七、(本题10分)  设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi\psi=\varphi$. 证明: $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 的充要条件是 $r(\varphi)=r(\psi)$.

证明  我们给出六种不同的证法, 括号内是证明思想的关键词.

几何证法1 (和空间与直和)  由 $\varphi(I_V-\psi)=0$ 可知, 对任意的 $\alpha\in V$, $\alpha-\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $\alpha=(\alpha-\psi(\alpha))+\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\psi$, 于是 $V=\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\psi$. 由和交空间维数公式和线性映射维数公式可得: $$n=\dim V=\dim(\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\psi)=\dim\mathrm{Ker}\varphi+\dim\mathrm{Im}\psi-\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)$$ $$=n-r(\varphi)+r(\psi)-\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi),$$ 从而 $\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)=r(\psi)-r(\varphi)$, 由此即得充要条件. 另外, 也可以用 $V=\mathrm{Ker}\oplus\mathrm{Im}\psi$ 等价于 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 代替上述讨论.

几何证法2 (映射限制)  将线性变换 $\varphi$ 的定义域限制在 $\mathrm{Im}\psi$ 上可得线性映射 $\varphi_1=\varphi|_{\mathrm{Im}\psi}:\mathrm{Im}\psi\to V$. 由限制的定义 (定义域变小, 映射法则不变) 可知, $\mathrm{Ker}\varphi_1=\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi$ 且 $\mathrm{Im}\varphi_1\subseteq\mathrm{Im}\varphi$. 由 $\varphi\psi=\varphi$ 可知, 对任意的 $\alpha\in V$, $\varphi(\alpha)=\varphi(\psi(\alpha))=\varphi_1(\psi(\alpha))$, 从而 $\mathrm{Im}\varphi_1=\mathrm{Im}\varphi$. 由线性映射的维数公式可知 $\dim\mathrm{Ker}\varphi_1+\dim\mathrm{Im}\varphi_1=\dim\mathrm{Im}\psi$, 即有 $\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)=r(\psi)-r(\varphi)$, 由此即得充要条件.

几何证法3 & 代数证法1 (同解)  注意到 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 等价于, 对任意的 $\beta\in V$, 若 $\varphi(\psi(\beta))=0$, 则 $\psi(\beta)=0$, 这等价于 $\mathrm{Ker}\varphi\psi=\mathrm{Ker}\psi$ (注意: $\mathrm{Ker}\psi\subseteq\mathrm{Ker}\varphi\psi$ 显然成立), 这等价于 $\dim\mathrm{Ker}\varphi\psi=\dim\mathrm{Ker}\psi$, 由线性映射的维数公式可知, 这等价于 $r(\varphi)=r(\varphi\psi)=r(\psi)$. 我们也可以把问题转化为代数的语言: 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足 $AB=A$, 证明: $ABx=0$ 的解必为 $Bx=0$ 的解等价于 $r(A)=r(B)$. 证明跟几何版本基本一致. 由于 $Bx=0$ 的解也是 $ABx=0$ 的解, 即 $V_B\subseteq V_{AB}$, 故 $V_{AB}=V_B$ 等价于 $\dim V_{AB}=\dim V_B$, 这等价于 $r(A)=r(AB)=r(B)$.

几何证法4 (比较核空间)  这种证法的注意力是放在直接比较 $\mathrm{Ker}\varphi$ 和 $\mathrm{Ker}\psi$ 上. 首先, 由 $\varphi\psi=\varphi$ 易证 $\mathrm{Ker}\psi\subseteq\mathrm{Ker}\varphi$. 充分性: 若 $r(\varphi)=r(\psi)$, 则由线性映射的维数公式可知 $\dim\mathrm{Ker}\psi=\dim\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$. 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi$, 则 $\varphi(\alpha)=0$ 且存在 $\beta\in V$, 使得 $\alpha=\psi(\beta)$, 于是 $0=\varphi(\alpha)=\varphi(\psi(\beta))=\varphi(\beta)$, 即 $\beta\in\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\psi$, 从而 $\alpha=\psi(\beta)=0$, 于是 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$. 必要性: 若 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 则任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi$, 有 $0=\varphi(\alpha)=\varphi(\psi(\alpha))$, 从而 $\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 即 $\alpha\in\mathrm{Ker}\psi$, 于是 $\mathrm{Ker}\varphi\subseteq\mathrm{Ker}\psi$, 因此 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$, 由线性映射的维数公式即得 $r(\varphi)=r(\psi)$.

