，我们要改变一下泊松过程的跳跃规律。因此每次事件发生的时候，都认为是让当前计数值加一，也就是跳高一步。现在我们要改变这个跳跃规律，让每次事件发生的时候跳起来的高度有所变化。

这个需要是非常有用的。比如我们研究网络流量的时候，数据包的数量往往是不定长的。也就是每次网络事件发生的时候，数据包增加的量也是个随机变量

我们对泊松过程做一些修改

Y(t)=∑k=1N(t)XkXk∼i.i.d.{Xk}independent of N(t)Y(t) = \sum_{k=1}^{N(t)} X_k \\ X_k \sim i.i.d. \\ \{ X_k\} \text{ independent of } N(t) Y(t)=k=1∑N(t)XkXk∼i.i.d.{Xk} independent of N(t)

每个事件X都是独立同分布的。然后事件X与事件发生的次数N(t)之间也是独立的。

这个新的随机过程中，包含了两个随机因素。一方面(0,t)内事件发生的次数是随机的。然后X是随机的，也就是每次事件发生带来的影响是不一定的。

我们想了解这个新的随机过程的概率。先从Y(t)的母函数开始计算

GY(t)(Z)=E(ZY(t))=E(Z∑k=1N(t)Xk)G_{Y(t)}(Z) = E(Z^{Y(t)}) = E(Z^{\sum_{k=1}^{N(t)} X_k}) GY(t)(Z)=E(ZY(t))=E(Z∑k=1N(t)Xk)

因为里面有两个随机变量，所以要使用条件期望，逐个求解

E(Z∑k=1N(t)Xk)=EN(EX(Z∑k=1nXk)∣N(t)=n)=EN(EX(∏k=1nZXk)∣N(t)=n)=E(∏k=1N(t)E(ZXk))=E(E(ZX1)N(t))E(Z^{\sum_{k=1}^{N(t)} X_k}) = E_N(E_X(Z^{\sum_{k=1}^{n} X_k})|N(t) = n) \\ =E_N(E_X(\prod_{k=1}^n Z^{X_k})|N(t) = n) \\ = E(\prod_{k=1}^{N(t)}E( Z^{X_k})) = E(E( Z^{X_1})^{N(t)}) E(Z∑k=1N(t)Xk)=EN(EX(Z∑k=1nXk)∣N(t)=n)=EN(EX(k=1∏nZXk)∣N(t)=n)=E(k=1∏N(t)E(ZXk))=E(E(ZX1)N(t))

其中,底数可以替换成X的母函数

GX1(Z)=E(ZX1)G_{X_1}(Z) = E( Z^{X_1}) GX1(Z)=E(ZX1)

Then GY(t)(Z)=E(Z∑k=1N(t)Xk)=E(GX1(Z)N(t))\text{Then } \\ G_{Y(t)}(Z) =E(Z^{\sum_{k=1}^{N(t)} X_k}) = E(G_{X_1}(Z)^{N(t)}) Then GY(t)(Z)=E(Z∑k=1N(t)Xk)=E(GX1(Z)N(t))

令

LetZ~=GX1(Z)\text{Let} \widetilde {Z} = G_{X_1}(Z) \\ LetZ=GX1(Z)

Then GY(t)(Z)=E(Z∑k=1N(t)Xk)=E(Z~N(t))=GN(t)(Z~)∣Z~=GX1(Z)\text{Then } \\ G_{Y(t)}(Z) =E(Z^{\sum_{k=1}^{N(t)} X_k}) = E(\widetilde {Z}^{N(t)}) \\ = G_{N(t)}(\widetilde{Z})|_{\widetilde{Z} = G_{X_1}(Z)} Then GY(t)(Z)=E(Z∑k=1N(t)Xk)=E(ZN(t))=GN(t)(Z)∣Z=GX1(Z)

我们把结果代入N(t)的母函数中

GN(t)(Z)=exp(λt(Z−1))G_{N(t)}(Z) = exp(\lambda t(Z-1)) GN(t)(Z)=exp(λt(Z−1))

GY(t)(Z)=GN(t)(Z~)∣Z~=GX1(Z)=GN(t)(GX1(Z))=exp(λt(GX1(Z)−1))G_{Y(t)}(Z) = G_{N(t)}(\widetilde{Z})|_{\widetilde{Z} = G_{X_1}(Z)} =G_{N(t)}(G_{X_1}(Z)) =exp(\lambda t(G_{X_1}(Z)-1)) GY(t)(Z)=GN(t)(Z)∣Z=GX1(Z)=GN(t)(GX1(Z))=exp(λt(GX1(Z)−1))

如果我们想要退回到一般的泊松分布，我们仅仅需要让每次事件的变化即是+1即可

Y(t)=∑k=1N(t)XkXk≡1Y(t) = \sum_{k=1}^{N(t)} X_k \\ X_k \equiv 1 Y(t)=k=1∑N(t)XkXk≡1

GXk(Z)=E(ZXk)=E(Z)=ZG_{X_k}(Z) = E(Z^{X_k}) = E(Z) = Z GXk(Z)=E(ZXk)=E(Z)=Z
GY(t)(Z)=exp(λt(GX1(Z)−1))=exp(λt(Z−1))G_{Y(t)}(Z) =exp(\lambda t(G_{X_1}(Z)-1)) = exp(\lambda t(Z-1)) GY(t)(Z)=exp(λt(GX1(Z)−1))=exp(λt(Z−1))

我们得到的这个过程叫做复合泊松过程

Compound Poisson\text{Compound Poisson} Compound Poisson

非平稳泊松过程是从平稳性出发做的推广，改变的是泊松分布的强度。现在改变的是每一次事件发生对泊松造成的影响，让每一次事件的影响不是次数+1了，而是有了不同的影响。

2.3.2 复合泊松过程举例

Thining\text{Thining} Thining

现在对复合泊松分布进行举例说明。假设同学们按照泊松分布来上学，然后每次进来的是男生§和女生(1-p)的概率是已知的，现在统计到学校的男生人数服从什么分布

(p1−pMF)\begin{pmatrix} p & 1-p \\ M & F \end{pmatrix} (pM1−pF)

我们假设总人数的分布是N(t),男生人数分布是M(t),女生人数的分布是F(t)

N(t)M(t)F(t)N(t)\quad M(t) \quad F(t) N(t)M(t)F(t)

我们给M(t)进行定义,事件X服从两点分布

M(t)=∑k=1N(t)XkXk∼(p1−p10)M(t) = \sum_{k=1}^{N(t)} X_k \\ X_k \sim \begin{pmatrix} p & 1-p \\ 1 & 0 \end{pmatrix} M(t)=k=1∑N(t)XkXk∼(p11−p0)

因此，这是一个复合泊松分布，求母函数

GM(t)(Z)=E(ZM(t))=exp(λt(GX1(Z)−1))G_{M(t)}(Z) = E(Z^{M(t)}) \\ = exp(\lambda t (G_{X_1}(Z)-1)) GM(t)(Z)=E(ZM(t))=exp(λt(GX1(Z)−1))

GX1(Z)=E(Z1X)=Z1p+Z0(1−p)=PZ+(1−p)G_{X_1}(Z) = E(Z^X_1) = Z^1 p + Z^0 (1-p) = PZ +(1-p) GX1(Z)=E(Z1X)=Z1p+Z0(1−p)=PZ+(1−p)

可得

GM(t)(Z)=exp(λt(pZ+(1−p)−1))=exp(λpt(Z−1))G_{M(t)}(Z) = exp(\lambda t (pZ +(1-p)-1)) \\ = exp(\lambda pt(Z-1)) GM(t)(Z)=exp(λt(pZ+(1−p)−1))=exp(λpt(Z−1))

得到的仍然是一个泊松分布，强度是λp

这里继续举一个例子，如果是来的人服从泊松分布，但是第一个来的人计数，第二个不计数，这样得到的分布不是泊松分布。因为破坏了无记忆性。

2.3.3 泊松过程的和

下面说明，两个泊松过程做和得到的是否还是泊松过程。假设两个泊松过程是独立的

N1(t)λ1N2(t)λ2N(t)=N1(t)+N2(t)N_1(t) \quad \lambda_1 \\ N_2(t) \quad \lambda_2 \\ N(t) = N_1(t) + N_2(t) N1(t)λ1N2(t)λ2N(t)=N1(t)+N2(t)

我们可以用母函数来处理和的问题

GN(t)(Z)=E(ZN1(t)+N2(t))=E(ZN1(t))E(ZN2(t))=exp(λ1t(Z−1))exp(λ2t(Z−1))=exp((λ1+λ2)t(Z−1))G_{N(t)}(Z) = E(Z^{N_1(t) + N_2(t)}) \\ =E(Z^{N_1(t)})E(Z^{N_2(t)}) \\ = exp(\lambda_1 t(Z-1))exp(\lambda_2 t(Z-1)) \\ = exp((\lambda_1 + \lambda_2)t(Z-1)) GN(t)(Z)=E(ZN1(t)+N2(t))=E(ZN1(t))E(ZN2(t))=exp(λ1t(Z−1))exp(λ2t(Z−1))=exp((λ1+λ2)t(Z−1))

