前缀表达式与后缀表达式求法（栈的应用）

1.前缀、中缀、后缀表达式
中缀表达式即为人们熟悉的数学运算式子写法。而前缀、后缀表达式是为了计算机计算方便的写法。
前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。后缀表达式则是将操作数写在前面，运算符写在后面。
前缀表达式又称波兰表达式，后缀表达式又称逆波兰表达式。通过利用栈的特性，我们可以从中缀表达式得到前后缀表达式，轻松的计算出其结果。
我们先写一组表达式，后面就用这组表达式：

中缀：9*8+(14-8/2)*3
前缀：+ * 9 8 * - 14 / 8 2 3   //这里把每一个操作数或运算符用空格分开
后缀：9 8 * 14 8 2 / - 3 * +

如何存储前缀和后缀表达式呢？如果直接用字符串，那么数字之前就会混乱，所以我用了结构体存储：

struct A
{int a;char type;  //数字为0，符号为1
};
struct Poland    //前缀/后缀表达式的存储方式   不用string的原因是，无法从字符串中分开操作数
{char type;  //p前缀  s后缀int lenth;A *content;
};

2.中缀表达式转前缀表达式
①初始化两个栈S1,S2，从右往左扫描中缀式。

②遇到操作数：将其压入S2栈。

③遇到括号时：
若是右括号‘）’，将其压入S1栈；
若是左括号‘（’，则依次弹出S1栈的元素，并将其压入S2栈，直至S1栈栈顶元素为右括号‘）’，弹出这个右括号。

④遇到运算符时：
若S1栈为空或者其栈顶元素为右括号‘）’，将其压入S1。
否则，比较运算符和S1栈顶运算符（一定是运算符）的优先级：
若其优先级≥S1栈顶运算符，则将其压入S1；
若小于，则将S1栈顶运算符弹出并压入S2，重新进行步骤④。

⑤重复②③④直到到达中缀式最左边，将S1剩余元素压入S2。最后依次取出S2元素即为前缀表达式。

代码：

/*已知中缀表达式，求前缀表达式*/
Poland infix_to_prefix(string infix)
{stack<A> s1, s2;regex p("(\\d+)");   //用于查找数字的正则式string s = infix;reverse(s.begin(), s.end());   //求前缀式需要从右往左扫描，为了方便，直接颠倒字符串string::const_iterator iter = s.begin();string::const_iterator iter_end = s.end();while (iter < iter_end){smatch result;if (iter >= iter_end)   //防止迭代器位置超出字符串break;if (*iter >= '0'&&*iter <= '9') //遇操作数   这里不能直接用regex_search，必须要确定后面的字符串第一个字符是数字{regex_search(iter, iter_end, result, p);string temp = result[0];int num = atoi(temp.c_str());  //string转int     c_str函数返回当前字符串的首字符地址A sym1;sym1.a = num;sym1.type = 0;s2.push(sym1);iter = result[0].second;  //别忘了更新迭代器位置，这里second表示查找到的数字在源串中后面部分串的首地址}else  //遇符号{char ope = *iter;A sym2;sym2.a = (int)ope;sym2.type = 1;label:if (ope == ')')   //遇右括号，直接入栈{s1.push(sym2);}else if (ope == '(')  //遇左括号，将栈内直到右括号之前的元素依次弹出压入S2{while (s1.top().a != (int)')'){A t = s1.top();s1.pop();s2.push(t);}//这里让)也出栈s1.pop();}else  //其他运算符，如 %/* >= +-{if (s1.empty() || (s1.top().a == (int)')'&&s1.top().type == 1))  //若s1为空或其栈顶为)，符号入栈s1   或者符号优先级>=栈顶符号s1.push(sym2);else{int pri = compare_priority(ope, (char)s1.top().a);  //这里判断符号优先级 1大于 0相等 -1小于if (pri >= 0){s1.push(sym2);}else if (pri == -1)  //若优先级小于栈顶符号，则将栈顶符号弹出压入S2，继续比较{s2.push(s1.top());s1.pop();goto label;   //直接goto前面判断符号的开始位置}}}iter++;  //别忘了更新迭代器位置}}while (!s1.empty()){s2.push(s1.top());s1.pop();}/*以下部分为存储前缀表达式*/Poland prefix;prefix.type = 'p';prefix.lenth = s2.size();prefix.content = new A[prefix.lenth];  //结构体中定义的是存储首地址，需要在这里开辟合适大小的数组空间，存储length个操作数或符号数据int k = 0;while (!s2.empty()){A res = s2.top();A nres;s2.pop();if (res.type == 0){string numm = to_string(res.a);reverse(numm.begin(), numm.end());  //因为之前将中缀式颠倒时，数字也颠倒了。这里要改回来nres.type = 0;nres.a = atoi(numm.c_str());}else{nres.type = 1;nres.a = res.a;}*(prefix.content + k) = nres;k++;}return prefix;}

