【Derivation】随机过程及应用（三） - 高斯分布/正态分布的期望和方差

Provement of Gaussian Distribution：

设正态分布概率密度函数是

f(x)=12π−−√σ∗e−(x−u)22σ2

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma}*e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}

于是：

∫+∞−∞e−(x−u)22σ2dx=2π−−√σ （∗）

\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{e^{-(x-u)^2}}{2\sigma^2}dx=\sqrt {2π}\sigma\ \ \ \ \ \ （*）
积分区域是从负无穷到正无穷.
|| **1.expectation:
对（∗）（*）式两边对 uu 求导：

∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗−2(x−u)2σ2dx=0

\int^{+\infty}_{-\infty} {e^{\frac {-(x-u)^2}{2\sigma^2}}* \frac{-2(x-u)}{2\sigma^2}}dx=0
约去常数,再两边同乘以 σ2π√\frac{\sigma}{\sqrt{2π}} 得：

∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗−(x−u)2π−−√σdx=0

\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{-(x-u)}{\sqrt{2π}\sigma} dx=0 or

∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗x−u2π−−√σdx=0

\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{x-u}{\sqrt{2π}\sigma} dx=0
把 x−ux-u 拆开,再移项：

∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗x2π−−√σdx

\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{x}{\sqrt{2π}\sigma} dx

=∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗u2π−−√σdx

=\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{u}{\sqrt{2π}\sigma} dx
也就是

∫+∞−∞x∗f(x)dx=∫+∞−∞u∗f(x)dx

\int^{+\infty}_{-\infty}x*f(x)dx=\int^{+\infty}_{-\infty}u*f(x)dx

=u∗1=u

=u*1=u
到这一步证明了 expectationexpectation 就是 uu.

||   **2.variance

对（∗）（*）式两边对 σ\sigma 求导：

∫+∞−∞(x−u)2σ3∗e−(x−u)22σ2dx=2π−−√

\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{(x-u)^2}{\sigma^3}*e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}dx=\sqrt{2π}
移项：

∫+∞−∞(x−u)22π−−√σ∗e−(x−u)22σ2dx=σ2

\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{(x-u)^2}{\sqrt{2π}\sigma} *e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}dx={\sigma^2}
也就是:

∫+∞−∞(x−u)2∗f(x)dx=σ2

\int^{+\infty}_{-\infty}(x-u)^2*f(x)dx=\sigma^2
到这一步证明了 variancevariance 就是 σ2\sigma^2.
从而 Gaussian DistributionGaussian \ \ Distribution 得证.

- 第一
- 第二
- 参考Davide Giraudo的方法。

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