使用量桨PaddleQuantum实现有效压缩量子数据的量子自动编码器

一、前置基础知识——量子世界的测量
- 1.我们看到的世界就是真实的世界吗？
- 2.叠加态
- 3.量子力学逻辑基础
二、量子自动编码器的实现原理
三、训练数据说明
四、使用PaddleQuantum实现
- 1.安装量桨PaddleQuantum
- 2.导入必要的package
- 3.生成初始态
- 4.搭建量子神经网络
- 5.配置模型
- 6.模型训练
- 7.模型效果

训练量子自动编码器以压缩特定的量子态数据集，以较小的尺寸表示数据，从而有效地压缩输入。

参考资料：

Quantum autoencoders for efficient compression of quantum data
有效压缩量子数据的量子自动编码器——Quantum autoencoders for efficient compression of quantum data论文翻译
量桨——量子变分自编码器
走进量子计算的大门——使用量桨PaddleQuantum创建单量子比特门
Paddle Quantum （量桨）入门手册

一、前置基础知识——量子世界的测量

要想弄明白量子编码器的工作原理，首先就要弄明白“测量”这一概念

1.我们看到的世界就是真实的世界吗？

人类视觉系统是这个世界上最为神奇的一个系统，但是这也许并不能说明我们的世界就是眼睛看到的样子，这个世界的本质也许不是我们看到的这样。

我们之所以能看见事物，其实是因为光，物体将光反射到我们的眼睛，我们就看到了这个物体，无形当中，我们做了一次测量，测量了所见之物的颜色、大小、形状等等…

假设我们看到的是一个苹果，因为苹果足够的大，可以用肉眼直接观察，以至于光照射到物体时，不会对物体造成本质的影响；但是，如果我们要观察一个极其微小的粒子呢，小到甚至比光粒子小，这时也许就不能说没有影响了。

再举个例子，测速。经典力学中，我们可以用很多传感器测量速度，比如红外传感器、超声波传感器等等，因为被测物较大，这些波打到被测物体上时，其影响可以忽略不计，因此，我们可以测出它的速度；但是，如果要测一个质子的速度，那就变得十分困难了，测量前后也许会对其造成不可小觑的影响。

测量到底会不会对被测物造成影响，我们看一个实验，这个实验大家应该都听过，叫薛定谔的猫。将一只猫关在装有少量镭和氰化物的密闭容器里。镭的衰变存在几率，如果镭发生衰变，会触发机关打碎装有氰化物的瓶子，猫就会死；如果镭不发生衰变，猫就存活。根据量子力学理论，由于放射性的镭处于衰变和没有衰变两种状态的叠加，猫就理应处于死猫和活猫的叠加状态。这只既死又活的猫就是所谓的“薛定谔猫”。但是，不可能存在既死又活的猫，则必须在打开容器后才知道结果。打开容器就是测量。根据经典物理学，在盒子里必将发生这两个结果之一，而外部观测者只有打开盒子才能知道里面的结果。在量子的世界里，当盒子处于关闭状态，整个系统则一直保持不确定性的波态，即猫生死叠加。猫到底是死是活必须在盒子打开后，外部观测者观测时，物质以粒子形式表现后才能确定。

2.叠加态

说了这么多，其实就想说明一点，就是量子里没有确定的事物，经典物理中的0和1在量子世界里可以是0和1的叠加态，而当我们观察它时，它就会塌缩成0或1。

经典的编码器不需要任何其他的数据，只需要对输入的特征进行提取即可，因为它不存在塌缩：

但是在量子编码器中，一旦对叠加态的量子数据进行测量，那么数据就会塌缩，测量结果与测量前可能不一致，因此，你会在量子编码器中发现经典编码器没有的参考状态，如果你明白了测量会导致塌缩，那么你应该就会明白参考状态在量子编码器里的作用。

3.量子力学逻辑基础

这个视频很好地解释了量子力学里的测量问题，希望能帮助你理解：

十分钟了解量子力学--量子计算机的基础概念

二、量子自动编码器的实现原理

量子自编码器的形式与经典自编码器非常相似，同样由编码器 $E$ （encoder）和解码器 $D$ （decoder）组成。对于输入的 $N$ 量子比特系统的量子态 $\rho_{in}$ （这里我们采用量子力学的密度算符表示来描述混合态），先用编码器 $U(\theta)$ 将信息编码到其中的部分量子比特上。这部分量子比特记为系统 $A$ 。对剩余的量子比特（这部分记为系统 $B$ ）进行测量并丢弃后，我们就得到了压缩后的量子态 $\rho_{encode}$ ，压缩后的量子态维度和量子系统 $A$ 的维度大小保持一致。假设我们需要 $N_A$ 个量子比特来描述系统 $A$ ，那么编码后量子态 $\rho_{encode}$ 的维度就是 $2^{N_A}\times 2^{N_A}$ 。这里比较特殊的是, 对应我们这一步测量并丢弃的操作的数学操作是 partial trace。读者在直观上可以理解为张量积 $\otimes$ 的逆运算。