3.求前缀表达式的值
①初始化一个栈S，从右往左扫描前缀式。

②遇到操作数时，则将其压入栈S。

③遇到运算符时，取出栈S的栈顶元素和次顶元素，运行运算。栈顶元素运算符次顶元素 = 结果。将结果压入栈S。

④重复②③直到到达前缀式最左边，此时栈S栈顶元素即为计算结果。

代码：

/*求前缀表达式的值*/
int cal_prefix(Poland prefix)
{stack<A> s;int i = prefix.lenth - 1;while (i >= 0){A temp = *(prefix.content + i);if (temp.type == 0){s.push(temp);}else{A num1 = s.top();s.pop();A num2 = s.top();s.pop();A res;res.type = 0;if (temp.a == (int)'+'){res.a = num1.a + num2.a;}else if (temp.a == (int)'-'){res.a = num1.a - num2.a;}else if (temp.a == (int)'*'){res.a = num1.a * num2.a;}else if (temp.a == (int)'/'){res.a = num1.a / num2.a;}else if (temp.a == (int)'%'){res.a = num1.a % num2.a;}s.push(res);}i--;}return s.top().a;
}

4.中缀表达式转后缀表达式
与2类似，最主要的区别是，这里采用正序扫描。且左右括号的情况反过来了，且优先级比较处有微小区别，且最后结果要倒过来。

①初始化两个栈S1,S2，从右往左扫描中缀式。

②遇到操作数：将其压入S2栈。

③遇到括号时：
若是左括号‘（’，将其压入S1栈；
若是右括号‘）’，则依次弹出S1栈的元素，并将其压入S2栈，直至S1栈栈顶元素为左括号‘（’，弹出这个左括号。

④遇到运算符时：
若S1栈为空或者其栈顶元素为左括号‘（’，将其压入S1。
否则，比较运算符和S1栈顶运算符（一定是运算符）的优先级：
若其优先级>S1栈顶运算符，则将其压入S1；
若其优先级≤S1栈顶运算符，则将S1栈顶运算符弹出并压入S2，重新进行步骤④。

