数学建模：模拟退火算法

下面来介绍一下模拟退火算法的MATLAB实现原理及其方法：

模拟退火算法来源于固体退火原理，是一种基于概率的算法，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到某种稳定状态。

物理退火过程
加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在的非均匀态；
等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态；
冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。

热力学中的退火现象指物体逐渐降温时发生的物理现象：温度越低，物体的能量状态越低，到达足够的低点时，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。缓慢降温时，可达到最低能量状态；但如果快速降温，会导致不是最低能态的非晶形。

模仿自然界退火现象而得，利用了物理中固体物质的退火过程与一般优化问题的相似性从某一初始温度开始，伴随温度的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找全局最优解。

模拟退火算法的模拟要求
1 初始温度足够高
2 降温过程足够慢
3 终止温度足够低

模拟退火算法的计算步骤如下：

下面是MATLAB中的实现：

1、首先打开MATLAB软件，在其主界面的编辑器中分别写入下列四个程序

swap.m
function [ newpath , position ] = swap( oldpath , number )
% 对 oldpath 进行互换操作
% number 为产生的新路径的个数
% position 为对应 newpath 互换的位置
m = length( oldpath ) ; % 城市的个数
newpath = zeros( number , m ) ;
position = sort( randi( m , number , 2 ) , 2 ); % 随机产生交换的位置
for i = 1 : number
newpath( i , : ) = oldpath ;
% 交换路径中选中的城市
newpath( i , position( i , 1 ) ) = oldpath( position( i , 2 ) ) ;
newpath( i , position( i , 2 ) ) = oldpath( position( i , 1 ) ) ;
end

pathfare.m
function [ objval ] = pathfare( fare , path )
% 计算路径 path 的代价 objval
% path 为 1 到 n 的排列，代表城市的访问顺序；
% fare 为代价矩阵，且为方阵。
[ m , n ] = size( path ) ;
objval = zeros( 1 , m ) ;
for i = 1 : m
for j = 2 : n
objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , j - 1 ) , path( i , j ) ) ;
end
objval( i ) = objval( i ) + fare( path( i , n ) , path( i , 1 ) ) ;
end

distance.m
function [ fare ] = distance( coord )
% 根据各城市的距离坐标求相互之间的距离
% fare 为各城市的距离， coord 为各城市的坐标
[ v , m ] = size( coord ) ; % m 为城市的个数
fare = zeros( m ) ;
for i = 1 : m % 外层为行
for j = i : m % 内层为列
fare( i , j ) = ( sum( ( coord( : , i ) - coord( : , j ) ) .^ 2 ) ) ^ 0.5 ;
fare( j , i ) = fare( i , j ) ; % 距离矩阵对称
end
end

myplot.m
function [ ] = myplot( path , coord , pathfar )
% 做出路径的图形
% path 为要做图的路径，coord 为各个城市的坐标
% pathfar 为路径 path 对应的费用
len = length( path ) ;
clf ;
hold on ;
title( [ '近似最短路径如下，路程为' , num2str( pathfar ) ] ) ;
plot( coord( 1 , : ) , coord( 2 , : ) , 'ok');
pause( 0.4 ) ;
for ii = 2 : len
plot( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) , '-b');
x = sum( coord( 1 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ;
y = sum( coord( 2 , path( [ ii - 1 , ii ] ) ) ) / 2 ;
text( x , y , [ '(' , num2str( ii - 1 ) , ')' ] ) ;
pause( 0.4 ) ;
end
plot( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) , coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) , '-b' ) ;
x = sum( coord( 1 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ;
y = sum( coord( 2 , path( [ 1 , len ] ) ) ) / 2 ;
text( x , y , [ '(' , num2str( len ) , ')' ] ) ;
pause( 0.4 ) ;
hold off ;

