数学物理方程学习笔记1

1.弦振动方程

1.1方程的导出与定解条件

物理模型：一根长为 l l l的柔软均匀细弦，拉紧以后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求不同时刻弦线的形状。

遵循规律：动量守恒

方程： u t t − a 2 u x x = f ( x , t ) , 0 < x < l , t > 0 u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t),0<x<l,t>0 utt−a2uxx=f(x,t),0<x<l,t>0，其中 a 2 a^2 a2表示单位线密度张力， f f f表示单位质量上的外力。

定解条件:（1）初始条件
u ( x , 0 ) = φ ( x ) , 0 ≤ x ≤ l u t ( x , 0 ) = ψ ( x ) , 0 ≤ x ≤ l u(x,0)=\varphi(x),0\leq x \leq l\\ u_{t}(x,0)=\psi(x),0\leq x \leq l u(x,0)=φ(x),0≤x≤lut(x,0)=ψ(x),0≤x≤l
（2）边界条件

1‘第一边界条件（端点的位移）
u ( 0 , t ) = g 1 ( t ) , t > 0 u ( l , t ) = g 2 ( t ) , t > 0 u(0,t)=g_1(t),t>0\\ u(l,t)=g_2(t),t>0 u(0,t)=g1(t),t>0u(l,t)=g2(t),t>0
g 1 ( t ) = g 2 ( t ) = 0 g_1(t)=g_2(t)=0 g1(t)=g2(t)=0，称弦线具有固定端

2‘第二边界条件（端点所受的垂直于弦线的外力的作用）
− T u x ( 0 , t ) = g 1 ( t ) , t > 0 T u x ( l , t ) = g 2 ( t ) , t > 0 -Tu_x(0,t)=g_1(t),t>0\\ Tu_x(l,t)=g_2(t),t>0 −Tux(0,t)=g1(t),t>0Tux(l,t)=g2(t),t>0
g 1 ( t ) = g 2 ( t ) = 0 g_1(t)=g_2(t)=0 g1(t)=g2(t)=0，称弦线具有自由端

3‘第三边界条件（端点的位移与所受外力的线性组合）
− T u x ( 0 , t ) + a u ( 0 , t ) = g 1 ( t ) , t > 0 T u x ( l , t ) + b u ( l , t ) = g 2 ( t ) , t > 0 -Tu_x(0,t)+au(0,t)=g_1(t),t>0\\ Tu_x(l,t)+bu(l,t)=g_2(t),t>0 −Tux(0,t)+au(0,t)=g1(t),t>0Tux(l,t)+bu(l,t)=g2(t),t>0

1.2基本概念

（1）各种问题

定解条件=初始条件+边界条件

定解问题=方程+定解条件

Cauchy/初值问题=方程+初始条件

（2）波动方程

波动方程： u t t − Δ u = f , （ L a p l a c e ） Δ u = ∑ i = 1 n ∂ 2 u ∂ t i 2 , n u_{tt}-\Delta u=f,（Laplace）\Delta u=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2u}{\partial{t_i}^2},n utt−Δu=f,（Laplace）Δu=∑i=1n∂ti2∂2u,n是维数

一维波动方程： u t t − a 2 u x x = f u_{tt}-a^2u_{xx}=f utt−a2uxx=f–弦的横/纵振动

二维波动方程： u t t − a 2 ( u x x + u y y ) = f u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy})=f utt−a2(uxx+uyy)=f–膜振动、水波

三维波动方程： u t t − a 2 ( u x x + u y y + u z z ) = f u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=f utt−a2(uxx+uyy+uzz)=f–声波

二维与三维的本质区别：声波传播到一定远处之后会停止，而水波不会。石子投入水中，层层浪花；声波过后静止。

波动方程的基本特征：扰动的传播速度有限

1.3Cauchy问题的求解

Cauchy问题：
{ u t t − a 2 Δ u = f ( x , t ) , x ∈ R n , t > 0 u ( x , 0 ) = φ ( x ) , x ∈ R n u t ( x , 0 ) = ψ ( x ) , x ∈ R n \begin{cases} u_{tt}-a^2\Delta u=f(x,t),x\in R^n,t>0\\ u(x,0)=\varphi(x),x\in R^n \\ u_t(x,0)=\psi(x),x\in R^n \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧utt−a2Δu=f(x,t),x∈Rn,t>0u(x,0)=φ(x),x∈Rnut(x,0)=ψ(x),x∈Rn

