Codeforces 1741G 最短路上状压dp

题意：

有 n n n个地方，他们被 m m m条道路相连。有一天， t o t tot tot个人在 1 1 1处开派对，开完派对他们要回家，他们回家只会走最短路径，其中有 k ( k ≤ 6 ) k(k\leq6) k(k≤6)个人没车，而有车的人可以捎带这些没车的人，但前提是他们的家在开车的人的回家的路径上。问最少有多少个人只能走路回家？

Soluton：

显然我们只需要处理出每个开车的人可能捎带的组合，然后状压 d p dp dp即可，设 d p [ i ] [ s ] dp[i][s] dp[i][s]为前 i i i个人，他们能捎带的总集合为 s s s是否有可能，我们处理完每个开车的人的捎带组合 s i s_{i} si，那么在前 i − 1 i-1 i−1个人的捎带集合 s s s是有可能的情况下

d p [ i ] [ s ∣ s i ] = t r u e dp[i][s|s_{i}]=true dp[i][s∣si]=true

那么问题就在如何捎带出来，一种方法是先处理出最短路径长度，然后 d f s dfs dfs找出每条路径可稍带的组合，然后 d p dp dp，这样的时间复杂度太大，本来过得了，加了 h a c k hack hack数据就过不了了，这是dfs版本代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;using ll=long long;
const int N=10005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;struct way
{int to,next;
}edge[N<<1];
int cnt,head[N];void add(int u,int v)
{edge[++cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}int n,m,tot,k,walk[N],loc[N],dis[N],ccnt,disall;
bool car[N],dp[N][1<<6],vis[N];
vector<vector<int>>from(N);void dijkstra()
{priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>>q;dis[1]=0;q.push({dis[1],1});while(!q.empty()){int u=q.top().second; q.pop();if(vis[u]) continue;vis[u]=true;for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;if(dis[u]+1<dis[v]) {from[v].clear();from[v].push_back(u);dis[v]=dis[u]+1;q.push({dis[v],v});}else if(dis[u]+1==dis[v]) from[v].push_back(u);}}
}int find(int u)
{int ret=0;for(int i=1;i<=k;i++)if(loc[walk[i]]==u) ret|=1<<(i-1);return ret;
}int calc(int s)
{int ret=0;for(int i=0;i<k;i++) ret+=(s>>i)&1^1;return ret;
}void dfs(int u,int s,int ddis)
{int ns=s|find(u);if(u==1){for(int i=0;i<(1<<k);i++) if(dp[ccnt-1][i]) dp[ccnt][i|s]=true;return;}if(ddis>=disall) return;for(auto v:from[u]) dfs(v,ns,ddis+1);
}void init()
{cin>>n>>m; cnt=ccnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){head[i]=0;vis[i]=false;dis[i]=inf;from[i].clear();}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v); add(v,u);}scanf("%d",&tot);for(int i=1;i<=tot;i++){scanf("%d",&loc[i]);car[i]=true;}scanf("%d",&k);for(int i=1;i<=k;i++){scanf("%d",&walk[i]);car[walk[i]]=false;}for(int i=0;i<=tot;i++)for(int j=0;j<(1<<k);j++) dp[i][j]=false;dijkstra();
}void work()
{init();for(int i=1;i<=tot;i++){if(!car[i]) continue;dp[ccnt++][0]=true;disall=dis[loc[i]];dfs(loc[i],find(loc[i]),0);}int ans=k;for(int s=0;s<(1<<k);s++)if(dp[ccnt][s]) ans=min(ans,calc(s));printf("%d\n",ans);
}int main()
{int T; cin>>T;while(T--) work();    return 0;
}

考虑优化他，可以在最短路的过程上再状压 d p dp dp，设 t a k e [ u ] [ s ] take[u][s] take[u][s]为从1到 u u u的最短路上捎带集合为 s s s是否有可能，显然一开始 t a k e [ u ] [ 0 ] = t r u e take[u][0]=true take[u][0]=true，那么在dijkstra中，用 u u u更新 v v v的时候，就可以把 u u u的take更新到 v v v去，此时需要先情况 t a k e [ v ] take[v] take[v]，或者在 d i s [ u ] + 1 = = d i s [ v ] dis[u]+1==dis[v] dis[u]+1==dis[v]的时候更新 v v v，此时不用清空 t a k e [ v ] take[v] take[v]

需要注意的是，状压的是第几个没车的人的被捎带情况如何，而不是第几个人，这题的映射有点多

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;using ll=long long;
const int N=10005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;struct way
{int to,next;
}edge[N<<1];
int cnt,head[N];void add(int u,int v)
{edge[++cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}int n,m,tot,k,loc[N],dis[N],live[N],ccnt;
bool take[N][1<<6],vis[N],car[N],dp[N][1<<6];void clear(int u)
{for(int i=1;i<(1<<k);i++) take[u][i]=false;
}void upd(int u,int v)
{for(int i=0;i<(1<<k);i++)if(take[u][i]) take[v][i|live[v]]=true;
}void dijkstra()
{priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>>q;q.push({dis[1]=0,1});while(!q.empty()){int u=q.top().second; q.pop();if(vis[u]) continue;vis[u]=true;for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;if(dis[u]+1<dis[v]){clear(v); upd(u,v);q.push({dis[v]=dis[u]+1,v});}else if(dis[u]+1==dis[v]) upd(u,v);}}
}int calc(int s)
{int ret=0;for(int i=0;i<k;i++) ret+=(s>>i)&1^1;return ret;
}void init()
{scanf("%d%d",&n,&m);cnt=ccnt=0;for(int i=1;i<=n;i++) head[i]=live[i]=0;while(m--){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v); add(v,u);}scanf("%d",&tot);for(int i=1;i<=tot;i++){scanf("%d",&loc[i]);car[i]=true;}scanf("%d",&k);for(int i=1;i<=k;i++){int x; scanf("%d",&x);car[x]=false;live[loc[x]]|=1<<(i-1);}for(int i=1;i<=tot;i++)for(int j=0;j<(1<<k);j++) dp[i][j]=false; for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<(1<<k);j++) take[i][j]=false;take[i][0]=true; dis[i]=inf; vis[i]=false;}dijkstra();
}void work()
{init();for(int i=1;i<=tot;i++){if(!car[i]) continue;dp[ccnt++][0]=true;for(int j=0;j<(1<<::k);j++)for(int k=0;k<(1<<::k);k++)if(dp[ccnt-1][j]&&take[loc[i]][k]) dp[ccnt][j|k]=true;}int ans=k;for(int i=0;i<(1<<k);i++)if(dp[ccnt][i]) ans=min(ans,calc(i));printf("%d\n",ans);
}int main()
{int T; cin>>T;while(T--) work();    return 0;
}

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