「GXOI / GZOI 2019」与或和

传送门

problem

对于一个由非负整数构成的矩阵 AnA_nAn，定义矩阵的 AND\texttt{AND}AND 值为矩阵中所有数二进制 AND(&)\texttt{AND(\&)}AND(&) 的运算结果；定义矩阵的 OR\texttt{OR}OR 值为矩阵中所有数二进制 OR(|)\texttt{OR(|)}OR(|) 的运算结果。

给定一个 n×nn\times nn×n 的矩阵，请求出：

该矩阵的所有子矩阵的 AND\texttt{AND}AND 值之和（所有子矩阵 AND\texttt{AND}AND 值相加的结果）。
该矩阵的所有子矩阵的 OR\texttt{OR}OR 值之和（所有子矩阵 OR\texttt{OR}OR 值相加的结果）。

答案对 109+710^9+7109+7 取模。

数据范围：1≤n≤10001\le n\le 10001≤n≤1000，Aij<231A_{ij}< 2^{31}Aij<231。

solution

蛮简单的一道题。

首先还是按位处理，把问题转换成，求一个 010101 矩阵中全为 111 的子矩阵数量以及至少有一个 111 的子矩阵数量。

第一个可以用单调栈做，如果不会可以先做仓鼠窝这道题。

对于第二个，由于子矩阵的总数是 (n(n+1)2)2(\frac{n(n+1)}2)^2(2n(n+1))2，所以我们可以反转后算全为 111 的子矩阵数量。

为什么 n×nn\times nn×n 的矩阵的子矩阵总数是 (n(n+1)2)2(\frac{n(n+1)}2)^2(2n(n+1))2 呢？
把矩阵看成网格图，那么有 n+1n+1n+1 条竖线和 n+1n+1n+1 条横线。而一个子矩阵相当于是两条竖线和两条横线形成的，所以子矩阵数是 Cn+12×Cn+12=(n(n+1)2)2C_{n+1}^2\times C_{n+1}^2=(\frac{n(n+1)}2)^2Cn+12×Cn+12=(2n(n+1))2。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1005
#define P 1000000007
using namespace std;
int n,tot,A[N][N],a[N][N],h[N],stk[N],num[N];
int add(int x,int y)  {return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
int dec(int x,int y)  {return x-y< 0?x-y+P:x-y;}
int mul(int x,int y)  {return 1ll*x*y%P;}
int calc(){int ans=0;memset(h,0,sizeof(h));for(int i=1;i<=n;++i){int top=0;for(int j=1;j<=n;++j){if(!a[i][j])  h[j]=i;while(top&&h[stk[top]]<h[j])  top--;num[top+1]=add(num[top],mul(i-h[j],j-stk[top]));stk[++top]=j,ans=add(ans,num[top]);}}return ans;
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)scanf("%d",&A[i][j]);int Xor=0,Or=0;tot=n*(n+1)/2,tot=mul(tot,tot);for(int k=30;~k;--k){for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)a[i][j]=(A[i][j]>>k)&1;Xor=add(Xor,mul(calc(),1<<k));for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)a[i][j]=(!a[i][j]);Or=add(Or,mul(dec(tot,calc()),1<<k));}printf("%d %d\n",Xor,Or);return 0;
}

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