我们不妨看一个具体的例子来理解。给定 $N_A$ 个量子比特上的一个量子态 $\rho_A$ 和 $N_B$ 个量子比特上的一个量子态 $\rho_B$ , 那么由 $A 、 B$ 两个子系统构成的的整体量子系统 $N = N_A+ N_B$ 的量子态就可以描述为: $\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B$ 。现在我们让整个量子系统在酉矩阵 $U$ 的作用下演化一段时间后，得到了一个新的量子态 $\tilde{\rho_{AB}} = U\rho_{AB}U^\dagger$ 。那么如果这时候我们只想得到量子子系统 A 所处于的新的量子态 $\tilde{\rho_A}$ ，我们该怎么做呢？很简单，只需要测量量子子系统 $B$ 然后将其丢弃。运算上这一步由 partial trace 来完成 $\tilde{\rho_A} = \text{Tr}_B (\tilde{\rho_{AB}})$ 。在量桨上，我们可以用内置的 partial_trace(rho_AB, 2**N_A, 2**N_B, 2) 指令来完成这一运算。注意： 其中最后一个参数为 2，表示我们想丢弃量子系统 $B$ 的量子态。

在讨论完编码的过程后，我们来看看如何解码。为了解码量子态 $\rho_{encode}$ ，我们需要引入与系统 $B$ 维度相同的系统 $C$ 并且初始态取为 $|0\dots0\rangle$ 态。再用解码器 $U^\dagger(\theta)$ 作用在整个量子系统 $A + C$ 上对系统 A 中压缩的信息进行解码。我们希望最后得到的量子态 $\rho_{out}$ 与 $\rho_{in}$ 尽可能相似并用 Uhlmann-Josza 保真度 $F$ （Fidelity）来衡量他们之间的相似度。

$F(\rho_{in}, \rho_{out}) = \left(\operatorname{tr} \sqrt{\sqrt{\rho_{in}} \rho_{out} \sqrt{\rho_{in}}} \right)^{2}$

ρoutρin

最后，通过优化编码器里的参数，我们就可以尽可能地提高 $\rho_{in}$ 与 $\rho_{out}$ 的保真度。

总的来说，在训练算法的一次迭代中，我们对训练集中的每个状态执行以下步骤：

准备输入状态 $\left|\psi_{i}\right\rangle$ 和参考状态。
在编码酉矩阵 ${U^{\vec{p}}}$ 下演化，其中 ${\vec{p}}$ 是给定优化步骤的参数集。
通过交换测试测量状态和参考状态之间的保真度。

三、训练数据说明

考虑一组状态 $\{\left|\psi_{i}\right\rangle\}$ ，支持希尔伯特空间 $S \subset H$ 的子集。使用量子自动编码器，我们可以找到一种只使用 $log_2^{| S |}$ 量子位来表示状态的编码方案，而不是使用 $log_2^{ | H |}$ ，如下图所示：

例如，考虑STO-6G最小基集中分子氢的哈密顿量。利用JW变换，作用于四个量子位的相应哈密顿量采用一般形式：

$\begin{aligned} H &=c_{0} I+c_{1}\left(Z_{0}+Z_{1}\right)+c_{2}\left(Z_{2}+Z_{3}\right)+c_{3} Z_{0} Z_{1}+ &c_{4}\left(Z_{0} Z_{2}+Z_{1} Z_{3}\right)+c_{5}\left(Z_{1} Z_{2}+Z_{0} Z_{3}\right)+c_{6} Z_{2} Z_{3} &+c_{7}\left(Y_{0} X_{1} X_{2} Y_{3}-X_{0} X_{1} Y_{2} Y_{3}-Y_{0} Y_{1} X_{2} X_{3}+X_{0} Y_{1} Y_{2} X_{3}\right) \end{aligned}$

在这种情况下，系数 $c_i$ 是核间距r的函数。通过求解不同r值下哈密顿量的薛定谔方程，我们可以得到氢分子的基态能量，并构造势能面（PES），如图6所示。我们期望沿PES的基态波函数保持相同的粒子数和投影自旋对称性，从而使这组态成为一个很好的压缩目标。

