2017.11.06 ~ 11.10 NOIP八连测滚粗记

前言：
苟过了初赛，由于我太垃圾所以最后一星期来一天两场比赛滚粗一把。

我的血还是热的，她还在汩汩流动着。
如果血还没有冷下来的话，就把她尽数浇灌在废墟中，坚信着能迸发出绝美的花儿来。

Day1 早场

出题人：栋爷

T1：
给你一个长度为n的序列，你可以将他分成若干段，要求每一段内必须是一个不升或者不降的序列，问最少分成多少段

sol:
可以dp，不过我直接while跳一跳也可以过？？不过很沙壁的打错了一个地方只有40分

T2：
给一个长度为n（n为偶数）的环，每个位置i有一个值i，m次操作，操作分2类，第一类：将环顺时针旋转x，例如1 2 3 4 5 6 旋转2后变成 5 6 1 2 3 4 ；第二类，交换相邻位置的值，即swap(a[1],a[2]), swap(a[3],a[4]), swap(a[5],a[6])……
给出初始环和m次操作，求最终环每个位置的值

sol:
对于交换来说，奇偶的相对位置是不变的，旋转可以把每次幅度累加起来%n弄个总幅度，维护一下奇偶的相对位置就可以了。

T3：
Alice 和 Bob 在一个二维平面上玩游戏
Alice先在(0,0)放一个棋子（算作第一轮）
接下来Bob，Alice 2人轮流操作放棋子，每个人放棋子时，对于任意坐标(x,y)，若(x-2,y)有另一人的棋子，(x-1,y-1)没有，或者(x-1,y-1)有另一人的棋子，(x-2,y)没有，他就会在(x,y)放一枚他的棋子，每个人操作时会把所有他能放棋子的格子放满，一个格子最多放1个棋子。
给出操作的轮数t，问t轮后，在以(x,y)为左下角，宽为w，高为h的矩形中，每个格子的状态
用’.’表示空，’A’表示Alice的棋子，’B’表示Bob的棋子

sol:
黑科技可以找规律，发现一个很玄学的三角形。
栋爷的做法要用Lucas定理？？~~不是很懂~~

%%%Rose and 波老师成功230并列全校Rank4 Orz

Day1 晚场

出题人：硕哥

不得不吐槽一下题目的难度，明明是省选难度好吗？~~其实是我太弱了~~

T1：
Alice和Bob又在玩游戏啦
他们最近迷上了围棋，每天从早到晚都在玩，于是，棋盘的线都被他们玩得不清楚了
这时，他们决定玩一个新的游戏
先手选择一个棋子并画一条线（可以是横的也可以是竖的）
然后后手选择在这条线上的棋子也画一条线，但是不能与之前的线重合
谁不能画了就输了
假设两人都绝顶聪明
谁先走？？肯定是Alice啊，因为他姓A
问最后谁能赢

sol:
正解竟然是二分图匹配？？
先说一下我的做法，就是记录能画多少条线，奇数Alice win，偶数Bob win。
这样的解法我一度怀疑他的正确性，结果竟然拿了70分？？
正解的做法就是对于棋子的x, y坐标进行二分图匹配，能完美匹配Bob win，不能就Alice win

T2：
Alice输了游戏很难受，头皮发麻，然后她玩起了纸牌
她的纸牌比较奇怪，一共有n张纸牌分别为1…n
一开始以1…n排列在桌面上
现在她想要搞一个数组p
每一次把这列纸牌中从左往右的第i张放到pi这个位置上
经过若干次这个序列就会恢复原样
难道我会问你要多少次才能恢复原样？？不不不这太简单了Alice自己也会
所以我要问你有多少种可能的次数

sol:
找规律题啊，不会滚粗…
我还是写了个爆搜打了个表，20分555…
正解思路：首先把题目转化为求和为n的数的LCM方案数
看看下面的情况：
1）如果我把数分为a^xb^y(gcd(a,b)=1)和其他一大堆数，那么这种方案和a^x,b^y,1,1,…,1和其他一大堆数是等效的
2）如果我把数分为a^x,a^y(x>y)和其他一大堆数，那么这种方案和a^x,1,1,…,1和其他一大堆数是等效的
那么的话，就可以按照质数来进行dp，f[i][j]表示访问完i个质数，和为j的方案数。所以就一大堆递推就好啦..
%%%草老师找到规律

T3：
Bob输了游戏很难受头皮发麻，于是他想去IOI市旅游散心
IOI市是一个被分成纵H*横W块区域的长方形，每个区域都是建筑物、原野、墙壁之一。建筑物的区域有P个，编号为1…P
Bob只能进入建筑物与原野，而且每次只能走到相邻的区域中，且不能移动到市外。
Bob因为各种各样的事情，必须在各个建筑物之间往返。虽然建筑物中的冷气设备非常好，但原野上的日光十分强烈，因此在原野上每走过一个区域都需要1单位的水。此外，原野上没有诸如自动售货机、饮水处之类的东西，因此IOI市的市民一般都携带水壶出行。大小为x的水壶最多可以装x单位的水，建筑物里有自来水可以将水壶装满
由于携带大水壶是一件很困难的事情，因此Bob决定携带尽量小的水壶移动。因此，为了随时能在建筑物之间移动，请你帮他写一个程序来计算最少需要多大的水壶
现在给出IOI市的地图和Q个询问，第i个询问(1<=i<=Q)为“在建筑物Si和Ti之间移动，最小需要多大的水壶？”，请你对于每个询问输出对应的答案

sol:
这题和货车运输有点儿像？？一眼最小生成树，然后发现建边很鬼畜？要用bfs来一遍平面图最短路，利用bfs的性质引出一个“势力范围”也就是这个点第一次可以扩展到的点，类似于缩点建边，就可以解决打水的情况，得到一个最小生成树。
求答案用倍增lca即可。