1.3.1简化问题

叠加原理：

记 □ u = u t t − a 2 Δ u ， u 1 , u 2 , u 3 \Box u=u_{tt}-a^2\Delta u，u_1,u_2,u_3 □u=utt−a2Δu，u1,u2,u3分别为以下方程1、2、3的解，

{ □ u = 0 u ( x , 0 ) = φ ( x ) u t ( x , 0 ) = 0 \begin{cases} \Box u=0\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ u_t(x,0)=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧□u=0u(x,0)=φ(x)ut(x,0)=0

{ □ u = 0 u ( x , 0 ) = 0 u t ( x , 0 ) = ψ ( x ) \begin{cases} \Box u=0\\ u(x,0)=0\\ u_t(x,0)=\psi(x) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧□u=0u(x,0)=0ut(x,0)=ψ(x)

{ □ u = f u ( x , 0 ) = 0 u t ( x , 0 ) = 0 \begin{cases} \Box u=f\\ u(x,0)=0\\ u_t(x,0)=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧□u=fu(x,0)=0ut(x,0)=0

则 u = u 1 + u 2 + u 3 u=u_1+u_2+u_3 u=u1+u2+u3为Cauchy问题的解

定理1设 u 2 = M ψ ( x , t ) u_2=M_{\psi}(x,t) u2=Mψ(x,t)为方程2的解，则
u 1 = ∂ ∂ t M φ ( x , t ) u 3 = ∫ 0 t M f τ ( x , t − τ ) d τ , f τ = f ( x , τ ) u_1=\frac{\partial}{\partial t}M_{\varphi}(x,t)\\ u_3=\int_{0}^{t}M_{f_\tau}(x,t-\tau)d\tau,f_\tau=f(x,\tau) u1=∂t∂Mφ(x,t)u3=∫0tMfτ(x,t−τ)dτ,fτ=f(x,τ)

1.3.2基本问题的求解

{ □ u = 0 u ( x , 0 ) = 0 u t ( x , 0 ) = ψ ( x ) \begin{cases} \Box u=0\\ u(x,0)=0\\ u_t(x,0)=\psi(x) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧□u=0u(x,0)=0ut(x,0)=ψ(x)

n=1:
{ u t t − a 2 u x x = 0 , x ∈ R , t > 0 u ( x , 0 ) = 0 , x ∈ R u t ( x , 0 ) = ψ ( x ) , x ∈ R \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0,x\in R,t>0\\ u(x,0)=0,x\in R \\ u_t(x,0)=\psi(x),x\in R \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧utt−a2uxx=0,x∈R,t>0u(x,0)=0,x∈Rut(x,0)=ψ(x),x∈R

（特征线法）

思想：沿着特征线，一阶偏微分方程具有常微分方程的形式，将PDE → \rightarrow →ODE

定义：对于一阶偏微分方程 ∂ w ∂ t + a ( w , x , t ) ∂ w ∂ x = g ( w , x , t ) \frac{\partial w}{\partial t}+a(w,x,t)\frac{\partial w}{\partial x}=g(w,x,t) ∂t∂w+a(w,x,t)∂x∂w=g(w,x,t),称 d x d t = a ( w , x , t ) \frac{dx}{dt}=a(w,x,t) dtdx=a(w,x,t)为方程的特征方程，其积分曲线为特征线。

