计算机科学第三讲——布尔逻辑和逻辑门

1、二进制

2、布尔逻辑

3、NOT

4、AND

5、OR

6、XOR

今天我们开始讲"抽象"，不用管底层细节，把精力用来构建更复杂的系统。

1、二进制

上一讲，我们讲了计算机最早是机电设备，一般用十进制计数——比如用齿轮数来代表十进制，再到晶体管计算机。幸运的是，只用开/关两种状态也可以代表信息，这叫 二进制——意思是"用两种状态表示"。就像自行车有两个轮，双足动物有两条腿，你可能觉得两种状态不多，你是对的！但如果只需要表示 true 和 false，两个值就够了。电路闭合，电流流过，代表 "真"；电路断开，无电流流过，代表"假"，二进制也可以写成 1 和 0 而不是 true 和 false——只是不同的表达方式罢了——我们下一讲会讲更多细节。

晶体管的确可以不只是开/关，还可以让不同大小的电流通过，一些早期电子计算机是三进制的，有 3 种状态，甚至五进制，5 种状态。问题是，状态越多，越难区分信号——如果手机快没电了或者附近有电噪音，因为有人在用微波炉，信号可能会混在一起...

而每秒百万次变化的晶体管会让这个问题变得更糟！所以我们把两种信号尽可能分开——只用"开"和"关"两种状态，可以尽可能减少这类问题。

2、布尔逻辑

计算机用二进制的另一个原因是有一整个数学分支存在，专门处理"真"和"假"，它已经解决了所有法则和运算，叫"布尔代数"！乔治·布尔（George Boole）是布尔二字的由来，是一位 19 世纪自学成才的英国数学家，他有兴趣用数学式子扩展亚里士多德基于哲学的逻辑方法。布尔用 逻辑方程 系统而正式的证明真理(truth)。他在 1847 年的第一本书"逻辑的数学分析"中介绍过，在"常规"代数里 - 你在高中学的那种 - 变量的值是数字，可以进行加法或乘法之类的操作。

但在布尔代数中，变量的值是 true 和 false，\N 能进行逻辑操作。布尔代数中有三个基本操作：NOT, AND 和 OR，这些操作非常有用，我们一个个来看：

NOT 操作把布尔值反转，\N把 true 进行 NOT 就会变成 false，反之亦然，我们可以根据 NOT 操作的输入和输出，做出这个表.

**”NOT“表**
INPUT	OUTPUT
TRUE	FALSE
FALSE	TURE

酷的地方是 - 用晶体管可以轻松实现这个逻辑。上一讲说过，晶体管只是电控制的开关，有 3 根线：2 根电极和 1 根控制线，控制线通电时，电流就可以从一个电极流到另一个电极，就像水龙头一样- 打开水龙头，就有水流出来，关掉水龙头，就没水了。

可以把控制线，当做输入 ( input ) \N 底部的电极，当做输出（output），所以 1 个晶体管，有一个输入和一个输出。如果我们打开输入（input on) \N，输出也会打开（output on） \N ，因为电流可以流过；如果关闭输入（input off） \N ，输出也会关闭（output off）\N ，因为电流无法通过。或者用布尔术语来说\N 输入为真，输出为真，输入为假 \N 输出为假，我们也可以把这个做成"真值表"。

**真值表**
INPUT	OUTPUT
TRUE	TRUE
FALSE	FALSE

3、NOT

这个电路没什么意思，因为它没做什么事——输入和输出是一样的。但我们可以稍加修改，实现 NOT。与其把下面那根线当做输出，我们可以把输出放到上面，如果打开输入，电流可以流过然后 "接地"，输出就没有电流，所以输出是 off。如果用水来举例，就像家里的水都从一个大管子流走了，打开淋浴头一点水也没有。

如果输入是 on，输出是 off，

当输入是 off，电流没法接地，就流过了输出，所以输出是 on；

和 NOT 操作表一样！太棒了！我们做了个有点用的电路！我们叫它 "NOT 门" \N ，之所以叫 "门"，是因为它能控制电流的路径。

4、AND

"AND"操作有 2 个输入，1 个输出，如果 2 个输入都是 true，输出才是 true。你可以想成是说真话，如果完全不说谎，才是诚实。举例，看如下这个句子，我叫 Carrie Anne "而且"我穿着蓝色的衣服，2 个都是真的，所以整个是真的。

