初学三分法之考研路茫茫—

考研并不是说说就可以了，要付诸于行动。
对于Lele来说，最痛苦的事莫过于早起看书了，不过为了考研，也就豁出去了。由于早起看书会对看书效率产生影响，所以对于要什么时候起床看书，还是有必要考虑的。
经过周密的调查，Lele发现早起的时间会对上午和下午的看书效率都产生影响，具体如下：
他把早起的程度标记为一个非负有理数X，X数值越大，表示越早起。
1.对上午的影响F：符合 F = N / (X^2) 。其中N是一个参数。即越早起床，对上午的效率影响越少。
2.对下午的影响Y：一般越早起，对下午的效率影响越大。不过Y和X的关系比较复杂，并且在不同时候关系也是不同的，于是Lele把它绘制成为函数图形了。在某天，函数图形如下。

X轴的值表示早起的程度，Y轴的值表示对下午看书效率的影响。函数图像为折线上升的。
不过由于N值和Y-X的图像并不确定，所以Lele每次都要进行大量工作，来确保对整天的看书效率影响最小(F+Y的值最小)，现在就请你帮帮他吧。
记住早起时间的取值X一定要在折线包含的范围之内。(对于上面这个图象，X一定要在[0,20]之内)。
【输入形式】
测试第一行包含两个整数M和N，其中M表示X-Y图像中顶点的数目。N含义见题目描述。
接下来有M行整数，分别表示这M个点在图像中的坐标Xi和Yi，Xi和Yi范围在[0,2^30]之内。
注意，第一个坐标一定为(0,0)，并且X坐标和Y坐标是不降的。
而Lele早起的时间一定在[0,Xm-1]这个范围之内。
【输出形式】
对于每组数据，请在一行内输出可能取到的对全天效率(Y+F)影响的最小值。
结果保留两位小数
【样例输入】
3 1
0 0
10 10
20 30
【样例输出】
1.89

解题思路：
将题目所给m个点存放到数组x[m]和y[m]中
F = n/(x^2)
设Y是第i-1个点跟第i个点连线的方程（设k是这2点连线的斜率）
则：（根据题目：x和y是不降的）
Y = k * (x-x[i]) + y[i]
设总的函数 =为Z
则Z = Y + F = n/(x^2) + k * (x-x[i]) + y[i]
即：Z = n/(x^2) + k*x + (y[i]- k*x[i])
在这一段x[i-1]到x[i]上找到一个x使得Z最小
对于每一段来说，Z函数有可能是单调的，也有可能是先减后增的函数，可以用三分求极小值
分别求出m-1个段的极小值，然后进行比较求出Z函数的最小值

三分法：
二分查找适用于单调函数中
三分查找适用于凸性或凹形函数，求那个凸点或凹点。
下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到极大值点的位置。
思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近极大值点。
做法：取 [L,R] 的三分点mid和mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小答案的范围。
当最后R-L小于eps时，R或L就是我们要找的答案。
缩小范围方法：
1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在极大值的右边。
反证法：假设 mmid 在极大值的左边，因为mmid>mid,则 mid 也一定在极大值的左边，函数单调递增，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。
所以，mmid一定在极大值的右边，但是mid既可以在极大值左边也可以在极大值右边。此时可以将 R = mmid 来缩小范围。
2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在极大值的左边。
反证法：假设 mid 在极大值的右边，mmid>mid,则 mmid 也一定在极大值的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define eps 1e-8
#define inf 1e8 int m;
double n;
double x[10005],y[10005];double f(double x,double k)
{return x*k+n/(x*x);
}double solve(double l,double r,double k)
{while(r-l>eps){double midl=l+(r-l)/3;double midr=r-(r-l)/3;double zl=f(midl,k);double zr=f(midr,k);if(zl>zr)l=midl;else r=midr;}return r;
}int main()
{cin>>m>>n;for(int i=1;i<=m;i++)cin>>x[i]>>y[i];double ans=inf;for(int i=2;i<=m;i++){double k=(y[i]-y[i-1])/(x[i]-x[i-1]);double d=solve(x[i-1],x[i],k);double t=k*d+n/(d*d)-k*x[i]+y[i];ans=min(ans,t);} cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans;return 0;
}

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