可以发现两个泊松过程的和仍然是泊松过程

2.3.4 泊松过程的差

下面来继续分析两个独立泊松过程的差是否还是个泊松过程

N(t)=N1(t)−N2(t)N(t) = N_1(t) - N_2(t) N(t)=N1(t)−N2(t)

事实上，这一定不是个泊松过程，因为N(t)是可能小于0的

P(N1(t)−N2(t)<0)=0P(N_1(t) - N_2(t) <0 ) \cancel = 0 P(N1(t)−N2(t)<0)=0

泊松过程是一个计数过程，不可能小于0。因此，这一定不是是泊松过程。但是我们可以计算一下这个函数的母函数进行分析

GN(t)(Z)=E(ZN1(t)−N2(t))=E(ZN1(t))E(Z−N2(t))=E(ZN1(t))E((1Z)N2(t))=exp(λ1t(Z−1))exp(λ2t(1Z−1))=exp((λ1+λ2)t(λ1λ1+λ2Z+λ2λ1+λ2Z−1−1))G_{N(t)}(Z) = E(Z^{N_1(t) -N_2(t)}) \\ =E(Z^{N_1(t) })E(Z^{-N_2(t) }) \\ = E(Z^{N_1(t) })E((\frac{1}{Z})^{N_2(t) }) \\ = exp(\lambda_1 t(Z-1))exp(\lambda_2 t(\frac{1}{Z}-1)) \\ = exp((\lambda_1+\lambda_2)t (\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}Z + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}Z^{-1}-1)) GN(t)(Z)=E(ZN1(t)−N2(t))=E(ZN1(t))E(Z−N2(t))=E(ZN1(t))E((Z1)N2(t))=exp(λ1t(Z−1))exp(λ2t(Z1−1))=exp((λ1+λ2)t(λ1+λ2λ1Z+λ1+λ2λ2Z−1−1))

我们可以看到，这是一个复合泊松分布。

GX(Z)=λ1λ1+λ2Z+λ2λ1+λ2Z−1G_X(Z) = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}Z + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}Z^{-1} GX(Z)=λ1+λ2λ1Z+λ1+λ2λ2Z−1

这是一个伯努利分布的母函数

X∼(1−1λ1λ1+λ2λ2λ1+λ2)X \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} & \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \end{pmatrix} X∼(1λ1+λ2λ1−1λ1+λ2λ2)

因此我们可以看到，两个泊松分布的和是泊松，两个泊松的差是复合泊松

上图是两个泊松差的事件发生情况

2.3.5 复合泊松与稀疏性

事实上，复合泊松分布是在稀疏性上放宽的要求得到的一种分布

我们对稀疏性的解析定义是这样的

limΔt→0P(N(Δt)≥2)P(N(Δt)=1)=0lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{P(N(\Delta t) \geq 2)}{ P(N(\Delta t)=1)} = 0 limΔt→0P(N(Δt)=1)P(N(Δt)≥2)=0

现在我们取消稀疏性的限制，让每一个事件发生的概率都存在，也就是

limΔt→0P(N(Δt)=k)P(N(Δt)≥1)=Pklim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{P(N(\Delta t) =k)}{ P(N(\Delta t)\geq 1)} = P_k limΔt→0P(N(Δt)≥1)P(N(Δt)=k)=Pk

我们继续从泊松过程证明过程出发，把稀疏性的部分进行替换

E(ZN(Δt)−1)Δt=P(N(Δt)=0)−1Δt+ZP(N(Δt)=1)+∑k≥2ZkP(N(Δt)=k)Δt=P(N(Δt)=0)−1Δt+∑k≥1ZkP(N(Δt)=k)Δt=P(N(Δt)=0)−1Δt+P(N(Δt)≥1)Δt∑k≥1ZkP(N(Δt)=k)P(N(Δt)≥1)=P(N(Δt)=0)−1Δt+P(N(Δt)≥1)Δt∑k≥1ZkPk=P(N(Δt)=0)−1Δt+1−P(N(Δt)=0)Δt∑k≥1ZkPk=−λ+λ∑k≥1ZkPk\frac{E(Z^{N(\Delta t)}-1)}{\Delta t} = \frac{P(N(\Delta t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{ZP(N(\Delta t) = 1) + \sum_{k \geq 2} Z^k P(N(\Delta t) = k)}{\Delta t} \\ = \frac{P(N(\Delta t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{ \sum_{k \geq 1} Z^k P(N(\Delta t) = k)}{\Delta t} \\ = \frac{P(N(\Delta t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{P(N(\Delta t) \geq 1)}{\Delta t}\frac{ \sum_{k \geq 1} Z^k P(N(\Delta t) = k)}{P(N(\Delta t) \geq 1)} \\ = \frac{P(N(\Delta t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{P(N(\Delta t) \geq 1)}{\Delta t}\sum_{k \geq 1} Z^kP_k \\ = \frac{P(N(\Delta t) = 0) - 1}{\Delta t} +\frac{1-P(N(\Delta t) = 0) }{\Delta t}\sum_{k \geq 1} Z^kP_k \\ = -\lambda + \lambda \sum_{k \geq 1} Z^kP_k ΔtE(ZN(Δt)−1)=ΔtP(N(Δt)=0)−1+ΔtZP(N(Δt)=1)+∑k≥2ZkP(N(Δt)=k)=ΔtP(N(Δt)=0)−1+Δt∑k≥1ZkP(N(Δt)=k)=ΔtP(N(Δt)=0)−1+ΔtP(N(Δt)≥1)P(N(Δt)≥1)∑k≥1ZkP(N(Δt)=k)=ΔtP(N(Δt)=0)−1+ΔtP(N(Δt)≥1)k≥1∑ZkPk=ΔtP(N(Δt)=0)−1+Δt1−P(N(Δt)=0)k≥1∑ZkPk=−λ+λk≥1∑ZkPk

Let G(Z)=∑k≥1ZkPkThen E(ZN(Δt)−1)Δt=−λ+λG(Z)\text{Let } G(Z)= \sum_{k \geq 1} Z^kP_k \\ \text{Then } \\ \frac{E(Z^{N(\Delta t)}-1)}{\Delta t} = -\lambda + \lambda G(Z) Let G(Z)=k≥1∑ZkPkThen ΔtE(ZN(Δt)−1)=−λ+λG(Z)

得到母函数的微分方程

dGN(t)(Z)dt=GN(t)(Z)(−λ+λG(Z))\frac{dG_{N(t)}(Z)}{dt} = G_{N(t)}(Z) (-\lambda + \lambda G(Z)) dtdGN(t)(Z)=GN(t)(Z)(−λ+λG(Z))

GN(t)=exp(λt(G(Z)−1)G_{N(t)} = exp(\lambda t(G(Z)-1) GN(t)=exp(λt(G(Z)−1)

我们比较一下放宽稀疏性和复合泊松得到的母函数

G(Z)=∑k≥1PkZkPk=limΔt→0P(N(Δt)=k)P(N(Δt)≥1)SparsityGX1(Z)=∑k≥1Pk~ZkPk~=P(X1=k)CompoundG(Z) = \sum_{k \geq 1} P_k Z^k \quad P_k =lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{P(N(\Delta t) =k)}{ P(N(\Delta t)\geq 1)} \quad \text{Sparsity}\\ G_{X_1}(Z) = \sum_{k \geq 1} \widetilde{P_k} Z^k \quad \widetilde{P_k} = P(X_1 = k) \quad \text{Compound} G(Z)=k≥1∑PkZkPk=limΔt→0P(N(Δt)≥1)P(N(Δt)=k)SparsityGX1(Z)=k≥1∑PkZkPk=P(X1=k)Compound

我们发现二者是极其相似的

2.3 放宽独立性

接下来，我们会放宽独立增量特性。但是对于泊松过程来说，独立增量特性是一个极其重要的性质。放弃了这个性质，我们之前用来做泊松过程解析计算的方法就变得寸步难行

2.3.1 案例引入

我们先举一个小例子进行引入

我们假设有一个泊松过程N(t)，强度是λ，这个泊松分布四段事件发生的间隔是T1，T2，T3，T4。四次事件发生的时刻是S1，S2，S3，S4,求一个条件期望E(S4|N(1)=2)，就是在第一个时间段内事件发生了两次的前提下，计算第四次事件发生的时间的均值

N(t)λT1,T2,T3,T4S1,S2,S3,S4E(S4∣N(1)=2)N(t) \quad \lambda \quad T_1,T_2,T_3,T_4 \quad S_1,S_2,S_3,S_4 \\ E(S_4 | N(1) = 2) N(t)λT1,T2,T3,T4S1,S2,S3,S4E(S4∣N(1)=2)

我们可以把这个条件期望转换为一段时间内事件发生的次数

E(S4∣N(1)=2)E(S_4 | N(1) = 2) E(S4∣N(1)=2)