但如果说，我叫 Carrie Anne"而且"我穿了裤子, 就是假的，因为我没穿裤子。

虽然前半句是真的，但是真 "AND" 假，还是假，就算把前后顺序反过来，也依然是假。如果我说 2 个假的事情，那么结果是假。和上次一样，可以给"AND"做个表

**”AND“表**
INPUT A	INPUT B	OUTPUT
TRUE	TRUE	TRUE
TRUE	FALSE	FALSE
FALSE	TRUE	FLASE
FALSE	FALSE	FALSE

为了实现 "AND 门"，我们需要 2 个晶体管连在一起，这样有 2 个输入和 1 个输出。

如果只打开 A，不打开 B \N 电流无法流到 output，所以输出是 false，如果只打开 B，不打开 A ，也一样，电流无法流到 output，只有 A 和 B 都打开了，output 才有电流。

5、OR

最后一个是 OR （前面讲了 NOT 和 AND)，只要 2 个输入里，其中 1 个是 true，输出就是 true。

**”OR"表**
INPUT A	INPUT B	OUTPUT
TRUE	TRUE	TRUE
TRUE	FALSE	TRUE
FALSE	TRUE	TRUE
FALSE	FALSE	FALSE

比如，我叫 Margaret Hamilton"或"我穿着蓝色衣服，结果是 true，虽然我不是 Margaret Hamilton，但是我穿着蓝色衣服，所以结果是 true。

对于"OR 操作"来说，\N如果 2 个输入都是 true，输出也是 true，只有 2 个输入都是 false，OR 的结果才是 false。

实现 "OR 门" 除了晶体管还要额外的线，不是串联起来，而是并联。然后左边这条线有电流输入

我们用"小拱门"代表 2 条线没连在一起，只是跨过而已，虽然看起来像连在一起，如果 A 和 B 都是 off，电流无法流过，所以输出是 off；如果打开 A，电流可以流过。输出是 on，如果只打开 B 也一样，只要 A OR B 是 on，输出就是 on，如果 A 和 B 都 on，结果是 on。

好，现在 NOT 门, AND 门, OR 门都搞定了。我们可以进行一次抽象，NOT 门的画法是三角形前面一个圆点，

AND 门用 D 表示，

OR 门用太空船表示，

"D 形状和太空船"不是标准叫法, 只是我喜欢这样叫而已。我们可以用这种方法表示它们，构建更大的组件，就不会变得很复杂——晶体管和电线依然在那里，我们只是用符号来代表而已。

6、XOR

除了前面说的三个\N 另一个有用的布尔操作叫 "异或"——简称 XOR。

”XOR“表
INPUT A	INPUT B	OUTPUT
TRUE	TRUE	FALSE
TRUE	FALSE	TRUE
FALSE	TRUE	TRUE
FALSE	FALSE	FALSE

XOR 就像普通 OR，但有一个区别：如果 2 个输入都是 true，XOR 输出 false。想要 XOR 输出 true \N 一个输入必须是 true，另一个必须是 false，就像你出去吃晚饭，你点的饭要么配沙拉，要么配汤——你不能两个都要！

用晶体管实现 XOR 门有点烧脑子，但我可以展示一下\N 怎么用前面提到的 3 种门来做 XOR 门。

我们有 2 个输入，A 和 B ，还有 1 个输出.，我们先放一个 OR 门. 因为 OR 和 XOR 的逻辑表很像，只有 1 个问题 - 当 A 和 B 都是 true 时 \N OR 的输出和想要的 XOR 输出不一样，我们想要 false。XOR 超有用的，我们下次再说它。因为超有用，\N 工程师给了它一个符号，一个 OR 门 + 一个笑脸，重要的是，现在可以把 XOR 放入"工具箱"了，不用担心 XOR 具体用了几个门，这几个门又是怎么用晶体管拼的，或电子是怎么流过半导体的，再次向上抽象。

工程师设计处理器时，很少在晶体管的层面上思考，而是用更大的组件，比如逻辑门，或者由逻辑门组成的更大组件，我们以后会讲。就算是专业程序员，也不用考虑逻辑是怎样在物理层面实现的。

我们从电信号开始，到现在第一次表示数据——真和假 - 开始有点"计算"的感觉了。仅用这一讲讲的 逻辑门，我们可以判断复杂的语句比如：[如果是 John Green] AND [下午 5 点后] \N OR [周末] AND [在比萨店附近]。那么 "John 想要比萨" = 真