P1357 花园(dp&快速幂转移)

考虑nnn较小时的dpdpdp：dp[i][j]=dp[i−1][j>>1]+dp[i−1][j>>1∣(1<<(m−1))]dp[i][j]=dp[i-1][j>>1]+dp[i-1][j>>1|(1<<(m-1))]dp[i][j]=dp[i−1][j>>1]+dp[i−1][j>>1∣(1<<(m−1))]

需要注意对应的二维状态合法。

因为n≤1015n\le 10^{15}n≤1015，所以考虑快速幂转移。

如果状态xxx能转移到状态yyy所以a[x][y]=1a[x][y]=1a[x][y]=1。

然后自乘nnn次得到的∑i=02m−1a[i][i]\sum\limits_{i=0}^{2^m-1} a[i][i]i=0∑2m−1a[i][i]就是答案。

因为是个环，所以我们只对初态和末态相等的答案统计。

时间复杂度：O(m3logn+2m)O(m^3logn+2^m)O(m3logn+2m)

注意整数溢出。

// Problem: P1357 花园
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1357
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-04-23 21:01:22
// --------by Herio--------#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
void Print(int *a,int n){for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);printf("%d\n",a[n]);
}
ll n;
int m,k;
int f[1<<5][1<<5];
struct mtx{int a[1<<5][1<<5];int r,c;mtx(int rr,int cc,int p=0){r=rr,c=cc;mst(a,0);if(p==1) for(int i=0;i<rr;i++) a[i][i]=1;}mtx operator *(const mtx &b)const{mtx m(r,b.c);for(int i=0;i<r;i++)for(int j=0;j<m.c;j++)for(int k=0;k<c;k++)m.a[i][j]=(m.a[i][j]+1LL*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;return m;}mtx operator ^(ll n)const{mtx ans(r,c,1),x=*this;while(n){if(n&1) ans=ans*x;x=x*x;n>>=1;}return ans;}
};
void solve(){scanf("%lld%d%d",&n,&m,&k);int st=1<<m;mtx ans(st,st);for(int i=0;i<st;i++){if(__builtin_popcount(i)>k)  continue;int j=i>>1;ans.a[j][i]=1;j|=1<<m-1;if(__builtin_popcount(j)<=k) ans.a[j][i]=1;}ans=ans^n;int res=0;for(int i=0;i<st;i++) res=(res+ans.a[i][i])%mod;printf("%d\n",res);//think twice code once
}
int main(){solve();return 0;
}

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