自然对数e的推导过程

我们都知道自然对数是以e为底的，e=2.718…，那么e到底是怎么来的呢？

考虑一下我们存在银行里面的存款，假设本金为1元，利率为1，那到期的本息为：1+1∗1=21+1*1=2。

假设我不想一年后归还本息，我想分期12个月来算，每月复利，那一年后的本息为： (1+112)12=2.613(1+\frac{1}{12})^{12}=2.613

当分期无穷大的时候，我们可以发现上面的值收敛为：2.718….

我们可以设本金为p，利率为r，分期为n，可导出公式为：p∗(1+rn)np*(1+\frac{r}{n})^n
令：1x=rn\frac{1}{x} = \frac{r}{n},
则：n=xrn=xr
公式化简为：p∗(1+1x)rxp*(1+\frac{1}{x})^{rx},
当n→∞{n\to \infty}时，x→∞{x\to \infty}
则：

limx→∞p∗(1+1x)rx=limx→∞p∗((1+1x)x)r=p∗limx→∞((1+1x)x)r=p∗(limx→∞(1+1x)x)r=p∗er

\begin{align}& \lim_{x\to \infty} p*(1+\frac{1}{x})^{rx} \\ &=\lim_{x\to \infty} p*((1+\frac{1}{x})^{x} )^{r}\\& = p *\lim_{x\to \infty} ((1+\frac{1}{x})^{x} )^{r}\\ & = p *(\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x} )^{r} \\& = p*e^{r} \end{align}
也就是说，但x无限大的时候，我们把该值称为e，因此，复利的计算公式就可化简为： p∗erp*e^{r}，其中，p为本金，r的利率。

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