高等数理统计(part8)--UMRUE和UMVUE

2024-05-28 04:21:47

学习笔记，仅供参考，有错必纠

文章目录

UMRUE和UMVUE
- 引理3.2.4(唯一性)
- 引理3.2.5(最优性)
- 引理3.2.5(Lehmann-Scheffe)
- L-S定理求g(θ)g(\theta)g(θ)的UMRUE
- 无偏估计可能不唯一，可能不存在，也可能不合理
- 定义3.2.9(一致最小均方误差)
- 定义3.2.11(一致最小方差无偏估计)
- 定理3.2.12
- 定理3.2.13(UMVUE特征定理1)
- 定理3.2.14(UMVUE特征定理2)
- 定理:UMVUE特征定理3(Lehmann-Scheffe定理)
- 定理3.2.19(UMVUE唯一性)

UMRUE和UMVUE

引理3.2.4(唯一性)

引理3.2.5(最优性)

引理3.2.5(Lehmann-Scheffe)

L-S定理求g(θ)g(\theta)g(θ)的UMRUE

应用L-S定理求g(θ)g(\theta)g(θ)的UMRUE，前提是假定完备充分统计量存在以及g(θ)g(\theta)g(θ)的UMRUE存在.

直接法

无偏估计可能不唯一，可能不存在，也可能不合理

对于均匀分布U(0,θ)U(0, \theta)U(0,θ)，其矩估计是无偏的，而极大似然估计是有偏的，但偏差不大，且矩估计的方差明显大于极大似然估计的方差，因此，从实际应用角度考虑，极大似然估计应优于矩估计，比较准则正是均方误差准则.

定义3.2.9(一致最小均方误差)

无偏准则与均方误差准则是从两个不同角度考察一个估计量优劣的，但当二者发生矛盾时，更应重视均方误差准则.有时一致最小均方误差估计并不存在，为了找到一个一致最小均方误差估计，通常通过缩小估计类来求得。

定义3.2.11(一致最小方差无偏估计)

注:UMVUE是无偏估计类中方差最小的估计，虽然UMVUE是一个很好的估计，但对于某些分布族或参数，其UMVUE不一定存在.

为了方便计算UMVUE，先给出如下一个定理。

定理3.2.12

从定理可以看出，当找到充分统计量后，任一个无偏估计都可以得到改进.

同时，为找到UMVUE，仅需在充分统计量的无偏估计类中寻找.但这一定理并没有告诉我们如何才能得到UMVUE.下一定理将回答这一问题.

引入如下两个无偏估计类:

定理3.2.13(UMVUE特征定理1)

定理3.2.14(UMVUE特征定理2)

应用UMVUE特征定理1的主要步骤包括:

应用UMVUE定理2(适用于T的分布容易计算，T为充分统计量)的主要步骤包括:

定理:UMVUE特征定理3(Lehmann-Scheffe定理)

定理3.2.19(UMVUE唯一性)

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