因此，我们先从条件分布开始求,我们想求在第一个时间段内发生两次的条件下，第四个事件发生时间的分布，也就是第一个时刻发生两次，并且后面的时间段发生至少两次的概率

FS4(t∣N(1)=2)=P(S4≤t∣N(1)=2)=P(S4≤t,N(1)=2)P(N(1)=2)=P(N(1)=2,N(t)−N(1)≥2)P(N(1)=2)=P(N(1)=2)P(N(t)−N(1)≥2)P(N(1)=2)=P(N(t)−N(1)≥2)=P(N(t−1)≥2)=1−P(N(t−1)=0)−P(N(t−1)=1)=1−exp(−λ(t−1))−λ(t−1)exp(−λ(t−1))F_{S_4}(t|N(1)=2)=P(S_4 \leq t |N(1) = 2) = \frac{P(S_4 \leq t ,N(1)=2)}{P(N(1)=2)} \\ = \frac{P(N(1) =2,N(t) - N(1) \geq 2)}{P(N(1)=2)} \\ =\frac{P(N(1) =2)P(N(t) - N(1) \geq 2)}{P(N(1) =2)} \\ = P(N(t) - N(1) \geq 2) \\ = P(N(t-1) \geq 2) = 1- P(N(t-1)=0) - P(N(t-1)=1) \\ = 1-exp(-\lambda (t-1)) - \lambda (t-1)exp(-\lambda (t-1)) FS4(t∣N(1)=2)=P(S4≤t∣N(1)=2)=P(N(1)=2)P(S4≤t,N(1)=2)=P(N(1)=2)P(N(1)=2,N(t)−N(1)≥2)=P(N(1)=2)P(N(1)=2)P(N(t)−N(1)≥2)=P(N(t)−N(1)≥2)=P(N(t−1)≥2)=1−P(N(t−1)=0)−P(N(t−1)=1)=1−exp(−λ(t−1))−λ(t−1)exp(−λ(t−1))

求导和积分之后就能够得到这个概率

fS4(t∣N(1)=2)=dFS4(t∣N(1)=2)dtE(S4∣N(1)=2)=∫0+∞tfS4(t∣N(1)=2)dt=1+2λf_{S_4}(t|N(1)=2)= \frac{dF_{S_4}(t|N(1)=2)}{dt} \\ E(S_4 |N(1)=2) = \int_{0}^{+\infty} t f_{S_4}(t|N(1)=2) dt \\ =1 +\frac{2}{\lambda} fS4(t∣N(1)=2)=dtdFS4(t∣N(1)=2)E(S4∣N(1)=2)=∫0+∞tfS4(t∣N(1)=2)dt=1+λ2

2.3.2 Inspection Paradox

针对2.3.1中的案例，我们还有其他角度可以进行理解

因为我们要求的是第一个时间段发生了两次事件，第四个时间段的分布函数。那么我们必定是已经有了1个时间了。而从第一个时刻往后看，后面两次事件发生的间隔是两个指数分布。指数分布的期望是1/λ，因此，我们可以直接得到

E(S4∣N(1)=2)=1+2λE(S_4 |N(1)=2) = 1 + \frac{2}{\lambda} E(S4∣N(1)=2)=1+λ2

这个事情看起来非常的矛盾，因为按理来说，应该两个事件发生的间隔是个指数分布，而不应该从T1时间段之后开始算。这样的话，得到的期望应该比1/λ小才对,但是实际上却能够得到正确的答案。

我们来分析这样一问题

假设有第t次发生事件的时刻和第t+1次发生事件的时刻，然后我们中间选了一个时间t，问画圈的这个三个时间间隔，都是什么分布。我们可以来计算一下

SN(t+1)−SN(t)A(t):t−SN(t)B(t):SN(t+1)−tS_{N(t+1)} - S_{N(t)} \\ A(t):t-S_N(t) \\ B(t): S_{N(t+1)} - t SN(t+1)−SN(t)A(t):t−SN(t)B(t):SN(t+1)−t

首先来看A(t)和B(t)的分布情况，我们计算一下(x,y)之间的分布情况

P(x>A(t),y>B(t))P(x>A(t),y>B(t)) P(x>A(t),y>B(t))

如果我们用上面这个概率计算不太好，因为我们不能确定x+y这段时间内事件发生的次数，如果把时间段限定在(A(t)+B(t))之内能够确定事件发生了0次，所以我们修改一下概率表达式

P(A(t)>x,B(t)>y)=P(N(x+y)=0)=exp(−λ(x+y))x≥0y≥0P(A(t) >x,B(t) > y) = P(N(x+y)=0) = exp(-\lambda(x+y)) \\ x \geq 0 \quad y \geq 0 P(A(t)>x,B(t)>y)=P(N(x+y)=0)=exp(−λ(x+y))x≥0y≥0

然后就可以计算A(t)和B(t)的分布函数了

P(B(t)>y)=P(A(t)>0,B(t)>y)=exp(−λy)P(A(t)>x)=P(A(t)>x,B(t)>0)=exp(−λx)P(B(t)>y) = P(A(t)>0,B(t)>y) = exp(-\lambda y) \\ P(A(t)>x) = P(A(t)>x,B(t)>0) = exp(-\lambda x) P(B(t)>y)=P(A(t)>0,B(t)>y)=exp(−λy)P(A(t)>x)=P(A(t)>x,B(t)>0)=exp(−λx)

我们发现A(t)和B(t)确实是指数分布。不过，由于A(t)最左边是零点，不能继续延伸了，A(t)实际上上指数分布的延伸。而B(t)是严格的指数分布

再来看看S_N(t+1)-S_N(t)这个时间间隔的分布情况。按理来说，两个事件发生的间隔时间确实应该是个指数分布。但是这样就不对了，因为里面两个小的时间分布都是指数，外面还是指数分布。这个情况叫做检验悖论

Insepction Paradox\text{Insepction Paradox} Insepction Paradox

P(SN(t+1)−SN(t)≤t)=EN(t)(P(Sn+1−Sn≤t∣N(t)=n))=E(1−exp(−λt))=1−exp(−λt)xP(S_{N(t+1)}-S_{N(t) }\leq t) = E_{N(t)} (P(S_{n+1}- S_n \leq t|N(t)=n)) = E(1 - exp(-\lambda t)) = 1 - exp(-\lambda t) \quad \text{x} P(SN(t+1)−SN(t)≤t)=EN(t)(P(Sn+1−Sn≤t∣N(t)=n))=E(1−exp(−λt))=1−exp(−λt)x

按照上面的条件期望求法，两个事件发生间隔的分布应该也是指数分布。但是这么做是错的，因为条件概率后面的条件必须对前面没有影响，这里给的条件会影响前面的分布。0，t内事件发生的次数一旦给定了，事件发生的间隔的分布就变了

2.3.3 间隔时间条件分布求解–微元法引入

(1) t时刻内发生了1次

下面我们来求一下，第t+1个事件发生时间和第t个事件发生时间这段间隔的分布。上面说了，增加了一个条件之后，这段时间间隔的分布会受到影响，因此按照上面的条件概率计算方法是错误的。

我们先举一个例子，假设时间t内只发生了一次事件，然后我们计算第一次事件发生间隔的分布。现在我们既不用但是这段时间内它不发生，也不用担心会发生很多次。因此，这段时间，我们就等着这个事件发生就行，感觉像是一个均匀分布,然后我们计算一下，这段时间发生间隔的分布

N(t)=1SFS(x∣N(t)=1)=P(S≤x∣N(t)=1)=P(S≤x,N(t)=1)P(N(t)=1)=P(N(x)=1,N(t)−N(x)=0)P(N(t)=1)=P(N(x)=1)P(N(t)−N(x)=0)P(N(t)=1)=λxexp(−λx)exp(−λ(t−x))λtexp(−λt)=xtN(t) = 1 \quad S \\ F_S(x|N(t)=1) = P(S \leq x |N(t) = 1) = \frac{ P(S \leq x , N(t) = 1)}{P(N(t)=1)} \\ = \frac{P(N(x) = 1,N(t) - N(x)=0)}{P(N(t)=1)} = \frac{P(N(x)=1)P(N(t)-N(x)=0)}{P(N(t)=1)} \\ = \frac{\lambda x exp(-\lambda x) exp(-\lambda(t-x))}{\lambda t exp(-\lambda t)} = \frac{x}{t} N(t)=1SFS(x∣N(t)=1)=P(S≤x∣N(t)=1)=P(N(t)=1)P(S≤x,N(t)=1)=P(N(t)=1)P(N(x)=1,N(t)−N(x)=0)=P(N(t)=1)P(N(x)=1)P(N(t)−N(x)=0)=λtexp(−λt)λxexp(−λx)exp(−λ(t−x))=tx

对x求导就得到了概率密度

fs(x∣N(t)=1)=ddxFS(x∣N(t)=1)=1tf_s(x|N(t)=1) = \frac{d}{dx} F_S(x|N(t)=1) = \frac{1}{t} fs(x∣N(t)=1)=dxdFS(x∣N(t)=1)=t1