用STO-6G基组计算氢分子的势能面。红点处的基态用作量子自动编码器的训练集。

以氢分子的六个基态在不同的r， $\{Ψ（r_i）\}^6_i=1$ 作为我们的训练集。在这种情况下，选择所有状态的权重都相等。

四、使用PaddleQuantum实现

下面我们通过一个简单的例子来展示量子自编码器的工作流程和原理。这里我们先安装量桨PaddleQuantum并引入必要的 package。

1.安装量桨PaddleQuantum

在本项目中，量桨的安装包已当作数据集加载进来，可以通过如下命令解压：

!unzip -oq /home/aistudio/work/Quantum-2.0.0.zip

安装量桨：

%cd Quantum-2.0.0
!pip install -e .

2.导入必要的package

from paddle import fluid# 检查飞桨Paddle是否成功安装
fluid.install_check.run_check()

Running Verify Fluid Program ...
Your Paddle Fluid works well on SINGLE GPU or CPU.
Your Paddle Fluid works well on MUTIPLE GPU or CPU.
Your Paddle Fluid is installed successfully! Let's start deep Learning with Paddle Fluid now

import numpy as np
from numpy import diag
import scipy
import scipy.stats
import paddle
from paddle import fluid
from paddle import matmul, trace, kron, real
from paddle_quantum.circuit import UAnsatz
from paddle_quantum.utils import dagger, state_fidelity, partial_trace

以上的几个代码块没有任何报错的话，恭喜你！接着就可以顺利使用量桨了！如果出现报错，可尝试重启环境或切换环境。

3.生成初始态

我们考虑 $N = 3$ 个量子比特上的量子态 $\rho_{in}$ 。我们先通过编码器将其信息编码到下方的两个量子比特（系统 $A$ ），之后对第一个量子比特（系统 $B$ ）测量并丢弃，之后引入一个处于 $|0\rangle$ 态的量子比特（新的参考系统 $C$ ）来替代丢弃的量子比特 $B$ 的维度。最后通过解码器，将 A 中压缩的信息复原成 $\rho_{out}$ 。在这里，我们假设初态是一个混合态并且 $\rho_{in}$ 的本征谱为 $\lambda_i \in \{0.3， 0.2， 0.2， 0.1， 0.1, \,0.1, \,0, \,0 \}$ ，然后通过作用一个随机的酉变换来生成初态 $\rho_{in}$ 。

注意：这里的八个基态，其和为1： $0.3 + 0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0 + 0 = 1$

N_A = 2        # 系统 A 的量子比特数
N_B = 1        # 系统 B 的量子比特数
N = N_A + N_B  # 总的量子比特数scipy.random.seed(1)                            # 固定随机种子
V = scipy.stats.unitary_group.rvs(2**N)         # 随机生成一个酉矩阵
D = diag([0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0, 0])  # 输入目标态rho的谱
V_H = V.conj().T                                # 进行厄尔米特转置
rho_in = (V @ D @ V_H).astype('complex128')     # 生成 rho_in# 初始化量子系统 C
rho_C = np.diag([1,0]).astype('complex128')

4.搭建量子神经网络

在这里，我们用量子神经网络来作为编码器和解码器。假设系统 A 有 $N_A$ 个量子比特，系统 $B$ 和 $C$ 各有 $N_B$ 个量子比特，量子神经网络的深度为 $D$ 。编码器 $E$ 作用在系统 A 和 B 共同构成的总系统上，解码器 $D$ 作用在 $A$ 和 $C$ 共同构成的总系统上。在我们的问题里， $N_{A} = 2$ ， $N_{B} = 1$ 。

# 设置电路参数
cir_depth = 6                        # 电路深度
block_len = 2                        # 每个模组的长度
theta_size = N*block_len*cir_depth   # 网络参数 theta 的大小# 搭建编码器 Encoder E
def Encoder(theta):# 用 UAnsatz 初始化网络cir = UAnsatz(N)# 搭建层级结构：for layer_num in range(cir_depth):for which_qubit in range(N):cir.ry(theta[block_len*layer_num*N + which_qubit], which_qubit)cir.rz(theta[(block_len*layer_num + 1)*N + which_qubit], which_qubit)for which_qubit in range(N-1):cir.cnot([which_qubit, which_qubit + 1])cir.cnot([N-1, 0])return cir.U

5.配置模型

在这里，定义的损失函数为：

$\langle 0...0|\rho_{trash}|0...0\rangle$

其中 $\rho_{trash}$ 是经过编码后丢弃的 $B$ 系统的量子态。接着我们通过飞桨训练量子神经网络，最小化损失函数。如果损失函数最后达到 0，则输入态和输出态完全相同。这就意味着我们完美地实现了压缩和解压缩，这时初态和末态的保真度为 $F(\rho_{in}, \rho_{out}) = 1$ 。