⑤重复②③④直到到达中缀式最右边。将S1剩余元素压入S2。最后依次取出S2元素进行倒序即为后缀表达式。

代码：

Poland infix_to_suffix(string infix)
{stack<A> s1, s2;regex p("(\\d+)");   //用于查找数字的正则式string s = infix;string::const_iterator iter = s.begin();string::const_iterator iter_end = s.end();while (iter < iter_end){smatch result;if (iter >= iter_end)   //防止迭代器位置超出字符串break;if (*iter >= '0'&&*iter <= '9') //遇操作数   这里不能直接用regex_search，必须要确定后面的字符串第一个字符是数字{regex_search(iter, iter_end, result, p);string temp = result[0];int num = atoi(temp.c_str());  //string转int     c_str函数返回当前字符串的首字符地址A sym1;sym1.a = num;sym1.type = 0;s2.push(sym1);iter = result[0].second;  //别忘了更新迭代器位置，这里second表示查找到的数字在源串中后面部分串的首地址}else  //遇符号{char ope = *iter;A sym2;sym2.a = (int)ope;sym2.type = 1;label:if (ope == '(')   //遇左括号，直接入栈{s1.push(sym2);}else if (ope == ')')  //遇右括号，将栈内直到左括号之前的元素依次弹出压入S2{while (s1.top().a != (int)'('){A t = s1.top();s1.pop();s2.push(t);}//这里让(也出栈s1.pop();}else  //其他运算符，如 %/* >= +-{if (s1.empty() || (s1.top().a == (int)'('&&s1.top().type == 1))  //若s1为空或其栈顶为(，符号入栈s1   或者符号优先级>栈顶符号s1.push(sym2);else{int pri = compare_priority(ope, (char)s1.top().a);  //这里判断符号优先级 1大于 0相等 -1小于if (pri > 0){s1.push(sym2);}else if (pri == -1||pri==0)  //若优先级小于等于栈顶符号，则将栈顶符号弹出压入S2，继续比较{s2.push(s1.top());s1.pop();goto label;   //直接goto前面判断符号的开始位置}}}iter++;  //别忘了更新迭代器位置}}while (!s1.empty()){s2.push(s1.top());s1.pop();}/*以下部分为存储后表达式*/Poland suffix;suffix.type = 's';suffix.lenth = s2.size();suffix.content = new A[suffix.lenth];  //结构体中定义的是存储首地址，需要在这里开辟合适大小的数组空间，存储length个操作数或符号数据int k = suffix.lenth-1;  //这里要倒过来while (!s2.empty()){A res = s2.top();A nres;s2.pop();if (res.type == 0){string numm = to_string(res.a);nres.type = 0;nres.a = atoi(numm.c_str());}else{nres.type = 1;nres.a = res.a;}*(suffix.content + k) = nres;k--;}return suffix;
}

5.求后缀表达式的值
与3类似，同样这里要正序扫描，且次顶元素在运算符前。
①初始化一个栈S，从右往左扫描后缀式。

②遇到操作数时，则将其压入栈S。

③遇到运算符时，取出栈S的栈顶元素和次顶元素，运行运算。次顶元素运算符栈顶元素 = 结果。将结果压入栈S。

④重复②③直到到达前缀式最右边，此时栈S栈顶元素即为计算结果。

代码：

/*求后缀表达式的值*/
int cal_suffix(Poland suffix)
{stack<A> s;int i = 0;while (i < suffix.lenth){A temp = *(suffix.content + i);if (temp.type == 0){s.push(temp);}else{A num2 = s.top();s.pop();A num1 = s.top();s.pop();A res;res.type = 0;if (temp.a == (int)'+'){res.a = num1.a + num2.a;}else if (temp.a == (int)'-'){res.a = num1.a - num2.a;}else if (temp.a == (int)'*'){res.a = num1.a * num2.a;}else if (temp.a == (int)'/'){res.a = num1.a / num2.a;}else if (temp.a == (int)'%'){res.a = num1.a % num2.a;}s.push(res);}i++;}return s.top().a;
}

6.测试

int main()   //     9*8+(14-8/2)*3  =102         14-31%(19-8*2)+(56-33/(12-4))  =65
{string infix;cin >> infix;Poland prefix = infix_to_prefix(infix);Poland suffix = infix_to_suffix(infix);cout << endl;cout << "前缀表达式的长度为：" << prefix.lenth << endl;for (auto i = 0; i < prefix.lenth; i++){A temp = *(prefix.content + i);string ts = "";if (temp.type == 0)ts += to_string(temp.a);elsets += (char)temp.a;cout << ts << " ";}cout << endl;cout <<"前缀表达式的计算值为："<< cal_prefix(prefix) << endl;  cout << endl;cout << "后缀表达式的长度为：" << suffix.lenth << endl;for (auto i = 0; i < suffix.lenth; i++){A temp = *(suffix.content + i);string ts = "";if (temp.type == 0)ts += to_string(temp.a);elsets += (char)temp.a;cout << ts << " ";}cout << endl;cout << "后缀表达式的计算值为：" << cal_suffix(suffix) << endl;return 0;
}

分别尝试了三组中缀表达式，结果如下：
9*8+(14-8/2)*3 =102

14-31%(19-8*2)+(56-33/(12-4)) =65

3+(7245/167+54*(6522-681%13+192))*7 =2536306

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