因此在t时刻内只发生1次的基础上求事件发生时刻S的分布，是个均匀分布。而本来第一次事件发生的这个时刻，也就是第一段时间的分布，是个指数分布

S∣N(t)=1∼U(0,t)S|N(t) = 1 \sim U(0,t) S∣N(t)=1∼U(0,t)

(2) t时刻内发生了2次

现在我们修改一下条件，我们假设t时刻内发生了2次事件，我们要求一下s1和s2事件发生时刻的联合分布
Fs1,s2(x1,x2∣N(t)=2)=P(s1≤x1,s2≤x2∣N(t)=2)F_{s_1,s_2}(x_1,x_2 |N(t) = 2) = P(s_1 \leq x_1,s_2 \leq x_2 |N(t) = 2) Fs1,s2(x1,x2∣N(t)=2)=P(s1≤x1,s2≤x2∣N(t)=2)

因为对于泊松过程有关的分布，我们必须把概率转换为单位时间内发生的次数才能计算。但是这样不好转换，因为s1和s2发生在什么位置没法确定，需要分情况讨论。如果这么做的话，事件发生的一多，就没有办法求解了

因此，对于这种问题，比较好的是引入微元法进行处理,我们对事件的发生做双边限制。假设微元delta x₁和delta x₂中分别发生了一次事件，其他地方没有发生。不过两个事件也可能挤在一个微元里，但是由于概率非常低，是高阶无穷小，取极限后就没了。并且求得的概率除以这个微元之后，得到的就是联合概率密度

Microcell\text{Microcell} Microcell

fs1,s2(x1,x2∣N(t)=2)=P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)Δx1Δx2f_{s_1,s_2}(x_1,x_2 |N(t) = 2) =\frac{P(x_1 \leq S_1 \leq x_1 + \Delta x_1,x_2 < S_2 \leq x_2 +\Delta x_2|N(t)=2)}{\Delta x_1 \Delta x_2} \\ fs1,s2(x1,x2∣N(t)=2)=Δx1Δx2P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)
做了双边限制以后，区域就可以分成五段了

P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)=P(N(x1)=0,N(x1+Δx1)−N(x1)=1,N(x2)−N(x1+Δx1)=0,N(x2+Δx2)−N(x2)=1,N(t)−N(x2+Δx2)=0∣N(t)=2)P(x_1 \leq S_1 \leq x_1 + \Delta x_1,x_2 < S_2 \leq x_2 +\Delta x_2|N(t)=2) \\ =P(N(x_1)=0,N(x_1 +\Delta x_1) - N(x_1) = 1,\\ N(x_2) -N(x_1 +\Delta x_1)=0,N(x_2 +\Delta x_2) - N(x_2) = 1,N(t)-N(x_2 + \Delta x_2)=0|N(t)=2) P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)=P(N(x1)=0,N(x1+Δx1)−N(x1)=1,N(x2)−N(x1+Δx1)=0,N(x2+Δx2)−N(x2)=1,N(t)−N(x2+Δx2)=0∣N(t)=2)

由于独立增量特性和平稳增量特性，概率可以独立出来，并且三段没有事件发生的区域可以合并

P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)=P(N(t−Δx1−Δx2)=0,N(x1+Δx1)−N(x1)=1,N(x2+Δx2)−N(x2)=1∣N(t)=2)=P(N(t−Δx1−Δx2)=0)P(N(x1+Δx1)−N(x1)=1)P(N(x2+Δx2)−N(x2)=1)P(N(t)=2)=exp(−λ(t−Δx1−Δx2))λ(Δx1)exp(−λx1)λΔx2(−λΔx2)(λt)2exp(−λt)2!=2Δx1Δx2t2(0≤x1≤x2≤t)P(x_1 \leq S_1 \leq x_1 + \Delta x_1,x_2 < S_2 \leq x_2 +\Delta x_2|N(t)=2) = \\ P(N(t-\Delta x_1 - \Delta x_2)=0,N(x_1 +\Delta x_1) - N(x_1) = 1,N(x_2 +\Delta x_2) - N(x_2) = 1|N(t)=2) \\ = \frac{P(N(t-\Delta x_1 - \Delta x_2)=0)P(N(x_1 +\Delta x_1) - N(x_1) = 1)P(N(x_2 +\Delta x_2) - N(x_2) = 1)}{P(N(t)=2)} \\ = \frac{exp(-\lambda(t-\Delta x_1 - \Delta x_2)) \lambda (\Delta x_1)exp(-\lambda x_1) \lambda \Delta x_2 (-\lambda \Delta x_2)}{\frac{(\lambda t)^2 exp(-\lambda t)}{2!}} \\ = 2\frac{\Delta x_1 \Delta x_2}{t^2} (0 \leq x_1 \leq x_2 \leq t) P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)=P(N(t−Δx1−Δx2)=0,N(x1+Δx1)−N(x1)=1,N(x2+Δx2)−N(x2)=1∣N(t)=2)=P(N(t)=2)P(N(t−Δx1−Δx2)=0)P(N(x1+Δx1)−N(x1)=1)P(N(x2+Δx2)−N(x2)=1)=2!(λt)2exp(−λt)exp(−λ(t−Δx1−Δx2))λ(Δx1)exp(−λx1)λΔx2(−λΔx2)=2t2Δx1Δx2(0≤x1≤x2≤t)

然后就得到了联合概率密度
fs1,s2(x1,x2∣N(t)=2)=P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)Δx1Δx2=2t2(0≤x1≤x2≤t)f_{s_1,s_2}(x_1,x_2 |N(t) = 2) =\frac{P(x_1 \leq S_1 \leq x_1 + \Delta x_1,x_2 < S_2 \leq x_2 +\Delta x_2|N(t)=2)}{\Delta x_1 \Delta x_2} \\ = \frac{2}{t^2} (0 \leq x_1 \leq x_2 \leq t)\\ fs1,s2(x1,x2∣N(t)=2)=Δx1Δx2P(x1≤S1≤x1+Δx1,x2<S2≤x2+Δx2∣N(t)=2)=t22(0≤x1≤x2≤t)

注意，我们这个事情在做的时候，已经默认了x1和x2发生是有先后次序的，因此我们必须把这个成立条件放到后面。否则这个联合概率密度积分不是1。

事实上，我们发现，t时刻内发生了2次的分布，还是一个均价分布，不过这个两次事件的发送不具有独立性，是有顺序关系的。

(3) t时刻内发生了n次

下面我们来计算t时刻内发生了n次事件的联合分布,我们可以直接写出来这个结果

P(x1<S2≤x1+Δx1,...,xn<Sn≤xn+Δxn∣N(t)=n)=exp(−λ(t−Δx1−...−Δxn)∏k=1nλkΔxkexp(−λΔxk)(λt)nn!exp(−λt)=n!Δx1∗...∗Δxntn=n!tn∏k=1nΔxk(0≤x1≤...≤xn≤t)P(x_1 < S_2 \leq x_1 + \Delta x_1,...,x_n < S_n \leq x_n + \Delta x_n | N(t) = n) \\ = \frac{exp(-\lambda(t-\Delta x_1 - ... - \Delta x_n)\prod_{k=1}^n \lambda_k \Delta x_k exp(-\lambda \Delta x_k)}{\frac{(\lambda t)^n}{n!} exp(-\lambda t)} \\ = n! \frac{\Delta x_1 *...*\Delta x_n}{t^n} = \frac{n!}{t^n} \prod_{k=1}^n \Delta x_k (0 \leq x_1 \leq ...\leq x_n \leq t) P(x1<S2≤x1+Δx1,...,xn<Sn≤xn+Δxn∣N(t)=n)=n!(λt)nexp(−λt)exp(−λ(t−Δx1−...−Δxn)∏k=1nλkΔxkexp(−λΔxk)=n!tnΔx1∗...∗Δxn=tnn!k=1∏nΔxk(0≤x1≤...≤xn≤t)

联合概率密度

fS1,..,Sn∣N(t)=n=n!tn(0≤x1≤...≤xn≤t)f_{S_1,..,S_n|N(t)=n} = \frac{n!}{t^n} (0 \leq x_1 \leq ...\leq x_n \leq t) fS1,..,Sn∣N(t)=n=tnn!(0≤x1≤...≤xn≤t)

我们又得到了一个均匀，但是又不独立的分布。

2.3.4 顺序统计量

接下来我们引入一个顺序统计量的概念

Order Statistics{Z1,Z2,...,Zn}∼(i.i.d)fZ(x)\text{Order Statistics} \\ \{Z_1,Z_2,...,Z_n \} \sim(i.i.d) \quad f_Z(x) Order Statistics{Z1,Z2,...,Zn}∼(i.i.d)fZ(x)

