母函数与递推关系（recurrence relation）

1.递推关系定义

递推关系即差分方程，是一种递推的定义一个序列的方程式，序列的每一项定义为前若干项的函数。

2.母函数推出递推关系

常见泰勒展开

(1−ax)−1=1+ax+a2x2+⋯(1-ax)^{-1}=1+ax+a^2x^2+\cdots(1−ax)−1=1+ax+a2x2+⋯求母函数2−3x(1−x)(1−2x)\frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)}(1−x)(1−2x)2−3x的递推关系？
2−3x(1−x)(1−2x)=11−x+11−2x=∑k=0∞xk+∑k=0∞2kxk=∑k=0∞(1+2k)xk\frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-2x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k+\sum_{k=0}^{\infty} 2^kx^k=\sum_{k=0}^\infty(1+2^k)x^k(1−x)(1−2x)2−3x=1−x1+1−2x1=k=0∑∞xk+k=0∑∞2kxk=k=0∑∞(1+2k)xk得到 2−3x(1−x)(1−2x)\frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)}(1−x)(1−2x)2−3x是序列f(k)=2k+1f(k)=2^k+1f(k)=2k+1的母函数。
因为:f(k)=2k+1(1)f(k)=2^k+1\space(1)f(k)=2k+1 (1)所以：f(k−1)=2k−1+1(2)f(k-1)=2^{k-1}+1\space(2)f(k−1)=2k−1+1 (2)(1)式-(2)式乘2:f(k)−2f(k−1)=−1f(k)-2f(k-1)=-1f(k)−2f(k−1)=−1所以得到递推式:f(k)=2f(k−1)−1f(k)=2f(k-1)-1f(k)=2f(k−1)−1

母函数 2−3x(1−x)(1−2x)\frac{2-3x}{(1-x)(1-2x)}(1−x)(1−2x)2−3x 部分分式分解

(1−ax)−1=1+ax+a2x2+⋯(1-ax)^{-1}=1+ax+a^2x^2+\cdots(1−ax)−1=1+ax+a2x2+⋯

数字序列 f(k)=2k+1f(k)=2^k+1f(k)=2k+1 递推序列 f(k)=2f(k−1)−1f(k)=2f(k-1)-1f(k)=2f(k−1)−1

3.HANOI问题

（1）HANOI问题

大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。
大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。
在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
可以通过两个盘子的挪动方法递推出nnn个盘子的挪动方法。
假设挪动nnn个盘子的复杂度为h(n)h(n)h(n).
分为两部分，前n−1n-1n−1个盘子复杂度为h(n−1)h(n-1)h(n−1)，和最大一个盘子nnn。

n-1个盘子的转移算法已经从确定复杂度为h(n-1) 把A下面一个圆盘移到C上:h(1) 把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上：h(n-1) 复杂度为三步之和递推关系

h(n)=2h(n−1)+1,h(1)=1,h(0)=0h(n)=2h(n-1)+1,h(1)=1,h(0)=0h(n)=2h(n−1)+1,h(1)=1,h(0)=0

（2）HANOI问题与母函数

求HANOI问题对应的母函数？
已知递推关系 h(n)=2h(n−1)+1,h(1)=1,h(0)=0h(n)=2h(n-1)+1,h(1)=1,h(0)=0h(n)=2h(n−1)+1,h(1)=1,h(0)=0因为： H(x)=h(1)x+h(2)x2+h(3)x3+⋯(1)H(x)=h(1)x+h(2)x^2+h(3)x^3+\cdots(1)H(x)=h(1)x+h(2)x2+h(3)x3+⋯(1)2xH(x)=2h(1)x2+2h(2)x3+2h(3)x4+⋯(2)2xH(x)=\space2h(1)x^2+2h(2)x^3+2h(3)x^4+\cdots(2)2xH(x)= 2h(1)x2+2h(2)x3+2h(3)x4+⋯(2)因为：
h(2)−2h(1)=1,h(3)−2h(2)=1,h(4)−2h(3)=1⋯h(2)-2h(1)=1,h(3)-2h(2)=1,h(4)-2h(3)=1\cdotsh(2)−2h(1)=1,h(3)−2h(2)=1,h(4)−2h(3)=1⋯所以(1)式-(2)式：
(1−2x)H(x)=h(1)x+x2+x3+x4+⋯(1-2x)H(x)=h(1)x+x^2+x^3+x^4+\cdots(1−2x)H(x)=h(1)x+x2+x3+x4+⋯已知：
h(1)=1h(1)=1h(1)=1所以: (1−2x)H(x)=x+x2+x3+x4+⋯(1-2x)H(x)=x+x^2+x^3+x^4+\cdots(1−2x)H(x)=x+x2+x3+x4+⋯由泰勒展开可得：
(1−2x)H(x)=x1−x(1-2x)H(x)=\frac{x}{1-x}(1−2x)H(x)=1−xx得到母函数：
H(x)=x(1−x)(1−2x)H(x)=\frac{x}{(1-x)(1-2x)}H(x)=(1−x)(1−2x)x化为部分分式展开得：
H(x)=11−2x−11−xH(x)=\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x}H(x)=1−2x1−1−x1由泰勒展开可得：
H(x)=(1+2x+22x2+23x3+⋯)−(1+x+x2+x3+⋯)H(x)=(1+2x+2^2x^2+2^3x^3+\cdots)-(1+x+x^2+x^3+\cdots)H(x)=(1+2x+22x2+23x3+⋯)−(1+x+x2+x3+⋯)所以最终母函数结果为:
H(x)=∑k=1∞(2k−1)xkH(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(2^k-1)x^kH(x)=k=1∑∞(2k−1)xk2k−12^k-12k−1即h(k)h(k)h(k)HANOI的复杂度。
那么挪动64个圆盘，1s挪动一次需要多长时间挪动成功？
计算如下图:

