数学物理方程逻辑梳理和有关思考

数理方程在做什么？

解方程，分为三类，以及齐次与不齐次的情况
振动时的位移：utt=a2Δu热传导的温度：ut=a2Δu稳定温度场，电场电位，浓度分布等：Δu=0振动时的位移：u_{tt}=a^2\Delta u \\ 热传导的温度：u_{t}=a^2\Delta u\\ 稳定温度场，电场电位，浓度分布等：\Delta u=0\\ 振动时的位移：utt=a2Δu热传导的温度：ut=a2Δu稳定温度场，电场电位，浓度分布等：Δu=0
怎么解方程?

需要边界条件和初始条件

根据不同的边界条件或初始条件选择不同的参考系

其中，一维或多维矩形长方体或无限等边界条件往往使用普通分离变量法或积分变换法（本质上是信号与系统中的系统）（使用哪种变换往往取绝于区域和初始条件），二维圆边界条件Laplace方程使用分离变量法，二维圆边界条件+与t有关使用分离变量法后使用贝塞尔函数法，一维三维与u_tt有关+已知初始条件使用行波法（如果是二维将三维行波法降维后使用），三维Laplace方程任意形状边界使用格林公式法（根据域形状来确定镜像法中的G)

数理方程的一些物理含义

正交变换系(带权)

正交三角函数系
傅里叶变换
Laplace变换
有限傅里叶变换
贝塞尔函数变换（权是r）

所以贝塞尔函数本质无任何特殊性

非齐次方程或边界的系统意义

非齐次方程指有输入

非齐次边界（时间边界也是边界）指有状态

全响应=零输入+零状态，本质上是叠加定理

行波法的影响区域意义-卷积带来的积分变换法

以速度为a进行传播，从而可以想见未来的某点点值取决于并完全取决于与之距离为at的所有点的初始状态

一维：
u(x,t)=ϕ(x−at)+ϕ(x+at)2+12a∫x−atx+atΦ(α)dαu(x,t)=\frac{\phi(x-at)+\phi(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \Phi(\alpha)d\alpha u(x,t)=2ϕ(x−at)+ϕ(x+at)+2a1∫x−atx+atΦ(α)dα

三维：

uˉ\bar uuˉ是球面平均函数

二维是来源于将三维降维

非齐次即相当于是有激励进行卷积即可

一维

同理可以得到三维情况的非齐次（但是一般都会先尝试用辅助函数扔掉非齐次项）

由于可以卷积获得结果，故可以用Fourier Laplace 有限Fourier来处理此式，其核心是对任意一个自由度作积分变换不影响其余自由度

行波法针对三维问题时的电位物理意义

utt=a2Δuu_{tt}=a^2\Delta uutt=a2Δu

视u为电位，则对右侧进行体积分相当于是求该区域的穿透边缘的电场强度通量和，则自然而然为
,为边缘平均电位沿r的偏导乘以表面积

而左边进行体积分可以先对u进行体积分后对t求二阶偏导，对左边进行体积分可以自然而然的用球面平均函数来表示，即

从而得到(ruˉ)tt=a2(ruˉ)rr(r\bar u)_{tt}=a^2(r\bar u)_{rr}(ruˉ)tt=a2(ruˉ)rr

把ruˉr\bar uruˉ 视为一个整体则可以用一维的行波法来做

格林函数的物理本质

本质上是找到可以使得所需位置有一个奇点，周围都满足Laplace方程，边界全为0从而不需要知道边界
的值就可以借此根据u边界值算出u(M0)

镜像法本质上是方程边界初始条件都相同的解也相同，即唯一性定理，常见于电磁场的运用

二维−12πln(1r)-\frac{1}{2\pi} ln(\frac{1}{r})−2π1ln(r1)

三维14πr\frac{1}{4\pi r}4πr1

上面两个是全区域上可以消掉丑陋参数的对应G

格林函数法本质上来源于格林公式

今天跟陈宇老师讨论之后又有了新收获分享如下

平行世界观-如何看待选取坐标系和变换

选取坐标系：为了和物理现象保持一致性，往往边界和物理现象也具有一致性，故看上去和边界具有了一致性。如果保持了一致性，那么分布情况会更好找规律或好算。

变换：比如Fourier，相当于是，我在看另一边，另一边在跑，手还在挥，这样我跟另一边保持相同速度一起跑，这样就可以直接清楚的看对方手挥的样子了。类比过来，sin wt 随着t在变换，两边都分解到sin wt 上时，相当于保持相同速度一起跑，约去sin wt 就相当于略去了t这个变量带来的影响，因为已经相同速度跑了，那么t就不影响了。