我们假设有n个独立同分布的随机变量

Y1到Yn分别对应着(Z1,…,Zn)中第1小，第2小，…,第n小的随机变量

Y1=min(Z1,...,Zn)Y2=min2(Z1,...,Zn)...Yn=max(Z1,...,Zn)Y_1 = min(Z_1,...,Z_n) \\ Y_2 = min_2(Z_1,...,Z_n) \\ ... \\ Y_n = max(Z_1,...,Z_n) Y1=min(Z1,...,Zn)Y2=min2(Z1,...,Zn)...Yn=max(Z1,...,Zn)

得到的Y₁,…,Y_n就叫做顺序统计量

(Y1,...,Yn)is order Statistics of (Z1,...,Zn)(Y_1,...,Y_n) \text{ is order Statistics of }(Z_1,...,Z_n) (Y1,...,Yn) is order Statistics of (Z1,...,Zn)

这里需要解释一下随机变量的最小值和最大值。他们并不是指代Z里面具体的随机变量，Y仍然是个随机变量。随机变量是个函数，是样本空间映射到实数轴的函数

比如蓝色线是Z1的样本轨道，黄色线是Z2的样本轨道，橙色线就是min(Z1,Z2)

顺序统计量的不独立的

2.3.5 顺序统计量的分布

下面我们尝试来计算一下顺序统计量的分布

(1)最大值的分布

首先我们来算一下最大值的分布

Yn=max(Z1,...,Zn)FYn(y)=P(z1≤y,...,zn≤y)=(P(Z1≤y))n=(FZ(y))nfYn(y)=dFYn(y)dy=n(FZ(x))n−1FZ′(x)=n(FZ(x))n−1fZ(x)Y_n = max(Z_1,...,Z_n) \\ F_{Y_n}(y) = P(z_1 \leq y,...,z_n \leq y) = (P(Z_1 \leq y))^n = (F_Z(y))^n \\ f_{Y_n}(y) = \frac{dF_{Y_n}(y)}{ dy} = n (F_Z(x))^{n-1} F_Z'(x) = n (F_Z(x))^{n-1} f_Z(x) Yn=max(Z1,...,Zn)FYn(y)=P(z1≤y,...,zn≤y)=(P(Z1≤y))n=(FZ(y))nfYn(y)=dydFYn(y)=n(FZ(x))n−1FZ′(x)=n(FZ(x))n−1fZ(x)

(2) 最小值的分布

然后一算一下最小值的分布

Y1=min(Z1,...,Zn)FY1(y)=P(Y1≤y)=1−P(Y1>y)=1−P(y<Z1,...,y<Zn)=1−P(y<Z1)...P(y<Zn)=1−(1−P(y>Z1))...(1−P(y>Zn))=1−(1−FZ(y))n⇒fY1(y)=n(1−FZ(y))n−1fZ(y)Y_1 = min(Z_1,...,Z_n) \\ F_{Y_1}(y) = P(Y_1 \leq y) = 1- P(Y_1 >y) \\ = 1- P(y< Z_1,...,y< Z_n) \\ = 1- P(y < Z_1) ...P(y<Z_n) \\ =1- (1-P(y>Z_1))...(1-P(y>Z_n)) \\ = 1- (1-F_Z(y))^n \\ \Rightarrow f_{Y_1} (y) = n(1-F_Z(y))^{n-1} f_Z(y) Y1=min(Z1,...,Zn)FY1(y)=P(Y1≤y)=1−P(Y1>y)=1−P(y<Z1,...,y<Zn)=1−P(y<Z1)...P(y<Zn)=1−(1−P(y>Z1))...(1−P(y>Zn))=1−(1−FZ(y))n⇒fY1(y)=n(1−FZ(y))n−1fZ(y)

(3) 顺序统计量的一元分布

我们可以直接求最大值的分布，也可以用差值的方法表示最小值的分布。但是中间的那些顺序统计量就不容易表示了。

YkFYk(y)=P(Yk<y)?Y_k \\ F_{Y_k}(y) = P(Y_k < y) \quad ? YkFYk(y)=P(Yk<y)?

我们可以用微元法进行处理

FYk(y+Δy)−FYk(y)=P(y<Yk≤y+Δy)F_{Y_k}(y +\Delta y) - F_{Y_k}(y) = P(y <Y_k \leq y+ \Delta y) FYk(y+Δy)−FYk(y)=P(y<Yk≤y+Δy)

这个式子除以delta y，再令delta y 趋近于0，即可得到概率密度

P(Z<y)=FZ(y)P(Z>y+Δy)=1−P(Z<y+Δy)=1−FZ(y+Δy)P(y<Z<y+Δy)=FZ(y+Δy)−FZ(y)P(Z <y) = F_Z(y) \\ P(Z > y + \Delta y) = 1- P(Z < y+\Delta y) = 1- F_Z(y +\Delta y) \\ P(y<Z<y+\Delta y) = F_Z(y+ \Delta y) - F_Z(y) P(Z<y)=FZ(y)P(Z>y+Δy)=1−P(Z<y+Δy)=1−FZ(y+Δy)P(y<Z<y+Δy)=FZ(y+Δy)−FZ(y)

我们计算一下这个式子,这个式子可以把区间划分为三段,前面有k-1个Z比y小，后面有n-k+1个Z比y+delta y 大，然后再乘y到y+delta y的分布即可

FYk(y+Δy)−FYk(y)=P(y<Yk≤y+Δy)=(FZ(y))k−1(1−FZ(y+Δy))n−k(FZ(y+Δy)−FZ(y))F_{Y_k}(y +\Delta y) - F_{Y_k}(y) = P(y <Y_k \leq y+ \Delta y) \\ = (F_Z(y))^{k-1} (1-F_Z(y+ \Delta y))^{n-k}(F_Z(y + \Delta y) - F_Z(y)) FYk(y+Δy)−FYk(y)=P(y<Yk≤y+Δy)=(FZ(y))k−1(1−FZ(y+Δy))n−k(FZ(y+Δy)−FZ(y))

但是只是这么表达还不够，因为我们不知道是哪k-1个随机变量Z在前面，哪个随机变量Z在中间，哪n-k个随机变量Z在后面，我们这么求的概率只是其中一种情况。我们还需要加入组合数

Z1,(Z2),Z3Z2,(Z1),Z3...Z_1,(Z_2),Z_3 \\ Z_2,(Z_1),Z_3 \\ ... Z1,(Z2),Z3Z2,(Z1),Z3...
引入组合数

FYk(y+Δy)−FYk(y)=P(y<Yk≤y+Δy)=Cnk−1Cn−k+1n−kC11(FZ(y))k−1(1−FZ(y+Δy))n−k(FZ(y+Δy)−FZ(y))F_{Y_k}(y +\Delta y) - F_{Y_k}(y) = P(y <Y_k \leq y+ \Delta y) \\ = C_{n}^{k-1} C_{n-k+1}^{n-k}C_{1}^{1}(F_Z(y))^{k-1} (1-F_Z(y+ \Delta y))^{n-k}(F_Z(y + \Delta y) - F_Z(y)) FYk(y+Δy)−FYk(y)=P(y<Yk≤y+Δy)=Cnk−1Cn−k+1n−kC11(FZ(y))k−1(1−FZ(y+Δy))n−k(FZ(y+Δy)−FZ(y))

我们就可以得到Y_k的概率密度函数了

fYk(y)=limΔy→0FYk(y+Δy)−FYk(y)Δy=limΔy→0Cnk−1Cn−k+1n−kC11(FZ(y))k−1(1−FZ(y+Δy))n−k(FZ(y+Δy)−FZ(y))Δy=Cnk−1Cn−k+1n−kC11(FZ(y))k−1limΔy→0(1−FZ(y+Δy))n−klimΔy→0FZ(y+Δy)−FZ(y)Δy=Cnk−1Cn−k+1n−k(FZ(y))k−1(1−FZ(y))n−kfZ(y)f_{Y_k}(y) = lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{F_{Y_k}(y +\Delta y) - F_{Y_k}(y)}{\Delta y} \\ = lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{C_{n}^{k-1} C_{n-k+1}^{n-k}C_{1}^{1}(F_Z(y))^{k-1} (1-F_Z(y+ \Delta y))^{n-k}(F_Z(y + \Delta y) - F_Z(y))}{\Delta y} \\ = C_{n}^{k-1} C_{n-k+1}^{n-k}C_{1}^{1}(F_Z(y))^{k-1} lim_{\Delta y \rightarrow 0}(1-F_Z(y+ \Delta y))^{n-k} lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{F_Z(y + \Delta y) - F_Z(y)}{\Delta y} \\ = C_{n}^{k-1} C_{n-k+1}^{n-k}(F_Z(y))^{k-1} (1-F_Z(y))^{n-k} f_Z(y) fYk(y)=limΔy→0ΔyFYk(y+Δy)−FYk(y)=limΔy→0ΔyCnk−1Cn−k+1n−kC11(FZ(y))k−1(1−FZ(y+Δy))n−k(FZ(y+Δy)−FZ(y))=Cnk−1Cn−k+1n−kC11(FZ(y))k−1limΔy→0(1−FZ(y+Δy))n−klimΔy→0ΔyFZ(y+Δy)−FZ(y)=Cnk−1Cn−k+1n−k(FZ(y))k−1(1−FZ(y))n−kfZ(y)