4.偶数个5问题

求nnn位十进制数中出现偶数个5的数的个数？

ana_nan代表十进制数中出现偶数个5的数的个数；
bnb_nbn代表十进制数中出现奇数个5的数的个数。
ana_nan与bnb_nbn之和为9×10n−19×10^{n-1}9×10n−1（因为最高位不能为0）

方法一：
分类来看，前n−1n-1n−1个数为出现5的个数为偶数，则第nnn个数出现偶数个5的个数（除5之外的其它数）为9an−19a_{n-1}9an−1
前n−1n-1n−1个数为出现5的个数为奇数，则第nnn个数出现偶数个5的个数为bn−1b_{n-1}bn−1
所以：an=9an−1+bn−1a_n=9a_{n-1}+b_{n-1}an=9an−1+bn−1
同理：bn=9bn−1+an−1b_n=9b_{n-1}+a_{n-1}bn=9bn−1+an−1
假设母函数为：
A(x)=a1+a2x+a3x2+⋯,a1=8A(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots\space,a_1=8A(x)=a1+a2x+a3x2+⋯ ,a1=8
B(x)=b1+b2x+b3x2+⋯,b1=1B(x)=b_1+b_2x+b_3x^2+\cdots,b_1=1B(x)=b1+b2x+b3x2+⋯,b1=1
通过如下图的计算关系：
得到：ak=728k−1+9210k−1a_k=\frac{7}{2}8^{k-1}+\frac{9}{2}10^{k-1}ak=278k−1+2910k−1
方法二：
分类来看，前n−1n-1n−1个数为出现5的个数为偶数，则第nnn个数出现偶数个5的个数（除5之外的其它数）为9an−19a_{n-1}9an−1
前n−1n-1n−1个数为出现5的个数为奇数，则第nnn个数出现偶数个5的个数为：9×10n−2−an−19×10^{n-2}-a_{n-1}9×10n−2−an−1
所以：an=9an−1+9×10n−2−an−1a_n=9a_{n-1}+9×10^{n-2}-a_{n-1}an=9an−1+9×10n−2−an−1
即递推式为an=8an−1+9×10n−2,a1=8a_n=8a_{n-1}+9×10^{n-2},a_1=8an=8an−1+9×10n−2,a1=8
假设母函数为A(x)=a1x+a2x2+⋯A(x)=a_1x+a_2x^2+\cdotsA(x)=a1x+a2x2+⋯
经过如下图计算：
即：(1−8x)A(x)=8x+9x21−10x(1-8x)A(x)=8x+\frac{9x^2}{1-10x}(1−8x)A(x)=8x+1−10x9x2A(x)=x(8−71x)(1−8x)(1−10x)=12(7x1−8x−9x1−10x)A(x)=\frac{x(8-71x)}{(1-8x)(1-10x)}=\frac{1}{2}(\frac{7x}{1-8x}-\frac{9x}{1-10x})A(x)=(1−8x)(1−10x)x(8−71x)=21(1−8x7x−1−10x9x)所以：A(x)=12∑k=1∞(7⋅8k−1+9⋅10k−1)xkA(x)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}(7\cdot8^{k-1}+9\cdot10^{k-1})x^kA(x)=21k=1∑∞(7⋅8k−1+9⋅10k−1)xk得到：ak=728k−1+9210k−1a_k=\frac{7}{2}8^{k-1}+\frac{9}{2}10^{k-1}ak=278k−1+2910k−1与方法一结果相同。

5.小结

母函数搭建了序列和递推关系的桥梁。

序列母函数递推关系

母函数:G(x)=a1+a2x+a3x2+⋯G(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdotsG(x)=a1+a2x+a3x2+⋯
从G(x)G(x)G(x)得到序列ana_nan。关键在于搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。
如下图:思考：
有理分式的分项表示，分母系数有特殊意义？
母函数方法对递推关系的适用性？

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