求解：

（1）对微分算子因式分解
( ∂ 2 ∂ t 2 − a 2 ∂ 2 ∂ x 2 ) u 2 = ( ∂ ∂ t + a ∂ ∂ x ) ( ∂ ∂ t − a ∂ u ∂ x ) u = 0 (\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})u^2=(\frac{\partial }{\partial t}+a\frac{\partial }{\partial x})(\frac{\partial }{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x})u=0\\ (∂t2∂2−a2∂x2∂2)u2=(∂t∂+a∂x∂)(∂t∂−a∂x∂u)u=0
得到
{ ( ∂ ∂ t − a ∂ ∂ x ) u = v ( ∂ ∂ t + a ∂ ∂ x ) v = 0 \begin{cases} (\frac{\partial }{\partial t}-a\frac{\partial }{\partial x})u=v\\ (\frac{\partial }{\partial t}+a\frac{\partial }{\partial x})v=0 \end{cases} {(∂t∂−a∂x∂)u=v(∂t∂+a∂x∂)v=0

{ u t − a u x = v , u ( x , 0 ) = 0 , \begin{cases} u_t-au_x=v,\\ u(x,0)=0, \end{cases} {ut−aux=v,u(x,0)=0,

{ v t + a v x = 0 , v ( x , 0 ) = ψ ( x ) , \begin{cases} v_t+av_x=0,\\ v(x,0)=\psi(x), \\ \end{cases} {vt+avx=0,v(x,0)=ψ(x),

（2）使用特征线法求解 u , v u,v u,v的方程1

对于 v v v,特征方程 d x d t = a \frac{dx}{dt}=a dtdx=a,特征线 x = a t + c x=at+c x=at+c

沿特征线 d v ( ( x , t ) , t ) d t = v x ⋅ a + u t = 0 \frac{dv((x,t),t)}{dt}=v_x\cdot a+u_t=0 dtdv((x,t),t)=vx⋅a+ut=0,则 v ( ( x , t ) , t ) = c ′ v((x,t),t)=c' v((x,t),t)=c′

由初始条件得 v ( ( x , 0 ) , 0 ) = v ( c , 0 ) = ψ ( c ) v((x,0),0)=v(c,0)=\psi(c) v((x,0),0)=v(c,0)=ψ(c),则 c ′ = ψ ( c ) , v ( x , t ) = ψ ( c ) = ψ ( x − a t ) c'=\psi(c),v(x,t)=\psi(c)=\psi(x-at) c′=ψ(c),v(x,t)=ψ(c)=ψ(x−at)

对于 u u u,特征方程 d x d t = − a \frac{dx}{dt}=-a dtdx=−a,特征线 x = − a t + c x=-at+c x=−at+c

沿特征线 d ( u ( x , t ) , t ) d t = u x ⋅ ( − a ) + u t = v = ψ ( c − 2 a t ) \frac{d(u(x,t),t)}{dt}=u_x\cdot(-a)+u_t=v=\psi(c-2at) dtd(u(x,t),t)=ux⋅(−a)+ut=v=ψ(c−2at),则 u ( ( x , t ) , t ) = ∫ 0 t ψ ( c − 2 a τ ) d τ + u ( ( x , 0 ) , 0 ) = ∫ 0 t ψ ( c − 2 a τ ) d τ = ξ = c − 2 a τ 1 − 2 a ∫ c c − 2 a t ψ ( ξ ) d ξ = 1 − 2 a ∫ x + a t x − a t ψ ( ξ ) d ξ = 1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ( ξ ) d ξ u((x,t),t)=\int_{0}^{t}\psi(c-2a\tau)d\tau+u((x,0),0)=\int_{0}^{t}\psi(c-2a\tau)d\tau\stackrel{\xi=c-2a\tau}=\frac{1}{-2a}\int_{c}^{c-2at}\psi(\xi)d\xi=\frac{1}{-2a}\int_{x+at}^{x-at}\psi(\xi)d\xi=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi u((x,t),t)=∫0tψ(c−2aτ)dτ+u((x,0),0)=∫0tψ(c−2aτ)dτ=ξ=c−2aτ−2a1∫cc−2atψ(ξ)dξ=−2a1∫x+atx−atψ(ξ)dξ=2a1∫x−atx+atψ(ξ)dξ

（代换法）

代换法只在特殊的情况下才能使用
{ ξ = x + a t η = x − a t \begin{cases} \xi=x+at\\ \eta=x-at \end{cases} {ξ=x+atη=x−at