然后我们就得到了顺序统计量的一元分布

(4) 顺序统计量的二元分布

我们继续再来分析顺序统计量的二元分布，依旧使用微元法

我们可以直接写出这分布函数,由于k和m有顺序，需要进行标注

fYk,Ym(yk,ym)=Cnk−1Cn−k+11Cn−km−k+1Cn−m+11Cn−mn−m∗(FZ(yk))k−1fZ(yk)(FZ(ym)−FZ(yk))m−k+1fZ(ym)(1−FZ(ym))n−m(yk≤ym)f_{Y_k,Y_m}(y_k,y_m) = C_{n}^{k-1}C_{n-k+1}^{1}C_{n-k}^{m-k+1}C_{n-m+1}^{1}C_{n-m}^{n-m}* \\ (F_Z(y_k))^{k-1} f_{Z}(y_k) (F_Z(y_m) - F_Z(y_k))^{m-k+1} f_Z(y_m) (1-F_Z(y_m))^{n-m} \\ (y_k \leq y_m) fYk,Ym(yk,ym)=Cnk−1Cn−k+11Cn−km−k+1Cn−m+11Cn−mn−m∗(FZ(yk))k−1fZ(yk)(FZ(ym)−FZ(yk))m−k+1fZ(ym)(1−FZ(ym))n−m(yk≤ym)

(5) 顺序统计量的n元分布

要写顺序

fY1,...,Yn(y1,...,yn)=Cn1Cn−11...C11fZ(y1)...fZ(yn)=n!fZ(y1)...fZ(yn)(y1≤y2≤...≤yn)f_{Y_1,...,Y_n}(y_1,...,y_n) = C_{n}^{1}C_{n-1}^{1}...C_{1}^{1} f_Z(y_1) ...f_Z(y_n) \\ = n! f_Z(y_1) ...f_Z(y_n) \\ (y_1 \leq y_2 \leq ... \leq y_n) fY1,...,Yn(y1,...,yn)=Cn1Cn−11...C11fZ(y1)...fZ(yn)=n!fZ(y1)...fZ(yn)(y1≤y2≤...≤yn)

现在我们知道了，我们限制(0,t)内事件发生n次，然后求n个事件发生时刻的联合分布，其实得到的就是一个顺序统计量的n元分布

2.3.6 顺序统计量的应用

顺序统计量可以用来计算设备的寿命。因为如果器件是串联的，寿命取决于器件寿命的最小值。如果器件是并联的，寿命取决于器件寿命的最大值，如果又有串联又有并联，我们就需要既取出最小值，又要取出最大值。

2.3.7 过滤泊松过程

有了顺序统计量之后，我们就可以放松独立增量性质了。

(1) 独立增量的本质

Independent Increment\text{Independent Increment} Independent Increment

在放松独立增量性质之前，我们首先要考虑，独立增量的本质是什么。我们知道平稳增量影响的是事件发生的强度，稀疏性影响的是每次事件发生的影响。

我们可以发现，之所以时间差之间是独立的，其根本原因在于，每次事件发生，对系统产生了影响之后，其输入和输出是一样的。因此，可以通过两个时刻做差的形式，让前面产生的影响与后面抵消掉。也就是说，独立性的本质在于，系统对事件的时间响应是直线。一旦响应随着时间的变化不是固定的了，独立增量特性就消失了。

因此，如果我们想要放松独立增量特性，只要让这个台阶不平就行。

(2) 过滤泊松过程模型的建立

然后我们就可以建立新的模型了

Z(t)=∑k=1N(t)Zk(t,Sk)Z(t) = \sum_{k=1}^{N(t)} Z_k(t,S_k) Z(t)=k=1∑N(t)Zk(t,Sk)

我们让每次事件的影响不但与时间t有关，还与事件发生的时刻有关。

这个模型依赖于三个随机变量，事件发生的次数N(t)是随机变量，事件发生的时间S_k是随机变量，事件发生的影响Zk也是随机变量

(3) 分布函数求解

下面，我们想求这个随机过程的分布函数。我们用特征函数来进行求解

ϕZ(t)(ω)=E(exp(jωZ(t)))=E(exp(jω∑k=1N(t)Zk(t,Sk)))\phi_{Z(t)}(\omega) = E(exp(j\omega Z(t))) = E(exp(j\omega\sum_{k=1}^{N(t)} Z_k(t,S_k) )) ϕZ(t)(ω)=E(exp(jωZ(t)))=E(exp(jωk=1∑N(t)Zk(t,Sk)))

用条件概率来进行处理。我们同时限制事件发生时间和次数，来求事件发生影响的期望

ϕZ(t)(ω)=EN(t),Sk(EZk(exp(jω∑k=1N(t)Zk(t,Sk))∣S1,...,Sn,N(t)=n))=EN(t),Sk(∏k=1N(t)EZk(exp(jωZk(t,Sk))))Let Bk(t,Sk)=E(exp(jωZk(t,Sk)))Then ϕZ(t)(ω)=EN(t),Sk(∏k=1N(t)Bk(t,Sk))=EN(t)(ESk(∏k=1nBk(t,Sk)∣N(t)=n))\phi_{Z(t)}(\omega) = E_{N(t),S_k}(E_{Z_k}(exp(j\omega\sum_{k=1}^{N(t)} Z_k(t,S_k))|S_1,...,S_n,N(t)=n)) \\ = E_{N(t),S_k}(\prod_{k=1}^{N(t)}E_{Z_k}(exp(j\omega Z_k(t,S_k)))) \\ \text{Let } B_k(t,S_k) = E(exp(j\omega Z_k(t,S_k))) \\ \text{Then } \\ \phi_{Z(t)}(\omega) = E_{N(t),S_k}(\prod_{k=1}^{N(t)} B_k(t,S_k)) \\ = E_{N(t)} (E_{S_k}(\prod_{k=1}^{n} B_k(t,S_k) |N(t)=n)) ϕZ(t)(ω)=EN(t),Sk(EZk(exp(jωk=1∑N(t)Zk(t,Sk))∣S1,...,Sn,N(t)=n))=EN(t),Sk(k=1∏N(t)EZk(exp(jωZk(t,Sk))))Let Bk(t,Sk)=E(exp(jωZk(t,Sk)))Then ϕZ(t)(ω)=EN(t),Sk(k=1∏N(t)Bk(t,Sk))=EN(t)(ESk(k=1∏nBk(t,Sk)∣N(t)=n))

现在就变成了，我们现在(0,t)内事件发生了n次，求n个事件的联合分布的问题了

EN(t)(ESk(∏k=1nBk(t,Sk)∣N(t)=n))=EN(t)(∫...∫0≤S1≤...≤Sn∏k=1nBk(t,Sk)n!tndS1...dSn)E_{N(t)} (E_{S_k}(\prod_{k=1}^{n} B_k(t,S_k) |N(t)=n)) \\ =E_{N(t)}(\int ...\int_{0 \leq S_1 \leq ... \leq S_n}\prod_{k=1}^{n} B_k(t,S_k) \frac{n!}{t^n}dS_1...dS_n) EN(t)(ESk(k=1∏nBk(t,Sk)∣N(t)=n))=EN(t)(∫...∫0≤S1≤...≤Snk=1∏nBk(t,Sk)tnn!dS1...dSn)

这个积分其实可以看做是棱锥的一部分切块。我们可以做个试验。假设有一个x=y=z=100mm的三棱锥

Suppose0<x1<x2<100\text{Suppose} \\ 0<x_1 <x_2 < 100 Suppose0<x1<x2<100

我们在x,y,z上分布选取这样的部分

x∈(0,x1)y∈(x1,x2)z∈(x2,100)x\in(0,x_1) \\ y \in(x_1,x_2) \\ z \in(x_2,100) x∈(0,x1)y∈(x1,x2)z∈(x2,100)

按照这样的顺序选取，就得到了完整三菱柱的一部分。这样的选取方法有3!种，并且每种选取方法得到的体积都是一样的，因此如果我们要求这个三棱锥这种有次序的积分所得到的面积，可以表述为

∫∫∫0<x<y<z=tf(x,y,z)dxdydz=13!∫0t∫0t∫0tf(x,y,z)dxdydz\int \int \int _{0<x<y<z=t} f(x,y,z) dxdydz = \frac{1}{3!} \int_{0}^{t}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t} f(x,y,z)dxdydz ∫∫∫0<x<y<z=tf(x,y,z)dxdydz=3!1∫0t∫0t∫0tf(x,y,z)dxdydz

