泊松分布：

$P(x=k)= \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }$

泊松分布是二项式分布的一个特殊表现形式，想了解泊松分布我们先看二项式分布：

$P(x = k) = c_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$

其中n为进行试验的总次数，p为事件单次发生的概率，k为事件发生的次数，令期望 $np = \lambda$ ，此时的 $p = \frac{\lambda }{n}$ ，当 $n \to$ ∞时， $p \to 0$ 时，带入二项式分布函数，得到

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda ^{k}}{n^{k}}(1-\frac{\lambda }{n})^{n-k}$

因为 $n \to$ ∞所以

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n^{k}}\rightarrow 1$

指数函数的性质可知： $(1-\frac{\lambda }{n})^{^{n-k}} = (1-\frac{\lambda }{n})^{n}(1-\frac{\lambda }{n})^{-k}$

因为 $n \to$ ∞，所以 $(1-\frac{\lambda }{n})^{-k}\rightarrow 1$ ，由等价无穷小的替代可知：

$(1-\frac{\lambda }{n})^{^{n}} = [(1+\frac{1}{-n/\lambda })^{-\frac{n}{\lambda }}]^{-\lambda } = e^{-\lambda }$

此时就得到了泊松分布的公式

$P(x=k)= \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }$

Aloha通信：

Aloha：通过无线电广播来作为通信设施的通信协议。

传统的Aloha通信：随时随地，想发就发，有用户想发数据就发，这样就会造成多个用户之间发生数据冲突，可能会导致部分数据损坏。

时隙式Aloha通信： 使用了时钟来统一用户发送数据，先将连续的时间段，分割为多个时间片，每个时间片的长度一致，每次用户发送信息必须要等到下一个时间片才可以发送数据，相对于传统的Aloha通信，避免了数据发送的随意性，减少了数据冲突的可能性，提高了信道的利用率。

Aloha模型：

在时隙式Aloha通信中，共有三种状态分别为：发送成功、空闲、数据产生碰撞，三种状态相互之间独立，服从泊松分布：

$P(k) =\frac{G^{k}e^{-G}}{k!}$

k = 1时，代表成功， $P(1) =Ge^{-G}$ k = 0时，代表空闲 $P(0) =e^{-G}$ 。

计算碰撞率、成功率、空闲率

成功率：

假设在T时间内出现 i 次成功(U)，出现 j 次非成功(BI)，对应的概率为：

$P(i,j) = (Ge^{-G})^{i}(1-Ge^{-G})^{j}$

则

$E(i) = \sum_{i=1}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty }iP(i,j)$

代入数据，上式化简可得 $\frac{1}{1-Ge^{-G}}$ ，假设时间片（步长）为1，则

$E(u) = E(i)*1 = \frac{1}{1-Ge^{-G}}$

同理可知：

$E(j) = \sum_{i=1}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty }jP(i,j)$

$E(BI) = E(j)*1 = \frac{1}{Ge^{-G}}$

所以成功率Su为：

$Su = \frac{E(u)}{E(u)+E(BI)} = Ge^{-G}$

碰撞率：

假设在T时间内出现 i 次碰撞(B)，出现 j 次非碰撞(UI)，对应的概率为：

$P(i,j) = (1-Ge^{-G}-e^{-G})^{i}(e^{-G}+Ge^{-G})^{j}$

$E(i) = \sum_{i=1}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty }iP(i,j)$

代入数据化简可知

$E(i) = \frac{1}{e^{-G}+Ge^{-G}}$ ， $E(B) = E(i)*1 = \frac{1}{e^{-G}+Ge^{-G}}$

$E(j) = \sum_{i=1}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty }jP(i,j)$

代入数据化简可知

$E(j) = \frac{1}{1-e^{-G}-Ge^{-G}}$ ， $E(UI) = E(j) * 1 = \frac{1}{1-e^{-G}-Ge^{-G}}$

碰撞率为：

$S_{B} =\frac{E(B)}{E(B)+E(UI)} = 1-e^{-G}-Ge^{-G}$

空闲率：

假设在T时间内出现 i 次空闲(I)，出现 j 次非空闲(UI)，对应的概率为：

$P(i,j) = (e^{-G})^{i}(1-e^{-G})^{j}$

同理可得，在此不多做赘述了。

使用matlab计算之后更新。

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