直线是一个几何图形

今天是我第一次提到几何，我们应该从头开始说起......

所有的几何图形都是从一个点开始的

点动成线

线动成面

面动成体(绘画水平有限)

而我们今天要讲的是——直线(在平面内)

• 基础知识

  还是从基础讲起。我们学过直线、射线和线段，其特点如下：

  	联系	区别
  直线	线段和射线都是直线的一部分；延长线段可以得到射线，反向延长射线或双向延长线段可以得到直线	无端点 不可度量 双向可无限延长
  射线		一个端点 不可度量 可向端点另一端无限延长
  线段		两个端点 可度量 不可延长

  一次函数的图像是直线。

  这里需要简要介绍一下一次函数

  形如y=kx+b(k≠0)的函数叫一次函数.当b=0时，即y=kx，我们称其为正比例函数。正比例函数图像过坐标原点。

  我们来看这个视频。你能发现什么？

  当|k|不断增大时，直线的斜度也越来越大，直线越来越“陡”，当k=0，直线平行于x轴。而b决定着图像的高低，决定着直线与y轴的交点。b>0，直线与y轴交于正半轴；b<0，与y轴交于负半轴；b=0，直线过原点。我们称k为斜率，b为纵截距。在正比例函数y=kx中，k也叫比例系数。

• 倾斜角与斜率

倾斜角的定义有两种：倾斜角是直线向上的方向与x轴正方向所夹的最小的正角；也可以看成x轴绕与直线的交点逆时针旋转至与直线重合所转过的角度。规定，平行于x轴的直线倾斜角为0°。所有的直线都有倾斜角。

如图，有直线l1(蓝),l2(红)，其中∠1是l1的倾斜角，∠2是l2的倾斜角。

然后，我们借助倾斜角，就可以来定义斜率了。斜率是倾斜角不等于90°的正切值。用符号语言表示就是k=tan α(α≠90)。注意并非所有的直线都有斜率。当倾斜角为90°，他没有正切值，自然也没有斜率了。

如图，这条直线的斜率k=AB/BC

有的同学会问：锐角有正切，那顿角呢？直角呢？这个问题也属于基础知识吧......tanα=-tan(180-α)。直角没有正切。

那么，只要我们知道倾斜角，就能用正切求出其斜率k，进一步求出直线的方程。

• 直线的方程

说到直线就说他的方程(毕竟是解析几何)。直线的方程一般式为：

Ax+By+C=0等等。。。这不就是二元一次方程吗？！！！没错，二元一次方程的图像是直线。当然，直线还有一些特殊式。既然是特殊式，就不具有一般性，不能表示所有的直线。而上面的一般式，可以表示平面内的任意一条直线。首先是点斜式，顾名思义，有一个点坐标和斜率，就能表示这条直线。现在已知一条直线l1，它的斜率为k，且过P0(x0，y0)，求直线的方程。

这个问题，只需要根据斜率的定义，设直线上不同于P0点的任意一点P(x,y)，作出一个直角三角形，表示出倾斜角的正切值，即k=tanα=PQ/P0Q，由图可知，Q的坐标横坐标与P相同，纵坐标与P0相同，其坐标为(x,y0)。再由此求出PQ和P0Q的长度，PQ=y-y0，P0Q=x-x0，然后可得到方程k=(y-y0)/(x-x0)，为了美观，我们把分母乘过去，就得到了k(x-x0)=(y-y0)。这便是点斜式方程。等一下。。。好像有什么不对？？？我们当初设的的P是直线上任意一点，而非我们要求的直线。事实上，正是因为P具有任意性，所以它能够代表这条直线，我们得到的式子k(x-x0)=(y-y0)，就是这条直线的方程第二个：斜截式这个名字很直观：“斜”即斜率，“截”就是纵截距，假如我们已知直线l，斜率为k，与y轴交于点M(0,b)，那这条直线的方程是什么呢？这里补充一下直线截距的知识。直线有纵截距和横截距，纵截距就是直线与y轴交点的纵坐标，横截距就是直线与x轴交点的横坐标，注意，截距不是距离！！！而是一个数值，且可正可负(这回不能顾名思义了)。回过头来我们看这条直线l，我们可以将其带入到点斜式方程中(因为条件里有斜率，还有过某一定点)，