我们就可以使用这种性质，来求解我们的顺序统计量积分

ϕZ(t)(ω)=EN(t)(∫...∫0≤S1≤...≤Sn∏k=1nBk(t,Sk)n!tndS1...dSn)=EN(t)(1n!∫0t...∫0t∏k=1nBk(t,Sk)n!tndS1...dSn)=EN(t)(1tn(∫0tB(t,S)dS)n)=EN(t)((1t∫0tB(t,S)dS)N(t))\phi_{Z(t)}(\omega) = E_{N(t)}(\int ...\int_{0 \leq S_1 \leq ... \leq S_n}\prod_{k=1}^{n} B_k(t,S_k) \frac{n!}{t^n}dS_1...dS_n) \\ = E_{N(t)}(\frac{1}{n!}\int_{0}^{t}...\int_{0}^{t}\prod_{k=1}^{n} B_k(t,S_k) \frac{n!}{t^n}dS_1...dS_n) \\ = E_{N(t)}(\frac{1}{t^n}(\int_{0}^t B(t,S)dS)^n) \\ = E_{N(t)}((\frac{1}{t}\int_{0}^t B(t,S)dS)^{N(t)}) ϕZ(t)(ω)=EN(t)(∫...∫0≤S1≤...≤Snk=1∏nBk(t,Sk)tnn!dS1...dSn)=EN(t)(n!1∫0t...∫0tk=1∏nBk(t,Sk)tnn!dS1...dSn)=EN(t)(tn1(∫0tB(t,S)dS)n)=EN(t)((t1∫0tB(t,S)dS)N(t))

这是一个类似母函数的形式

Let Z=1t∫0tB(t,S)dSE(ZN(t))∣Z=1t∫0tB(t,S)dS=GN(t)(Z)=exp(λt(Z−1))∣Z=1t∫0tB(t,S)dS=exp(λt(1t∫0tB(t,S)dS−1))=exp(λ(∫0tB(t,S)dS−t))=exp(λ∫0t(B(t,S)−1)dS)\text{Let } Z = \frac{1}{t}\int_{0}^t B(t,S)dS \\ E(Z^{N(t)})|_{Z = \frac{1}{t}\int_{0}^t B(t,S)dS} \\ = G_{N(t)}(Z) = exp(\lambda t(Z-1))|_{Z = \frac{1}{t}\int_{0}^t B(t,S)dS} \\ = exp(\lambda t (\frac{1}{t}\int_{0}^t B(t,S)dS -1)) \\ = exp(\lambda (\int_{0}^t B(t,S)dS -t)) \\ = exp(\lambda \int_{0}^t (B(t,S)-1) dS) Let Z=t1∫0tB(t,S)dSE(ZN(t))∣Z=t1∫0tB(t,S)dS=GN(t)(Z)=exp(λt(Z−1))∣Z=t1∫0tB(t,S)dS=exp(λt(t1∫0tB(t,S)dS−1))=exp(λ(∫0tB(t,S)dS−t))=exp(λ∫0t(B(t,S)−1)dS)

再把B(t,s)代回来

ϕZ(t)(ω)=exp(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS)\phi_{Z(t)}(\omega) = exp(\lambda \int_{0}^t ( E(exp(j\omega Z(t,S))) -1) dS) ϕZ(t)(ω)=exp(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS)

得到的这个形式叫做过滤泊松过程

Filtering Poisson\text{Filtering Poisson} Filtering Poisson

因为这个相当于多个泊松冲激通过线性系统得到响应的叠加

(4) 过滤泊松过程的均值

我们可以用特征函数求均值

ϕZ(ω)=E(exp(jωZ))dϕZ(ω)dω∣ω=0=E(jZexp(jωZ))∣ω=0=E(jZ)=jE(Z)⇒E(Z)=1jdϕZ(ω)dω∣ω=0\phi_Z(\omega) = E(exp(j\omega Z)) \\ \frac{d\phi_Z(\omega)}{d\omega}|_{\omega = 0} = E(jZexp(j\omega Z)) |_{\omega = 0} = E(jZ) = jE(Z) \\ \Rightarrow E(Z) = \frac{1}{j} \frac{d\phi_Z(\omega)}{d\omega}|_{\omega = 0} ϕZ(ω)=E(exp(jωZ))dωdϕZ(ω)∣ω=0=E(jZexp(jωZ))∣ω=0=E(jZ)=jE(Z)⇒E(Z)=j1dωdϕZ(ω)∣ω=0

我们来求一下均值

ϕZ(t)(ω)=exp(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS)1jdϕZ(ω)dω=1jexp(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS)∣ω=0∗d(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS))dω=1jd(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS))dω=1jλ∫0td(E(exp(jωZ(t,S)))−1))dωdS=1jλ∫0tjZ(t,S)E(exp(jωZ(t,S)))∣ω=0dS=1jλ∫0tjZ(t,S)dS=λ∫0tZ(t,S)dS\phi_{Z(t)}(\omega) = exp(\lambda \int_{0}^t ( E(exp(j\omega Z(t,S))) -1) dS) \\ \frac{1}{j}\frac{d\phi_Z(\omega)}{d\omega} = \frac{1}{j}exp(\lambda \int_{0}^t ( E(exp(j\omega Z(t,S))) -1) dS)|_{\omega = 0} *\frac{d(\lambda \int_{0}^t ( E(exp(j\omega Z(t,S))) -1) dS))}{d \omega} \\ = \frac{1}{j}\frac{d(\lambda \int_{0}^t ( E(exp(j\omega Z(t,S))) -1) dS))}{d \omega} \\ = \frac{1}{j}\lambda \int_{0}^t\frac{d ( E(exp(j\omega Z(t,S))) -1) )}{d \omega}dS \\ = \frac{1}{j}\lambda \int_{0}^tjZ(t,S)E(exp(j\omega Z(t,S)))|_{\omega = 0}dS \\ = \frac{1}{j}\lambda \int_{0}^tjZ(t,S) dS \\ = \lambda \int_{0}^t Z(t,S) dS ϕZ(t)(ω)=exp(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS)j1dωdϕZ(ω)=j1exp(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS)∣ω=0∗dωd(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS))=j1dωd(λ∫0t(E(exp(jωZ(t,S)))−1)dS))=j1λ∫0tdωd(E(exp(jωZ(t,S)))−1))dS=j1λ∫0tjZ(t,S)E(exp(jωZ(t,S)))∣ω=0dS=j1λ∫0tjZ(t,S)dS=λ∫0tZ(t,S)dS

注意，因为这里面的期望是对S求的，所以jZ可以从期望里面拿出去

于是我们就得到了过滤泊松过程的期望

(4) 过滤泊松过程的方差

为了简化计算，我们假设冲激响应本身没有随机性。

B(t,S)=exp(jωZ(t,S))ϕZ(t)(ω)=exp(λ∫0t(exp(jωZ(t,S))−1)dS)E(Z2)=−d2ϕZ(ω)dω2∣ω=0=λ∫0tZ2(t,S)dS+(λ∫0tZ(t,S)dS)2Var(Z)=E(Z2)−(E(Z))2=λ∫0tZ2(t,S)dSB(t,S) = exp(j\omega Z(t,S)) \\ \phi_{Z(t)}(\omega) = exp(\lambda \int_{0}^t ( exp(j\omega Z(t,S)) -1) dS) \\ E(Z^2) = -\frac{d^2\phi_Z(\omega)}{d\omega^2}|_{\omega = 0} \\ = \lambda \int_{0}^t Z^2(t,S)dS + (\lambda \int_{0}^t Z(t,S)dS)^2 Var(Z) = E(Z^2)-(E(Z))^2 = \lambda \int_{0}^t Z^2(t,S)dS B(t,S)=exp(jωZ(t,S))ϕZ(t)(ω)=exp(λ∫0t(exp(jωZ(t,S))−1)dS)E(Z2)=−dω2d2ϕZ(ω)∣ω=0=λ∫0tZ2(t,S)dS+(λ∫0tZ(t,S)dS)2Var(Z)=E(Z2)−(E(Z))2=λ∫0tZ2(t,S)dS

2.3.8 小结

过滤泊松过程是泊松过程中最复杂的一个问题，我们在这个问题中做了这样的事情

首先，我们认识到了一个基本的事实，如果一个时间段内发生事件的次数成为了一个条件，这个事件发生的时间间隔将不是一个指数分布了
然后，我们利用微元法求解这个条件期望，得到了一个不独立的均匀分布
继续，我们引入了顺序统计量，解释了这个不独立的均匀分布的本质是什么
然后我们讨论了泊松过程的独立增量特性的本质是什么，并且，我们提出，如果要放松独立增量特性，就必须改变台阶的平缓性
然后我们建立了新的模型，新的模型中有三个随机变量，我们利用特征函数的形式，写成了一个复杂的积分
最后，我们利用这个积分是对称函数的性质，解出了这个积分，最后得到了过滤泊松过程的特征函数，并且基于这个特征函数求得了过滤泊松过程的均值

3. 更新过程

3.1 概述

之前我们研究的泊松过程的推广，主要着眼于对泊松过程三个重要性质的放松。现在，我们从事件发生的间隔开始推广。一般泊松过程的事件发生间隔是独立同分布的指数分布，现在我们假定，事件发生的间隔是独立同分布的任意间隔，得到的新的随机过程叫做更新过程

