python递归编程题_Python数据结构与算法41：递归编程练习题4：铺瓷砖

注：本文如涉及到代码，均经过Python 3.7实际运行检验，保证其严谨性。

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递归编程练习题4：铺瓷砖

给定一个长度为N的区域，及4种不同长度的瓷砖：灰瓷砖(长为1格)、红瓷砖(长为2格)、绿瓷砖(长为3格)与蓝瓷砖(长为4格)，求所有不同的铺满整个区域的方法数。

例如：当N=5时，共有15种铺满区域的方法，示意图如下：

铺瓷砖

输入格式:

一个自然数N。

输出格式：

一行数字，表示不同的方法总数。

输入样例：

输出样例：

解答：和Python数据结构与算法36：动态规划案例分析一节中博物馆大盗问题是类似，这是典型的要用到动态规划策略的问题，同时也可以用递归来解决此问题。

方法一：动态规划解决问题

与递归三定律类似，动态规划也有自己的“三要素”：最优子结构、边界和状态转移函数。

最优子结构——每个阶段的最优状态可以从之前某个阶段的某个或某些状态直接得到(子问题的最优解能够决定这个问题的最优解)。

边界——问题最小子集的解(初始范围)。

状态转移函数——从一个阶段向另一个阶段过度的具体形式,描述的是两个相邻子问题之间的关系(递推式)。

参考代码如下：

def tiling(N):

'''

N：要铺瓷砖的区域的长度。

'''

num = 0 # 创建并初始化铺长度为N的瓷砖需要的方法种类。

all_methods = [0] * (N + 1) # 新建一个列表，记录每个长度用4种颜色的瓷砖铺的所有方法，初始化均为0。

tiles_length = [1, 2, 3, 4] # 4种颜色的瓷砖分别对应4种长度。

if N == 0: # 铺长度为0的瓷砖，只有1种方法。

return 1

elif all_methods[N] != 0:

return all_methods[N]

else:

# 遍历从0开始的每个长度用4种颜色的瓷砖铺的所有方法，并记录到列表all_methods当中。

for i in [t for t in tiles_length if t <= N]:

num = num + tiling(N - i)

all_methods[N] = num

return num

N = int(input())

print(tiling(N))

<<<15

方法二：递归解决问题。递归思路更直观一些。

# 递归算法解决铺瓷砖问题。

def tiling(N):

'''

N：要铺瓷砖的区域的长度。

'''

if N == 1: # 铺灰瓷砖(长度为1)的情况。

return 1

elif N == 2: # 铺红瓷砖(长度为2)的情况。

return 1 + tiling(N - 1)

elif N == 3: # 铺绿瓷砖(长度为3)的情况。

return 1 + tiling(N - 1) + tiling(N - 2)

elif N == 4: # 铺蓝瓷砖(长度为4)的情况。

return 1 + tiling(N - 1) + tiling(N - 2) + tiling(N - 3)

else:

return tiling(N - 1) + tiling(N - 2) + tiling(N - 3) + tiling(N - 4)

N = int(input())

print(tiling(N))

<<<15

To be continued.

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