大数定律和中心极限定理

大数定律
中心极限定理
大数定律和中心极限定理的联系
伯努利分布

在统计活动中，人们发现，在相同条件下大量重复进行一种随机实验时，一件事情发生的次数与实验次数的比值，即该事件发生的频率值会趋近于某一数值。重复次数多了，这个结论越来越明显。这个就是最早的大数定律。一般大数定律讨论的是n个随机变量平均值的稳定性。

大数定律

在统计活动中，大家发现，随着实验次数的增加，一个事件发生的频率会收敛于一个稳定的值。在数学上的表达就是，n个随机变量的均值（或者说期望）会随着n趋近于无穷而收敛于总体均值，也就是实际的均值。
总体和均值又是什么关系呢？其实我更愿意用True和Observer来描述总体和均值的关系。

大部分时候我们无法准确获取总体的情况，因为有随机性的存在。比如声音的收集过程中，会有噪音的存在。所以我们能够观测到的情况是概率的而非确定的。我们通过观测得到的是样本，而实际的情况则是总体。统计学的精髓就在于通过可以观测的样本来推测总体的情况。

中心极限定理

与大数定律相同的是，在随机变量的个数无限多的时候，随机变量的分布会趋近于正态分布。

大数定律和中心极限定理的联系

大数定律和中心极限定理在本质上描述的是一种现象，即实验次数增多，随机变量的随机性会弱化，反而开始出现必然性。比如，抛硬币次数增多，正反面概率会逐渐五五开。在数学上，二者也是有互通之处。
知乎上的慧航贴出了数学上直观的关系：

大数定律认为Sn的均值会收敛于总体期望E(X), 而中心极限定理认为样本的分布会收敛于于参数为E(X)和V(X)的正太分布。

伯努利分布

伯努利分布是二元随机变量在数量有限的情况下的特殊情况。换句话说，由于样本量比较小，所以随机变量Rn的分布呈现出特殊的状态，而当样本量逐渐增多之后，Rn的分布会趋近于正态分布。
如果以单词伯努利试验的结果为随机变量X，那么有：

如果进行n次试验，事件发生则X=1，事件不发生为0，以k次试验的结果为随机变量R，则可以得到二项分布：

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