POj 3420 Quad Tiling 状态压缩DP+递推+矩阵快速幂

哈哈，写了好久的，总算对了。

接下来介绍两种思路：

先介绍一种递推+矩阵的快速幂的方法

一种DP的思想考虑4×n的最后一列，可以放的方法一共有5种

1.放4个 1×2 则为dp[n-2]

2. 放2个 2x1 则为 dp[n-1]

3. 放 1x2 2x1 1x2 则为 dp[n-2]+dp[n-4]+.....+dp[0]

4. 放 1x2 1x2 2x1 为 dp[n-2]+dp[n-3]+dp[n-4]+....+dp[0]

5.和 4 一样的另外一种情况所以也是 dp[n-2]+dp[n-3]+....dp[0];

所以最后结果是 dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]+2*(dp[n-2]+dp[n-3]+..dp[0])+dp[n-2]+dp[n-4]+...dp[0];

然后写一个dp[n-2]=.....

减一下，化简之后的结果是dp[n]=dp[n-1]+5*dp[n-2]+dp[n-3]-dp[n-4]; 这就是递推公式了

之后建立一个矩阵

（ 1 5 1 -1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 ）

dp[0]=1,dp[1]=1,dp[2]=5,dp[3]=11 不断左乘那个矩阵就可以转化为那个矩阵的幂，之后快速幂搞定！！

最后答案注意点，可能为负，那只要 (ans+m)%m 就是正确答案了！。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
struct matri
{long long f[4][4];
};
long long n,m;
long long dp[5];
matri mul(matri a,matri b)
{int i,j,k;matri c;memset(c.f,0,sizeof(c.f));for(i=0;i<4;i++)for(j=0;j<4;j++)for(k=0;k<4;k++)c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j])%m;return c;
}
void eps_mul(matri a,int t)
{matri s;memset(s.f,0,sizeof(s.f));s.f[0][0]=s.f[1][1]=s.f[2][2]=s.f[3][3]=1;while(t){if(t&1)s=mul(s,a);a=mul(a,a);t=t>>1;}long long ans=0;for(int i=0;i<4;i++)ans=(ans+dp[i]*s.f[0][3-i]);if((ans%=m)<0) ans=(ans+m)%m;printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{dp[0]=1;dp[1]=1;dp[2]=5;dp[3]=11;while(scanf("%lld%lld",&n,&m),n||m){if(n<4) {printf("%lld\n",dp[n]%m);continue;}matri ss;ss.f[0][0]=1;ss.f[0][1]=5;ss.f[0][2]=1;ss.f[0][3]=-1;ss.f[1][0]=1;ss.f[1][1]=0;ss.f[1][2]=0;ss.f[1][3]=0;ss.f[2][0]=0;ss.f[2][1]=1;ss.f[2][2]=0;ss.f[2][3]=0;ss.f[3][0]=0;ss.f[3][1]=0;ss.f[3][2]=1;ss.f[3][3]=0;eps_mul(ss,n-3);}
}

接下来讲第二种状态压缩的方法

很显然会有1<<4中状态

各个状态的匹配就达到了16*16 的矩阵。

矩阵的转移快速幂的意思就是1,2 3,4是同样的。``同理。

状态的转移很巧妙的就是矩阵的相乘，

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
struct matrix
{int f[16][16];
};
int n,m;
int pre[16*16],now[16*16];
int top;
void dfs(int num,int p,int q)
{if(num>4)return;if(num==4){pre[top]=q;now[top++]=p;return;}dfs(num+2,(p<<2)|3,(q<<2)|3);dfs(num+1,(p<<1)|1,q<<1);dfs(num+1,p<<1,(q<<1)|1);
}
matrix mul(matrix a,matrix b)
{matrix s;memset(s.f,0,sizeof(s.f));int i,j,k;for(i=0;i<16;i++)for(j=0;j<16;j++)for(k=0;k<16;k++)s.f[i][j]=(s.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j])%m;return s;
}
void quick_pow(matrix A,int k)
{int i;matrix s;memset(s.f,0,sizeof(s.f));for(i=0;i<16;i++)s.f[i][i]=1;while(k){if(k&1)s=mul(s,A);A=mul(A,A);k=k>>1;}printf("%d\n",s.f[15][15]);
}
int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m),n||m){int i;matrix s;memset(s.f,0,sizeof(s.f));top=0;dfs(0,0,0);for(i=0;i<top;i++)s.f[pre[i]][now[i]]=1;quick_pow(s,n);}
}

所以可以写出代码

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