Renewal Processes\text{Renewal Processes} Renewal Processes

我们假定有计数过程N(t)，其事件发生的间隔T_k为独立同分布的随机变量，概率分布函数和密度函数分别是F_T(x)和f_T(x),则称N(t)为更新过程

{N(t),t≥0}{Tk,k∈N}Tk∼fT(x)\{N(t),t\geq 0 \} \\ \{ T_k, k \in N\} \\ T_k \sim f_T(x) {N(t),t≥0}{Tk,k∈N}Tk∼fT(x)

3.2 N(t)的分布与期望

3.2.1 分布

P(N(t)=n)=P(N(t)≥n)−P(N(t)≥n+1)=P(Sn<t)−P(Sn+1<t)P(N(t)=n) = P(N(t) \geq n) - P(N(t) \geq n+1) \\ = P(S_n <t) - P(S_{n+1}<t) P(N(t)=n)=P(N(t)≥n)−P(N(t)≥n+1)=P(Sn<t)−P(Sn+1<t)

其中Sn是第n次事件发生的时刻

Sn=T1+..+TnS_n = T_1 +..+T_n Sn=T1+..+Tn

我们知道，独立同分布随机变量的和的分布是这些随机变量分布的n重卷积

ϕSn(ω)=E(exp(jωSn))=E(exp(jω(T1+...+Tn)))=∏k=1nE(exp(jωTk))\phi_{S_n}(\omega) = E(exp(j\omega S_n)) \\ = E(exp(j\omega(T_1+...+T_n))) = \prod_{k=1}^n E(exp(j\omega T_k)) ϕSn(ω)=E(exp(jωSn))=E(exp(jω(T1+...+Tn)))=k=1∏nE(exp(jωTk))

特征函数相当于是频域，频域的乘积必定对应时域的卷积。

因此,这个计数过程的分布能够表示，但是不容易表示

3.2.2 期望

(1)与期望有关的变形

如果不能用分布对一个随机变量进行刻画，我们就希望通过期望来对其进行粗略描绘

假设期望是m_N(t)

mN(t)=E(N(t))=∑n=1∞nP(N(t)=n)(a−1)m_N(t) = E(N(t)) = \sum_{n=1}^\infty n P(N(t)=n) \quad\quad(a-1) mN(t)=E(N(t))=n=1∑∞nP(N(t)=n)(a−1)

我们在这里证明先一个与期望有关的变形关系

ProveE(X)=∑n=1∞nP(X=n)=∑n=1∞P(X≥n)(a−2)\text{Prove} \\ E(X)=\sum_{n=1}^\infty n P(X=n) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X \geq n) \quad\quad(a-2) ProveE(X)=n=1∑∞nP(X=n)=n=1∑∞P(X≥n)(a−2)

这个形式是离散的形式

E(X)=∑n=1∞nP(X=n)=∑n=1∞n(P(X≥n)−P(X≥n+1))=∑n=1∞(n+1)P(X≥n+1)+P(X≥1)−nP(X≥n+1)=∑n=1∞P(X≥n+1)+P(X≥1)=∑n=1∞P(X≥n)(a−3)E(X)=\sum_{n=1}^\infty n P(X=n) \\ = \sum_{n=1}^\infty n(P(X\geq n) - P(X\geq n+1)) \\ = \sum_{n=1}^\infty (n+1)P(X\geq n+1)+P(X \geq 1) -n P(X\geq n+1) \\ = \sum_{n=1}^\infty P(X\geq n+1) +P(X \geq 1) \\ = \sum_{n=1}^\infty P(X\geq n) \quad\quad(a-3) E(X)=n=1∑∞nP(X=n)=n=1∑∞n(P(X≥n)−P(X≥n+1))=n=1∑∞(n+1)P(X≥n+1)+P(X≥1)−nP(X≥n+1)=n=1∑∞P(X≥n+1)+P(X≥1)=n=1∑∞P(X≥n)(a−3)

我们就完成了对(a-2)式子的证明

这种期望的变形关系也可以推广到连续随机变量上

Prove∫0∞P(X>t)dt=∫0∞xf(x)dt=E(X)(b−1)\text{Prove} \int_{0}^{\infty} P(X>t)dt = \int_{0}^{\infty} xf(x)dt = E(X) \quad\quad(b-1) Prove∫0∞P(X>t)dt=∫0∞xf(x)dt=E(X)(b−1)

我们假设X的分布函数是F(x),概率密度函数是f(x),然后开始证明

∫0∞P(X>t)dt=∫0∞∫t∞IdF(x)dt\int_{0}^{\infty} P(X>t)dt = \int_{0}^{\infty} \int_{t}^{\infty} IdF(x)dt ∫0∞P(X>t)dt=∫0∞∫t∞IdF(x)dt

然后交换x和t的积分限

∫0∞P(X>t)dt=∫0∞∫t∞IdF(x)dt=∫0∞∫0xIdtdF(x)=∫0∞xdF(x)=E(X)(b−2)\int_{0}^{\infty} P(X>t)dt = \int_{0}^{\infty} \int_{t}^{\infty} IdF(x)dt \\ = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^x I dt dF(x) \\ = \int_{0}^{\infty} x dF(x) =E(X) \quad\quad(b-2) ∫0∞P(X>t)dt=∫0∞∫t∞IdF(x)dt=∫0∞∫0xIdtdF(x)=∫0∞xdF(x)=E(X)(b−2)

(2)期望的求解

有了(a-2)式之后，我们就能够对期望进行表示了

mN(t)=E(N(t))=∑n=1∞nP(N(t)=n)=∑n=1∞P(N(t)≥n)=∑n=1∞P(Sn<t)=∑n=1∞FSn(t)(c)m_N(t) = E(N(t)) = \sum_{n=1}^\infty n P(N(t)=n) \\ = \sum_{n=1}^\infty P(N(t) \geq n) \\ = \sum_{n=1}^\infty P(S_n <t) \\ = \sum_{n=1}^\infty F_{S_n}(t) \quad\quad(c) mN(t)=E(N(t))=n=1∑∞nP(N(t)=n)=n=1∑∞P(N(t)≥n)=n=1∑∞P(Sn<t)=n=1∑∞FSn(t)(c)

3.3 更新方程

λN(t)=dmN(t)dt=∑n=1∞fSn(t)\lambda_N(t)=\frac{d m_N(t)}{dt} = \sum_{n=1}^\infty f_{S_n}(t) λN(t)=dtdmN(t)=n=1∑∞fSn(t)

两边做拉氏变换

∫0∞λN(t)e−stdt=∫0∞∑n=1∞fSn(t)e−stdt\int_{0}^{\infty} \lambda_N(t) e^{-st}dt =\int_{0}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty f_{S_n}(t)e^{-st}dt ∫0∞λN(t)e−stdt=∫0∞n=1∑∞fSn(t)e−stdt

LetΛ(s)=∫0∞λN(t)e−stdtT(s)=∫0∞fT(t)e−stdt\text{Let} \\ \Lambda(s) = \int_{0}^{\infty} \lambda_N(t) e^{-st}dt \\ T(s) = \int_{0}^{\infty} f_{T}(t)e^{-st}dt LetΛ(s)=∫0∞λN(t)e−stdtT(s)=∫0∞fT(t)e−stdt

我们知道Sn的概率密度是T的概率密度是n重卷积，因此，我们可以知道

∫0∞fSn(t)e−stdt=(T(s))nΛ(s)=∑n=1∞(T(s))n=T(s)1−T(s)\int_{0}^{\infty} f_{S_n}(t)e^{-st}dt = (T(s))^n \\ \Lambda(s) = \sum_{n=1}^\infty (T(s))^n \\ = \frac{T(s)}{1-T(s)} ∫0∞fSn(t)e−stdt=(T(s))nΛ(s)=n=1∑∞(T(s))n=1−T(s)T(s)

可以得到

T(s)=Λ(s)−Λ(s)T(s)T(s) = \Lambda(s) - \Lambda(s)T(s) T(s)=Λ(s)−Λ(s)T(s)

对该式子再做反拉氏变换

fT(t)=λN(t)−∫0tλN(τ−t)fT(τ)dτf_{T}(t) = \lambda_N(t) - \int_{0}^t \lambda_N(\tau-t)f_{T}(\tau)d \tau fT(t)=λN(t)−∫0tλN(τ−t)fT(τ)dτ

得到的这个方程叫做更新方程

Renewal Equation\text{Renewal Equation} Renewal Equation

3.4 N(t)的变化率

这里给出三个与N(t)变化率极限有关的式子，不进行证明了

limt→∞N(t)t=1μlimt→∞mN(t)t=1μlimt→∞mN(t+a)−mN(t)=aμlim_{t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t} = \frac{1}{\mu} \\ lim_{t \rightarrow \infty} \frac{m_N(t)}{t} = \frac{1}{\mu} \\ lim_{t \rightarrow \infty} m_N(t+a) - m_N(t) = \frac{a}{\mu} limt→∞tN(t)=μ1limt→∞tmN(t)=μ1limt→∞mN(t+a)−mN(t)=μa

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