常见的常微分方程的一般解法

本文归纳常见的常微分方程的一般解法。

如果没有出现意外，本文将不包含解法的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：

可分离变量的微分方程（一阶）
一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利
二阶常系数微分方程（二阶）
高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉

1.可分离变量的微分方程（一阶）

这类微分方程可以变形成如下形式：

f(x)dx=g(y)dyf(x)dx=g(y)dyf(x)dx=g(y)dy

两边同时积分即可解出函数，难度主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）

形如

dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x)

的方程叫做一阶线性微分方程，若Q(x)Q(x)Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：

y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)

多套几遍熟练就好。

伯努利方程

形如

dydx+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n≠1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1

的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：

y−ndydx+P(x)y1−n=Q(x)y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)

11−n⋅dy1−ndx+P(x)y1−n=Q(x)\frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)

令y1−n=uy^{1-n}=uy1−n=u，方程两边同时乘以1−n1-n1−n，得到

dudx+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)

即dudx+P′(x)u=Q′(x)\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x)dxdu+P′(x)u=Q′(x)

这是可以套公式的一阶线性微分方程。

3.二阶常系数微分方程（二阶）

形如

y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)y′′+py′+qy=f(x)

的方程称为二阶常系数微分方程，若f(x)≡0f(x)\equiv0f(x)≡0，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

求出齐次通解
求出非齐次特解

方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。

齐次通解的求法

首先假设f(x)≡0f(x)\equiv0f(x)≡0.

用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：

r2+pr+q=0r^{2}+pr+q=0r2+pr+q=0

解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是r1、r2r_{1}、r_{2}r1、r2，

此时方程的通解是

Y(x)=C1er1x+C2er2xY(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}Y(x)=C1er1x+C2er2x.

情况二：方程有一个二重解

假设该解等于rrr，

此时方程的通解是

Y(x)=(C1+C2x)erxY(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}Y(x)=(C1+C2x)erx.

情况三：方程有一对共轭复解

假设这对解是α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ

此时方程的通解是

Y(x)=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))Y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))Y(x)=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

非齐次特解的求法

对于f(x)f(x)f(x)和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

1.f(x)=Pm(x)f(x)=P_{m}(x)f(x)=Pm(x)，其中Pm(x)P_{m}(x)Pm(x)表示xxx的最高次数为m的多项式。

若0不是方程特征解

则方程有特解y∗=Qm(x)y^{*}=Q_{m}(x)y∗=Qm(x)

若0是方程的单特征解

则方程有特解y∗=xQm(x)y^{*}=xQ_{m}(x)y∗=xQm(x)

若0是方程的二重特征解

则方程有特解y∗=x2Qm(x)y^{*}=x^{2}Q_{m}(x)y∗=x2Qm(x).

其中，Qm(x)=b0+b1x+……+bmxmQ_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+……+b_{m}x^{m}Qm(x)=b0+b1x+……+bmxm，

bi(i=0,1,……m)b_{i}(i = 0,1,……m)bi(i=0,1,……m)是需要带回原方程来确定的系数。

2.f(x)=eαxPm(x)f(x)=e^{\alpha x}P_{m}(x)f(x)=eαxPm(x).

若α\alphaα不是方程特征解

则方程有特解y∗=eαxQm(x)y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x)y∗=eαxQm(x)

若α\alphaα是方程的单特征解

则方程有特解y∗=xeαxQm(x)y^{*}=xe^{\alpha x}Q_{m}(x)y∗=xeαxQm(x)

若α\alphaα是方程的二重特征解

则方程有特解y∗=x2eαxQm(x)y^{*}=x^{2}e^{\alpha x}Q_{m}(x)y∗=x2eαxQm(x).

3.f(x)=eαx(a1cos(βx)+a2sin(βx))f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x))f(x)=eαx(a1cos(βx)+a2sin(βx))

若α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ不是特征解

则方程有特解y∗=eαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))y∗=eαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))

若α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ是特征解

则方程有特解y∗=xeαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))y^{*}=xe^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))y∗=xeαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))

其中A1A_{1}A1、A2A_{2}A2是需要带回原方程来确定的系数。

4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉

形如y(n)+p1y(n−1)+...+pn−1y′+pny=f(x)y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}y'+p_{n}y=f(x)y(n)+p1y(n−1)+...+pn−1y′+pny=f(x)

的方程叫做高阶常系数微分方程，若f(x)≡0f(x)\equiv0f(x)≡0，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

求出齐次通解
求出非齐次特解

方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。

齐次通解的求法

使用特征方程法。首先假设f(x)≡0f(x)\equiv0f(x)≡0.