几何证法5 (基扩张与基的判定)  取 $\mathrm{Ker}\varphi$ 的一组基 $\{e_{r+1},\cdots,e_n\}$, 并扩张为 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$. 由高代白皮书的例 4.20 可知, $\{\varphi(e_1),\cdots,\varphi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\varphi$ 的一组基. 由 $\varphi(\psi(e_i))=\varphi(e_i)\,(1\leq i\leq r)$ 易证 $\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)$ 是 $\mathrm{Im}\psi$ 中一组线性无关的向量. 充分性: 若 $r(\psi)=r(\varphi)=r$, 则 $\{\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\psi$ 的一组基. 对 $\mathrm{Im}\psi$ 中任一向量 $c_1\psi(e_1)+\cdots+c_r\psi(e_r)$, 若它属于 $\mathrm{Ker}\varphi$, 则有 $$0=\varphi(c_1\psi(e_1)+\cdots+c_r\psi(e_r))=c_1\varphi(e_1)+\cdots+c_r\varphi(e_r),$$ 从而 $c_1=\cdots=c_r=0$, 即有 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$. 必要性: 若 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 则对 $r+1\leq j\leq n$ 有, $\varphi(\psi(e_j))=\varphi(e_j)=0$, 从而 $\psi(e_j)\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 即 $\psi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$. 于是 $\mathrm{Im}\psi$ 中任一向量都是 $\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)$ 的线性组合, 即 $\{\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\psi$ 的一组基. 特别地, $r(\psi)=r(\phi)=r$.

几何证法6 (映射复合的核空间)  注意到 $\mathrm{Ker}\varphi\psi=\psi^{-1}(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)$ (这里 $\psi^{-1}$ 表示原像全体), 将 $\psi$ 限制在 $\mathrm{Ker}\varphi\psi$ 上, 可得满线性映射 $\psi_1:\mathrm{Ker}\varphi\psi\to\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi$. 注意到 $\mathrm{Ker}\psi_1=\mathrm{Ker}\psi$, 由线性映射的维数公式可得 $$\dim\mathrm{Ker}\varphi=\dim\mathrm{Ker}\varphi\psi=\dim\mathrm{Ker}\psi+\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi),$$ 于是 $\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)=r(\psi)-r(\varphi)$, 由此即得充要条件.

注  (1)  18级同学在证明的过程中, 有的同学是充分性和必要性分别采取不同的证法; 也有同学证出满足充要条件的 $\psi$ 一定是幂等变换 ($\mathrm{Im}(I_V-\psi)\subseteq\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\psi$, 从而 $\psi^2=\psi$); 17级陈柯屿同学把问题转化为代数问题, 再把 $A$ 化简为相抵标准型给出了一个不同于上面的证明 (但并不简洁, 所以就不登载了). 上面这六种证法联系起了线性空间理论和线性变换理论的众多知识点, 强烈推荐大家仔细阅读, 认真体会.

(2)  本题做对 (得分 9 分以上) 的同学共有 51 人, 名单如下:

几何证法1: 章黎景华, 金维涵, 张天赐, 李沛扬, 刘羽;

几何证法2: 吴洲同, 郭都, 范辰健, 孙晓雯, 唐逸扬, 刘林洋, 李松林, 封清, 陈宇杰, 谢永乐, 黄泽松, 周星雨, 刘一川, 张哲维, 唐朝亮;

几何证法3 & 代数证法1 & 几何证法4: 罗通, 吴润华, 王晟灏, 高博文, 顾天翊, 时天宇, 王捷翔, 祝苒雯, 杨佳奇, 李雨昊, 陈钦品, 赵界清, 华树杰, 叶雨阳, 江孝奕, 刘天航, 张俊杰, 周子翔, 黄诗涵, 林万山, 张思哲, 吴彦桥, 黄永晟, 宋展鹏, 肖然;

几何证法5: 李玮, 张轩铭, 丁思成, 周烁星;

几何证法6: 廖庄子龙;

代数证法2: 陈柯屿.