Day2 早场

T1：
给出 N 个点，M 条边的有向图，对于每个点 v，求 A(v) 表示从点 v 出发，能到达的编号最大的点。

sol:
暴力也是可以过的，但是我写的强连通，在每次出栈的时候维护一下连通分量的最大编号，然后重新建一次图，在这个新图跑dfs，回溯的时候维护一下最大编号即可。
树形dp，拓扑排序也可以。

T2：
数列 A1,A2,…,AN，修改最少的数字，使得数列严格单调递增。

sol:
这题我拿下了AC一血，所以我将详细点，首先要求一个严格单调递增序列，n-这个序列的长度就是答案，但是直接去求最长上升子序列是错的，因为数字不能相同。那么我们转化一下问题：
首先他要严格单调递增
设i>j，那么 a[i]-a[j]>=i-j
诶出现了大于等于号，那么我们就可以不用那么严格，有希望！！
移项一下：a[i]-i>=a[j]-j
太好了他俩一样了，那么我就可以用一个s[i]=a[i]-i
那么问题就可以转化为维护这样一个s[i]>=s[j]
这个s不是严格递增的！！是一个不下降子序列！
所以我们可以用O(NlogN)的做法（做法自行度娘）来维护一个最长不下降子序列即可。
再次%Rose Orz

T3：
将 1 到 N 任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。
问在所有排列中，有多少个排列恰好有K个“<”。
例如排列(3, 4, 1, 5, 2)
3 < 4 > 1 < 5 > 2
共有2个“<”

sol:
正解是一个高精度dp，但波老师和亮亮打了个暴力然后找到了一个十分玄学的规律~~（知道了也不会找系列~~
转移方程：F[i][j]=f[i-1][j-1]*(i-j+1)，意思是，在i-1的序列中插入一个i（因为我们是顺着插的所以i一定为最大值），让其放进去之后产生一个小于号，则有（i-j+1）个位置可以产生新的小于号。

然后我第一题竟然写挂了？？只有50分？？不知道为什么。。最后150 Rank4滚粗

Day2 晚场

题目太难，完全不可做的说。。。只想到第二题的一点点思路~~（我太垃圾~~，所以做了一半call老师回来改题，然后就没有测了滚粗。

Day3 早场

T1：
moreD和moreD的宠物CD正在玩一个日历游戏，开始时，他们从1900年1月1日到2012年12月22日（你懂的……）选一个日期开始，依次按照如下规则之一向后跳日期：
1. 跳到日历上的下一天。
2. 跳到日历上的下个月的同一天（如果不存在，则不能这么做）。
要是谁正好到达2012年12月22日那么他就赢了，如果到达这天之后的日期那他就输了——原因你也懂的。
每次都是moreD先走的。
现在，给你一个日期，请问moreD一定能赢吗？

sol:
记忆化搜索或者dp，加上一点博弈思想。

T2:
话说CD比较欠扁，他表示在课室的日子没有教主在旁边打他的日子太寂寞了，所以这一晚，他终于来到了电脑室被打。由于CD是大家的宠物，于是大家都来打CD了。电脑室里有n个人，第i个人希望打CD ai下。但是太多人打CD，他又会不爽，于是他规定只能有K个人打到他，并且为了公平起见，最终K个人打他的次数都必须是相同的，CD规定这个次数就是这K个人希望打他的次数的最大公约数。为什么是最大公约数呢？因为他觉得被打的次数是GCD的话他才会变成Glad CD。之前说了，CD比较欠扁，于是CD希望，K个人打他的次数的和最大。你能告诉他他最后总共会被打多少下么？

sol:
二血水题啊，直接求出ai的所有约数，从大到小枚举约数，找到>=K的就直接输出答案即可。

T3：
哪里有压迫，哪里就有反抗。
moreD的宠物在法庭的帮助下终于反抗了。作为一只聪明的宠物，他打算把魔法使moreD的魔法书盗去，夺取moreD的魔法能力。但moreD怎么会让自己的魔法书轻易地被盗取？moreD在魔法书上设置了一个密码锁，密码锁上有一个问题。
施以斯卧铺魔法吧，你有M次机会，如此将得完美密码。
然后是一串小写字母串。
moreD的宠物斯卧铺魔法就是施法时的字符串其中相邻两位交换。
而moreD对于完美密码的定义自然是最小字典序了。
请帮助moreD的宠物，想出密码吧。

sol:
观察到每次都会把最小的往头送，所以我非常裸的把他往头送了，发现时间复杂度是O(n)？？感觉正解？？。
然后出了一个数据卡掉了我自己的代码。。狗血的是最后这个代码过了60分。。
。。。。
正确的贪心要再加上一维，维护一下后效性，那么这一维就可以用树状数组或者线段树代替，降维为logN

最后又是拿了Rank4滚粗 %一下dalao们

后面懒得写了。。。