1.3.3Cauchy问题的解

已知 u 2 = 1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ( ξ ) d ξ u_2=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi u2=2a1∫x−atx+atψ(ξ)dξ,则

u 1 = ∂ ∂ t ( 1 2 a ∫ x − a t x + a t φ ( ξ ) d ξ ) = 1 2 [ φ ( x + a t ) − φ ( x − a t ) ] u 3 = ∫ 0 t ( 1 2 a ∫ x − a t x + a t f ( ξ , t − τ ) d ξ ) d τ = 1 2 a ∫ 0 t d τ ∫ x − a ( t − τ ) x + a ( t − τ ) f ( ξ , t ) d ξ u_1=\frac{\partial}{\partial t}(\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\varphi(\xi)d\xi)=\frac{1}{2}[\varphi(x+at)-\varphi(x-at)]\\ u_3=\int_{0}^{t}(\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}f(\xi,t-\tau)d\xi)d\tau=\frac{1}{2a}\int_{0}^{t}d\tau\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,t)d\xi\\ u1=∂t∂(2a1∫x−atx+atφ(ξ)dξ)=21[φ(x+at)−φ(x−at)]u3=∫0t(2a1∫x−atx+atf(ξ,t−τ)dξ)dτ=2a1∫0tdτ∫x−a(t−τ)x+a(t−τ)f(ξ,t)dξ
D’Alembert公式：
u = u 1 + u 2 + u 3 = 1 2 [ φ ( x + a t ) − φ ( x − a t ) ] + 1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ( ξ ) d ξ + 1 2 a ∫ 0 t d τ ∫ x − a ( t − τ ) x + a ( t − τ ) f ( ξ , t ) d ξ u=u_1+u_2+u_3=\frac{1}{2}[\varphi(x+at)-\varphi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi+\frac{1}{2a}\int_{0}^{t}d\tau\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,t)d\xi u=u1+u2+u3=21[φ(x+at)−φ(x−at)]+2a1∫x−atx+atψ(ξ)dξ+2a1∫0tdτ∫x−a(t−τ)x+a(t−τ)f(ξ,t)dξ

1.3.4解的性质

（1）形式解+？=真正解（ u ∈ C 2 ( Q ˉ ) , Q = { ( x , t ) ∣ − ∞ 0 } u\in C^2(\bar Q),Q=\{(x,t)|-\infty0\} u∈C2(Qˉ),Q={(x,t)∣−∞0}）

？： φ ∈ C 2 , ψ ∈ C 1 , f ∈ C 1 ( Q ˉ ) \varphi\in C^2,\psi\in C^1,f\in C^1(\bar Q) φ∈C2,ψ∈C1,f∈C1(Qˉ)

（2）奇偶性、周期性

φ , ψ , f \varphi,\psi,f φ,ψ,f是关于 x x x的奇/偶/周期函数，则 u u u也是关于 x x x的奇/偶/周期函数

（3）解的估计–能量不等式

n=2:

∬ Ω τ ( u t 2 + a 2 ∣ Δ u ∣ 2 ) d x d y ≤ M [ ∬ Ω 0 ( ψ 2 + a 2 ∣ Δ φ ∣ 2 ) d x d y + ∭ K τ f 2 d x d y d t ] \iint_{\Omega_{\tau}}(u_t^2+a^2|\Delta u|^2)dxdy\leq M[\iint_{\Omega_{0}}(\psi^2+a^2|\Delta\varphi|^2)dxdy+\iiint_{K_{\tau}}f^2dxdydt] ∬Ωτ(ut2+a2∣Δu∣2)dxdy≤M[∬Ω0(ψ2+a2∣Δφ∣2)dxdy+∭Kτf2dxdydt]

K = { ( x , y , t ) ∣ ( ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ≤ a ( t 0 − t ) } K=\{(x,y,t)|\sqrt{((x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\leq a(t_0-t)\} K={(x,y,t)∣((x−x0)2+(y−y0)2 ≤a(t0−t)}–以 ( x 0 , y 0 , t 0 ) (x_0,y_0,t_0) (x0,y0,t0)为顶点的锥体