列出特征方程并求解：

rn+p1rn−1+...+pn−1r+pn=0r^{n}+p_{1}r^{n-1}+...+p_{n-1}r+p_{n}=0rn+p1rn−1+...+pn−1r+pn=0

得到的解无非是以下四种情形：

1重实数解
k重实数解
一对1重共轭复数解
一对k重共轭复数解

每出现一种情形的解，通解y(x)y(x)y(x)中就多出一项，各项之和就构成了整个通解。

根据下面的规则可以写出不同情况下的通解

1重实数解

设λ\lambdaλ是特征方程的一个1重实数解。

则应该为它在通解中增加这样一项：

CeλxCe^{\lambda x}Ceλx

k重实数解

设λ\lambdaλ是特征方程的一个k重实数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是k项）：

eλx(C1+C2x+...+Ckxk−1)e^{\lambda x}(C_{1}+C_{2}x+...+C_{k}x^{k-1})eλx(C1+C2x+...+Ckxk−1)

一对1重共轭复数解

设α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ是特征方程的一对1重共轭复数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2项）：

eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

一对k重共轭复数解

设α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ是特征方程的一对k重共轭复数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2k项）：

eαx[(C1+C2x+...+Ckxk−1)cos(βx)+e^{\alpha x}[(C_{1}+C_{2}x+...+C_{k}x^{k-1})cos(\beta x)+eαx[(C1+C2x+...+Ckxk−1)cos(βx)+

(D1+D2x+...+Dkxk−1)sin(βx)](D_{1}+D_{2}x+...+D_{k}x^{k-1})sin(\beta x)](D1+D2x+...+Dkxk−1)sin(βx)]

当你为每一个特征方程的解写出对应的项后，把他们加起来，就得到齐次方程的通解了。

非齐次特解的求法

1.f(x)=Pm(x)f(x)=P_{m}(x)f(x)=Pm(x)，其中Pm(x)P_{m}(x)Pm(x)表示xxx的最高次数为m的多项式。

若0不是方程特征解

则方程有特解y∗=Qm(x)y^{*}=Q_{m}(x)y∗=Qm(x)

若0是方程的k重特征解

则方程有特解y∗=xkQm(x)y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)y∗=xkQm(x)

其中，Qm(x)=b0+b1x+……+bmxmQ_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+……+b_{m}x^{m}Qm(x)=b0+b1x+……+bmxm，

bi(i=0,1,……m)b_{i}(i = 0,1,……m)bi(i=0,1,……m)是需要带回原方程来确定的系数。

2.f(x)=eαxPm(x)f(x)=e^{\alpha x}P_{m}(x)f(x)=eαxPm(x).

若α\alphaα不是方程特征解

则方程有特解y∗=eαxQm(x)y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x)y∗=eαxQm(x)

若α\alphaα是方程的k重特征解

则方程有特解y∗=xkeαxQm(x)y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}Q_{m}(x)y∗=xkeαxQm(x).

3.f(x)=eαx(a1cos(βx)+a2sin(βx))f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x))f(x)=eαx(a1cos(βx)+a2sin(βx))

若α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ不是特征解

则方程有特解y∗=eαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))y∗=eαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))

若α±iβ\alpha\pm i\betaα±iβ是k重特征解

则方程有特解y∗=xkeαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))y∗=xkeαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))

其中A1A_{1}A1、A2A_{2}A2是需要带回原方程来确定的系数。

欧拉方程

形如

xny(n)+p1xn−1y(n−1)+...+pn−1xy′+pny=f(x)x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}xy'+p_{n}y=f(x)xny(n)+p1xn−1y(n−1)+...+pn−1xy′+pny=f(x)

的方程叫做欧拉方程，它可以变形成常系数微分方程。

变形过程如下：

做变换：x=etx=e^{t}x=et, 或t=ln(x)t=ln(x)t=ln(x)

于是

dydx=dtdxdydx=1xdydt\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}dxdy=dxdtdxdy=x1dtdy

d2ydx2=1x2(d2ydt2−dydt)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt})dx2d2y=x21(dt2d2y−dtdy)

d3ydx3=1x3(d3ydt3−3d2ydt2+2dydt)\frac{d^{3}y}{dx^{3}}=\frac{1}{x^{3}}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt})dx3d3y=x31(dt3d3y−3dt2d2y+2dtdy)

……

记Dky=dkydtkD^{k}y=\frac{d^{k}y}{dt^{k}}Dky=dtkdky

则xy′=Dyxy'=Dyxy′=Dy

x2y′′=D(D−1)yx^{2}y''=D(D-1)yx2y′′=D(D−1)y

x3y(3)=D(D−1)(D−2)yx^{3}y^{(3)}=D(D-1)(D-2)yx3y(3)=D(D−1)(D−2)y

…

一般的，xky(k)=D(D−1)...(D−k+1)yx^{k}y^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)yxky(k)=D(D−1)...(D−k+1)y.

这样，欧拉方程就是关于yyy和ttt的常系数微分方程。

解出yyy后，将t=ln(x)t=ln(x)t=ln(x)带入即得y(x)y(x)y(x).

如有错误欢迎指出。