基础学习

2022.4.7

数列极限

数列极限，题一般是证明极限存在或者求极限。有五种解题思路，定义、性质、四则运算、夹逼、单调有界，最后一个一般用于递推数列。

求递推数列极限一般解法是，先用各种方法，比如数学归纳法、三角不等式，求数列大致范围，再减/除，并根据范围求得求单增/单减的性质，得出极限存在，最后等式两边极限即可得极限。也有的递推数列可以直接求出数列的解析式。

直接求递推数列时，要灵活运用错位相减/加。

函数极限

函数极限，有几种考察方向，未定式极限、间断点、证明存在/不存在、无穷小比阶、性质使用。主要是未定式极限和间断点的考察，性质使用一般和其他内容结合来考。

未定式极限，首先就得化简，化简有六种方式，对于不同的原式尝试操作的优先级不同。

比如带根号就先看有理化（不管是否会变复杂），

两个分数先通分，

非初等函数先考虑换元（比如e^(x^(1/2))，带e的复杂函数），

带arc的就考虑先洛或者泰勒再化简（arctanx），

其他带幂的考虑e^ln(原式)的变换

化简完再看是洛还是用泰勒或者夹逼，一般有加减运算，而加减的项又非x多项式或ln的，会考虑用泰勒。或者先洛，洛起来复杂就试试泰勒。而两种都不行，比如[x]，这种比较奇怪的函数，就考虑夹逼。

求函数极限很容易出错，除了计算错误，还有以下两个值得注意的地方。

第一是x趋于负值时，比如x->-∞，一定要注意函数中有没有根号，因为x=-根号x^2，有一个负号，切记。所以为避免错误，一般看到符号就先换元，把-x换成t。

第二是间断点，在间断点上的极限一定要记得求两端的极限！

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