K τ = K ∩ { 0 ≤ t ≤ τ } K_{\tau}=K\cap\{0\leq t\leq\tau\} Kτ=K∩{0≤t≤τ}

Ω τ = K ∩ t = τ ( 0 ≤ t ≤ τ ) \Omega_{\tau}=K\cap{t=\tau}(0\leq t\leq \tau) Ωτ=K∩t=τ(0≤t≤τ)

（4）唯一性

设 u 1 , u 2 u_1,u_2 u1,u2是Cauchy问题的解，记 w = u 1 − u 2 w=u_1-u_2 w=u1−u2， w w w满足：
□ w = □ u 1 − □ u 2 = 0 w ∣ t = 0 = 0 w t ∣ t = 0 = 0 \Box w=\Box u_1-\Box u_2=0\\ w|_{t=0}=0\\ w_{t}|_{t=0}=0\\ □w=□u1−□u2=0w∣t=0=0wt∣t=0=0
根据能量不等式有 ∬ Ω τ ( w t 2 + a 2 ∣ Δ w ∣ 2 ) d x d y ≤ 0 \iint_{\Omega_{\tau}}(w_t^2+a^2|\Delta w|^2)dxdy\leq0 ∬Ωτ(wt2+a2∣Δw∣2)dxdy≤0，则
w t = 0 w x = 0 w y = 0 w_t=0\\ w_x=0\\ w_y=0 wt=0wx=0wy=0
即 w = C = 0 ( t = 0 ) , u 1 = u 2 w=C=0(t=0),u_1=u_2 w=C=0(t=0),u1=u2

（5）连续依赖性
{ □ u 1 = f 1 u 1 ∣ t = 0 = φ 1 u 1 t ∣ t = 0 = ψ 1 { □ u 2 = f 2 u 2 ∣ t = 0 = φ 2 u 2 t ∣ t = 0 = ψ 2 \begin{cases} \Box u_1=f_1\\ u_1|_{t=0}=\varphi_1\\ u_1{_t}|_{t=0}=\psi_1 \end{cases}\\ \begin{cases} \Box u_2=f_2\\ u_2|_{t=0}=\varphi_2\\ u_2{_t}|_{t=0}=\psi_2 \end{cases}\\ ⎩⎪⎨⎪⎧□u1=f1u1∣t=0=φ1u1t∣t=0=ψ1⎩⎪⎨⎪⎧□u2=f2u2∣t=0=φ2u2t∣t=0=ψ2
w = u 1 − u 2 w=u_1-u_2 w=u1−u2

修改后的能量不等式
∬ Ω τ ( u 2 + u t 2 + a 2 ∣ Δ u ∣ 2 ) d x d y ≤ M [ ∬ Ω 0 ( ψ 2 + a 2 ∣ Δ φ ∣ 2 + φ 2 ) d x d y + ∭ K τ f 2 d x d y d t ] ⟹ ∭ K τ ( w 2 + w t 2 + a 2 ∣ Δ w ∣ 2 ) d x d y d t ≤ ϵ − − 能量模意义下稳定 ⟹ ∭ K τ w 2 d x d y d t ≤ ϵ − − L 2 模意义下稳定 \iint_{\Omega_{\tau}}(u^2+u_t^2+a^2|\Delta u|^2)dxdy\leq M[\iint_{\Omega_{0}}(\psi^2+a^2|\Delta\varphi|^2+\varphi^2)dxdy+\iiint_{K_{\tau}}f^2dxdydt]\\ \Longrightarrow \iiint_{K_\tau}(w^2+w_t^2+a^2|\Delta w|^2)dxdydt\leq\epsilon --能量模意义下稳定\\ \Longrightarrow \iiint_{K_\tau}w^2dxdydt\leq \epsilon -- L^2模意义下稳定 ∬Ωτ(u2+ut2+a2∣Δu∣2)dxdy≤M[∬Ω0(ψ2+a2∣Δφ∣2+φ2)dxdy+∭Kτf2dxdydt]⟹∭Kτ(w2+wt2+a2∣Δw∣2)dxdydt≤ϵ−−能量模意义下稳定⟹∭Kτw2dxdydt≤ϵ−−L2模意义下稳定
（6）适定性=存在性+唯一性+稳定性