# 超参数设置
N_A = 2        # 系统 A 的量子比特数
N_B = 1        # 系统 B 的量子比特数
N = N_A + N_B  # 总的量子比特数
LR = 0.2       # 设置学习速率
ITR = 100      # 设置迭代次数
SEED = 15      # 固定初始化参数用的随机数种子class NET(paddle.nn.Layer):def __init__(self, shape, dtype='float64'):super(NET, self).__init__()# 将 Numpy array 转换成 Paddle 中支持的 Tensorself.rho_in = paddle.to_tensor(rho_in)self.rho_C = paddle.to_tensor(rho_C)self.theta = self.create_parameter(shape=shape,default_initializer=paddle.nn.initializer.Uniform(low=0.0, high=2 * np.pi),dtype=dtype, is_bias=False)# 定义损失函数和前向传播机制def forward(self):# 生成初始的编码器 E 和解码器 DE = Encoder(self.theta)E_dagger = dagger(E)D = E_daggerD_dagger = E# 编码量子态 rho_inrho_BA = matmul(matmul(E, self.rho_in), E_dagger)# 取 partial_trace() 获得 rho_encode 与 rho_trashrho_encode = partial_trace(rho_BA, 2 ** N_B, 2 ** N_A, 1)rho_trash = partial_trace(rho_BA, 2 ** N_B, 2 ** N_A, 2)# 解码得到量子态 rho_outrho_CA = kron(self.rho_C, rho_encode)rho_out = matmul(matmul(D, rho_CA), D_dagger)# 通过 rho_trash 计算损失函数zero_Hamiltonian = paddle.to_tensor(np.diag([1,0]).astype('complex128'))loss = 1 - real(trace(matmul(zero_Hamiltonian, rho_trash)))return loss, self.rho_in, rho_out

paddle.seed(SEED)
# 生成网络
net = NET([theta_size])
# 一般来说，我们利用 Adam 优化器来获得相对好的收敛
# 当然你可以改成 SGD 或者是 RMS prop.
opt = paddle.optimizer.Adam(learning_rate=LR, parameters=net.parameters())

6.模型训练

# 优化循环
for itr in range(1, ITR + 1):#  前向传播计算损失函数loss, rho_in, rho_out = net()# 反向传播极小化损失函数loss.backward()opt.minimize(loss)opt.clear_grad()# 计算并打印保真度fid = state_fidelity(rho_in.numpy(), rho_out.numpy())if itr % 5 == 0:print('iter:', itr, 'loss:', '%.4f' % loss, 'fid:', '%.4f' % np.square(fid))

iter: 5 loss: 0.2766 fid: 0.7151
iter: 10 loss: 0.2360 fid: 0.7511
iter: 15 loss: 0.2249 fid: 0.7622
iter: 20 loss: 0.2156 fid: 0.7733
iter: 25 loss: 0.2116 fid: 0.7768
iter: 30 loss: 0.2072 fid: 0.7808
iter: 35 loss: 0.2053 fid: 0.7827
iter: 40 loss: 0.2047 fid: 0.7843
iter: 45 loss: 0.2028 fid: 0.7865
iter: 50 loss: 0.2017 fid: 0.7893
iter: 55 loss: 0.2009 fid: 0.7912
iter: 60 loss: 0.2005 fid: 0.7925
iter: 65 loss: 0.2004 fid: 0.7929
iter: 70 loss: 0.2003 fid: 0.7930
iter: 75 loss: 0.2003 fid: 0.7930
iter: 80 loss: 0.2002 fid: 0.7929
iter: 85 loss: 0.2001 fid: 0.7929
iter: 90 loss: 0.2001 fid: 0.7928
iter: 95 loss: 0.2001 fid: 0.7927
iter: 100 loss: 0.2001 fid: 0.7926

7.模型效果

如果系统 A 的维度为 $d_A$ ，容易证明量子自编码器能实现的压缩重建最大保真度为 $\rho_{in}$ 最大的 $d_A$ 个本征值之和。在本项目里 $d_A = 2^2 = 4$ ，理论最大保真度为:

$F_{\text{max}}(\rho_{in}, \rho_{out}) = \sum_{j=1}^{d_A} \lambda_j(\rho_{in})= 0.3 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 0.8$

通过 100 次迭代，我们训练出的量子自编码器保真度达到 0.7926，和理论最大值0.8非常接近。

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