这样，很容易算出l：y=kx+b.额。。。。。。这个式子很熟悉啊。。。。。。

想起来了吗？这就是一次函数的一般式啊！有了这个式子，只要知道斜率和直线与y轴交点的纵坐标，就能得到直线的方程。这个式子比上面的点斜式简洁多了，这体现出数学的简洁美。因此，我们求出的直线通常用斜截式y=kx+b或一般式Ax+By+C=0来表示。但为什么用一般式呢？看着比斜截式麻烦多了。别忘了，他毕竟是一般式，而斜截式、点斜式......都是特殊式，如果直线没有截距，也就是与y轴平行，那怎么用斜截式？如果这条直线没有斜率，那这些特殊式就不行了，而一般式却可以，我们也经常用一般式来计算距离，这些都是后话了......咳咳，扯远了，我们接着说直线的特殊式。两点式意思是给出直线上的两点，来求直线的方程。例如已知直线l，过P(x1,y1)Q(x2,y2)两点，怎么求直线的方程？这依然可以利用斜率的定义，和尚满求点斜式的方法大同小异，同样也可以用待定系数法联立方程组(这是最基本的方法)，见到坐标就带入方程，初中经常使用这种方法。(这也是很常见的题型)

方法一比较方便，方法二运算量大但比较直观，易于理解。这便是两点式方程。已知直线上任意不重合的两点，就可以求出直线的方程。这个方程很美观，它简洁，左右平衡，有一种对称美。(这边是数学的魅力吧！)但是，两点式也是特殊式，并不具有一般性。当两点横坐标相等，带入到式子中就会出现分式分母为零的情况，显然，这就不成立了。也就是说，两点式也无法表示一条垂直于x轴、平行于y轴的直线。截距式截点式可以说是特殊的两点式。因为他已知的两点都在坐标轴上。已知一条直线l，过A(a，0)  B(0，b)两点，求直线的方程。我们可以将两点带入到两点式中， 得到：

化简一下：

为了美观，我们把截距式化成这个样子：

有了截距式，只要我们知道一条直线的横截距、纵截距，就能求出这条直线的方程。其中a是横截距，b是纵截距。这个方程也是特殊式，因为如果直线没有两个截距，也就无法使用这个方程直线的方程就介绍到这里！介绍了5个，其中有1个一般式，4个特殊式(点斜式，斜截式，两点式，截距式)，你都记住了嘛？

• 直线与距离

最后我们再来聊聊距离的相关知识(顺便把上周挖的大坑填上)。我们主要研究两点间的距离、点到直线的距离 和 平行线间的距离，我们一个一个说：

首先两点间的距离比较简单，直接套公式就行，公式推导放在下面：

然后就是点到直线的距离，这里我仍然只能讲思路，因为这个公式推导的话运算量极其大，大家听明白思路然后把公式背下来就可以啦。

(我只能写到这步了。。。。。。)既然要求点到直线的距离，根据定义，首先得作垂线，再根据我们已知直线l，求出直线P0Q的斜率，有知道这条直线过一点P0，就可以套点斜式方程，求出这条直线的方程，然后联立两条直线的方程，求出其交点Q的坐标，再用两点间距离公式，求出P0Q的距离。通过这个方法，我们可以求出点到直线的距离d:

这就是点到直线的距离公式。

至于直线到直线的距离嘛......和上面的公式大同小异。大家可以自己研究一下，这部分知识我们下周补充。

感谢您的阅读

马上就要开学啦！！！祝各位同学考试愉快