CodeForces - 1484F Useful Edges(最短路)

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题目大意：给出由 nnn 个点构成的无向图，再给出 qqq 个三元对 (u,v,l)(u,v,l)(u,v,l)，现在问有多少条边 (i,j)(i,j)(i,j) 可以和至少一个三元对匹配，可以匹配的条件是：

从点 uuu 到点 vvv 且包含边 (i,j)(i,j)(i,j) 的最短路的长度需要小于等于 lll

题目分析：题目本身不难，就是有点绕，先考虑一下暴力思路

可以先 O(m)O(m)O(m) 去枚举每条边，然后再 O(q)O(q)O(q) 去枚举每个询问，设 di,jd_{i,j}di,j 是点 iii 到点 jjj 的最短路，如果满足 du,i+wi,j+dj,v<=ld_{u,i}+w_{i,j}+d_{j,v}<=ldu,i+wi,j+dj,v<=l 则当前的边可以记录贡献

不过上述暴力的时间复杂度是 O(n4)O(n^4)O(n4) 的，考虑对公式进行移项

du,i+wi,j+dj,v<=ld_{u,i}+w_{i,j}+d_{j,v}<=ldu,i+wi,j+dj,v<=l 变成 dj,v+wi,j<=l−du,id_{j,v}+w_{i,j}<=l-d_{u,i}dj,v+wi,j<=l−du,i

这样一来我们就可以将不等式右边视为一个整体，不难发现当固定了 iii 后，不等式左右两侧就可以分别计算，这样时间复杂度就降下来了

具体就是，在固定 iii 后，维护 mmaxummax_ummaxu 为相应 l−du,il-d_{u,i}l−du,i 的最大值

然后枚举 jjj 以及 uuu 就可以计算贡献了

代码：

// Problem: F. Useful Edges
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #709 (Div. 2, based on Technocup 2021 Final Round)
// URL: https://codeforces.com/contest/1484/problem/F
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 5000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=610;
LL d[N][N],w[N][N],mmax[N];
vector<pair<int,int>>node[N];
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m;read(n),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=n;j++) {d[i][j]=i==j?0:1e18;w[i][j]=0;}}while(m--) {int u,v,val;read(u),read(v),read(val);w[u][v]=w[v][u]=val;d[u][v]=d[v][u]=val;}int q;read(q);while(q--) {int u,v,w;read(u),read(v),read(w);node[u].push_back({v,w});node[v].push_back({u,w});}for(int k=1;k<=n;k++) {for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=n;j++) {d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);}}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) {memset(mmax,0,sizeof(LL)*(n+5));for(int u=1;u<=n;u++) {for(auto it:node[u]) {int v,l;tie(v,l)=it;mmax[u]=max(mmax[u],l-d[v][i]);}}for(int j=i+1;j<=n;j++) {if(w[i][j]==0) {continue;}for(int k=1;k<=n;k++) {if(w[i][j]+d[j][k]<=mmax[k]) {ans++;break;}}}}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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