文章目录

1 凸集
- 1.1 线性空间
- 1.2 欧氏空间
- 1.3 凸集
- 1.4 仿射
- - 1.4.1 仿射函数
  - 1.4.2 线性函数
  - 1.4.3 仿射变换
2 凸函数
- 2.1 描述
- 2.2 定义
- 2.3 举例
3 凸优化
4 凸二次规划
5 参考文献

1 凸集

1.1 线性空间

V是非空集合，F是数域，若在其上定义了加法和数乘运算，且满足八条法则，则称集合V为数域F上的线性空间。

1.2 欧氏空间

在数域R上的n维线性空间上定义了内积运算，且满足四条法则，则称此n维线性空间为n维欧氏空间。

1.3 凸集

在欧氏空间中，若对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内，则称该集合为凸集(convex set)。如球体是凸集。任何中空的或具有凹痕的集合都不是凸集。例如五角星不是凸集，称为凹集。特别地，实数域R或复数域C上的向量空间中，若集合S中任两点的连线上的点都在S内，则称集合S为凸集。

1.4 仿射

1.4.1 仿射函数

仿射函数是最高次数为1的多项式函数，一般形式为f(x)=Ax+b，A是m×k阶矩阵，x是一个k维列向量，b是m维列向量，f是从k维向量空间到m维向量空间的一个映射。

1.4.2 线性函数

常数项为零的仿射函数称为线性函数。一般形式为f(x)=Ax。

1.4.3 仿射变换

从R^k到R^m的映射x→Ax+b称为仿射变换（k≠m时）或仿射映射（k=m时）。若f是仿射变换，且S为凸集，则f(S)={f(x)|x∈S}为凸集。反之，若f是仿射变换，f(S)为凸集，则S为凸集。

2 凸函数

2.1 描述

若函数的图像的上方区域是凸集，则该函数是凸函数。注意上方，因为看的角度不同凹凸性就是相反的，比如正方放着的碗是凸的，倒扣着的碗就是凹的。

2.2 定义

若函数f的定义域dom f为凸集，且满足f(x+(1-θ)y)<=θf(x)+(1-θ)f(y)，其中x,y∈dom f且0=<θ<=1。

2.3 举例

（1）指数函数：f(x)=e^ax；

（2）幂函数：f(x)=x^a，x∈R⁺，a≥1或a≤0；

（3）负对数函数：f(x)=-lnx；

（4）负熵函数：f(x)=xlnx；

（5）最大值函数：f(x)=max{x₁,x₂,…,x_N}。

3 凸优化

凸优化问题一般是最小化问题，通过将目标函数加负号便可以使最大化问题变为最小化问题。

约束最优化问题的一般形式如下：

设f(x)的定义域为domain f，m_i(x)的定义域为domain m_i，则可行域为D=domain f ∩ domain m_i，即二者的交集。

若目标函数f(x)为凸函数，可行域为凸集时（即不等式约束中m_i(x)为凸函数，且等式约束中n_j(x)为仿射函数），则称这种约束最优化问题为凸优化问题。凸优化问题的局部最优解称为全局最优解。

4 凸二次规划

r与a_i为n维实向量，b_i为为实数，i=1,2…,L,L+1,…L+M。对于下面的约束优化问题：

若目标函数f(x)为二次函数，G为对称矩阵，不等式约束均为仿射函数，则称上述约束优化问题为二次规划（quadratic programming）问题，即QP问题。

若f(x)中的矩阵G是半正定矩阵，则称上述QP问题为凸二次规划问题（convex quadratic programming）；若G是正定矩阵，则为严格凸二次规划问题。

若G为半正定矩阵，可行域不为空，且目标函数f(x)在可行域有下界，则该凸二次规划问题有全局最小值。更进一步，若G为正定矩阵，可行域不为空，且目标函数f(x)在可行域有下界，则该严格凸二次规划问题有唯一全局最小值。

5 参考文献

1、百度百科；

2、凸集、凸函数、凸优化和凸二次规划。

END

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