clear;
% 程序参数设定
Coord = [ 0.6683 0.6195 0.4 0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ; ...
0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761 0.9414 0.6536 0.5219 0.3609 ] ; % 城市的坐标 Coordinates
t0 = 1 ; % 初温 t0
iLk = 20 ; % 内循环最大迭代次数 iLk
oLk = 50 ; % 外循环最大迭代次数 oLk
lam = 0.95 ; % λ lambda
istd = 0.001 ; % 若内循环函数值方差小于 istd 则停止
ostd = 0.001 ; % 若外循环函数值方差小于 ostd 则停止
ilen = 5 ; % 内循环保存的目标函数值个数
olen = 5 ; % 外循环保存的目标函数值个数
% 程序主体
m = length( Coord ) ; % 城市的个数 m
fare = distance( Coord ) ; % 路径费用 fare
path = 1 : m ; % 初始路径 path
pathfar = pathfare( fare , path ) ; % 路径费用 path fare
ores = zeros( 1 , olen ) ; % 外循环保存的目标函数值
e0 = pathfar ; % 能量初值 e0
t = t0 ; % 温度 t
for out = 1 : oLk % 外循环模拟退火过程
ires = zeros( 1 , ilen ) ; % 内循环保存的目标函数值
for in = 1 : iLk % 内循环模拟热平衡过程
[ newpath , v ] = swap( path , 1 ) ; % 产生新状态
e1 = pathfare( fare , newpath ) ; % 新状态能量
% Metropolis 抽样稳定准则
r = min( 1 , exp( - ( e1 - e0 ) / t ) ) ;
if rand < r
path = newpath ; % 更新最佳状态
e0 = e1 ;
end
ires = [ ires( 2 : end ) e0 ] ; % 保存新状态能量
% 内循环终止准则：连续 ilen 个状态能量波动小于 istd
if std( ires , 1 ) < istd
break ;
end
end
ores = [ ores( 2 : end ) e0 ] ; % 保存新状态能量
% 外循环终止准则：连续 olen 个状态能量波动小于 ostd
if std( ores , 1 ) < ostd
break ;
end
t = lam * t ;
end
pathfar = e0 ;
% 输入结果
fprintf( '近似最优路径为：\n ' )
%disp( char( [ path , path(1) ] + 64 ) ) ;
disp(path)
fprintf( '近似最优路径路程\tpathfare=' ) ;
disp( pathfar ) ;
myplot( path , Coord , pathfar ) ;

2、将其保存在同一个文件夹中，点击运行，结果如下：

如图所示，这就是我们利用模拟退火算法得出的最优路线，介绍基本完毕，请大家继续关注！！！

数学建模：模拟退火算法相关推荐

数学建模–模拟退火算法
文章目录数学建模--智能算法 1.简介模拟退火算法 1. 简介 2.数学建模中的模拟退火算法原理 3.模拟退火算法流程及应用 1.Metropolis采样算法 2. 退火过程实现算法 3.举个栗子 ...
数学建模-模拟退火算法-函数寻优（优化模型）
模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果.统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平.在高温条件下,粒子的能量较高,可以自由运动和重新排列.在低温条件下,粒子能量较低. ...
数学建模——模拟退火算法(Simulated Annealing，SA)
模拟退火算法一.模拟退火算法概述二.算法步骤三.算法特点四.模拟退火算法理解(图解) 五.Metropolis准则六.模拟退火算法的应用七.模拟退火算法Matlab代码工具箱求解非线性函 ...
数学建模——主成分分析算法详解Python代码
数学建模--主成分分析算法详解Python代码 import matplotlib.pyplot as plt #加载matplotlib用于数据的可视化 from sklearn.decomposi ...
数学建模之减肥计划 matlab编程,数学建模matlab算法大全第02章整数规划.pdf
数学建模matlab算法大全第02章整数规划第二章整数规划 §1 概论 1.1 定义规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划.若在线性规划模型中, 变量限制为整数,则称为整数线性规划 ...
数学建模图论算法学习总结
数学建模图论算法学习总结图论基本知识 B站视频: https://www.bilibili.com/video/av18374161/?p=35 https://www.bilibili.com/v ...
数学建模必备算法模型，全新升级！
转眼间2019年已经过去了四分之一,近日,2019年数学建模国赛的时间也已经出来啦,确定为9月12日(周四)18时至9月15日(周日)20时. 随着各种各样的数模比赛源源不断地开展,时不时有小伙伴私聊 ...
【Python数学建模常用算法代码（二）之BP神经网络】
Python数学建模常用算法代码(二) BP神经网络模型Python代码 import numpy as np import math import random import string impo ...
数学建模基本算法模型Chapter1--线性规划
数学建模基本算法模型Charpter1–线性规划(LP) By 进栈需检票一.线性规划基本概念 1.Linear Programming (LP问题) 列出方程组不等式求解(基本形式) 包含目标函数 ...
数学建模必备算法之模拟退火算法
在2020年的全国大学生数学建模竞赛的A题中,第三问要确定面积最小的最优炉温曲线,这是一个有五个优化变量的优化问题,由于优化变量太多,导致假若直接用搜索法求解的话,计算量会非常大. 一共5个优化变量, ...

数学建模：模拟退火算法

数学建模：模拟退火算法相关推荐

最新文章

热门文章