射影线束与二次曲线

二次曲线：任意一个二次方程
ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0
解析定义的任何曲线，它或者是三种圆锥曲线之一(抛物线，椭圆，双曲线)，或是一条直线，或是一对直线，或是一个点，或是虚的。

射影对应：
称平面上过一点的所有直线的集合为一线束。
如下图，在OOO和O′′O''O′′的线束之间可以建立这样的一一对应：OOO的线束中任意四条直线a,b,c,da,b,c,da,b,c,d和O′′O''O′′中任意四条直线a′′,b′′,c′′,d′′a'',b'',c'',d''a′′,b′′,c′′,d′′具有同样的交比。
在两线束之间，任意一个具有这种性质的一一对应称为射影对应。存在着射影对应的线束我们称为是射影相关的。

可以证明，圆锥曲线KKK上任意四点A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D和KKK上第五个点OOO用直线a,b,c,da,b,c,da,b,c,d连接起来，交比(abcd)与KKK上点OOO的位置无关。下图给出椭圆的例子，显然，OO′O O'OO′形成的线束是射影相关的。

射影几何断言：二次曲线是两族射影相关的线束的相应直线的交点的轨迹。

二次曲线的这样的射影性质，启发我们对这些曲线的作图采用一种一般的方法。

下面我们用射影线束画椭圆，双曲线和抛物线。

画图方法

如图，我们给定定直线m和n(黑色)m和n(黑色)m和n(黑色)，选取定点A,B,C(红色)A ,B ,C(红色)A,B,C(红色)，连接A与mmm上一点KKK(动点，为绿色)以及C与KC与KC与K，我们建立了AAA的线束AK与CAK与CAK与C的线束CKCKCK的一一对应，这样的对应是射影对应。同样由于CK与直线nCK与直线nCK与直线n交于一点，我们连接BBB与这一点，形成的直线交直线AK于PAK于PAK于P，使得C的线束与BC的线束与BC的线束与B的线束存在一一对应(射影对应)关系。这样我们建立了A的线束与C的线束A的线束与C的线束A的线束与C的线束的一一对应(射影对应)，当K在mK在mK在m上移动时，APAPAP与BPBPBP是这一射影相关的一一对应关系中的相对应的直线。
根据上面提到的二次曲线的射影性质，移动点KKK，PPP的轨迹是二次曲线，并且经过A,B。改变定点A,BA,BA,B与定直线m,nm,nm,n的位置，可以画出不同的二次曲线。

实例

双曲线

抛物线

椭圆

三个定点中，当AAA与A′A'A′关于直线nnn对称，A′′与CA''与CA′′与C关于直线mmm对称时，画出的轨迹是一个圆。

参考书目

R.柯朗, H.罗宾, 库兰特, et al. 什么是数学:对思想和方法的基本研究(第三版)[M]. 2005.

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