扩展欧几里得算法之双六问题

双六

一个双六上面向前向后无限延续的格子，每个格子都写有整数，其中0号格子是起点。1号格子是终点。而骰子上只有a，b，-a，-b四个整数，所以根据a和Bb的值得不同，有可能无法到达终点。
掷出4个整数各多少次可以到达终点呢？如果解不唯一输出任意一组几个，如果无解输出-1。
样例
输入
4 11
输出
3 1
这个问题用数学语言表述就是“求整数x和y使得ax+by=1”。可以发现,如果gcd(a,b≠1,显然无
解。反之,如果gcd(a,b)=1,就可以通过扩展原来的辗转相除法来求解。事实上,一定存在整数对(x,y)使得ax+by=gcd(a,b),并可以用同样的算法求得。设 int extgcd(inta,intb,int&x,int&y)是求解该方程的函数,其返回值是gcd(a,b与gcd一样,我们可以递归地定义 extged。
假设已经求得了
**(a%b)y’=gcd(a, b)
的整数解x和y。再将
a%b=a-(alb)xb
代入后就得到
ay’+b(x’-()xy)=gcd(a, b
而当b=0时则有
a×1+b0=a=gcd(a,b)
将上述数学语言转化成代码后,就得到了如下程序。
**

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)//递归辗转相除法求两个数的最大公因数
{if (b == 0)return a;elsereturn gcd(b, a % b);
}
void ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y)//&是引用，不是地址
{if (b == 0){x = 1;y = 0;return;}else{ex_gcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t - (a / b) * y;}
}
int main()
{int a, b, x, y;cin >> a >> b;ex_gcd(a, b, x, y);if (gcd(a, b) != 1)cout << -1 << endl;else{cout << x << " " << y << endl;}return 0;
}

ax+by=gcd(a，b)的解的大小

只要看一下递归的方法就能知道, extged的复杂度和gcd的复杂度是相同的。但该函数所求的
ax+by=gcd(a,b)的解的大小又如何呢?
事实上如果ab≠0,可以知道x≤b且y≤a下面用归纳法来证明这一结论。在b=0的前一步,即a%b=0时有x=0且y=1,结论显然成立。
假设调用 extgcd(b,a%b,y,x)后有x≤b且ly1≤a%b。
在 extgcd(a,b,x,y)中x=xy=y-(ab)x,所以有如下不等式成立。=≤b,y=y(ab)x≤y+(ab)xx1≤a%b+(a/b)×b=a

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