Leetcode1712. 将数组分成三个子数组的方案数[C++题解]：双指针和前缀和

文章目录

本题分析
题目链接

本题分析

题目重述：给定一个非负的数组，要求将其分成3个非空的三段，要求每一段的数字之和依次递增（可以相等），求总共有几种分法。

题目解答：

双指针算法

思路：枚举第二个分界点，看第一个分界点有多少种选择。

数组下标从1开始，即从1到n: a[1] ,a[2],…a[n]，第二个分界点下标是i，第一个分界点下标是x，这里下标属于后一段。这样把数组分成三段(用下标来表示)：[1~x-1], [x ~i-1],[ i ~ n]. 三段之和分别记为A，B，C。

对于分界点i，我们看第一个分界点x的取值范围，假设其可取的最小下标为j，可取的最大下标为k，那么对于第二个分界点i，满足题意的方案数就有：k-j+1 种。

比如样例，

输入：nums = [1,2,2,2,5,0]
输出：3
解释：nums 总共有 3 种好的分割方案：
[1] [2] [2,2,5,0]
[1] [2,2] [2,5,0]
[1,2] [2,2] [5,0]

下标从1开始	1	2	3	4	5	6
数组内容	1	2	2	2	5	0

假设第二个分界点下标i=4，则C=7，第一个分界点x可取多少呢？ (j,k)=(3,3)，故此时的方案数： 3-3+1=1种。

假设第二个分界点 i=5，则C=5，那么第一个分界点x可取多少呢？ (j,k)=(3,4)，故此时的方案数： 4-3+1=2种。

总的方案数就是1+2=3种。

下面的问题就是这个 j和k 怎么求？

j的含义是：i给定之后，第一个分界点最靠前可以取到什么位置。

i需要满足什么呢？

j越往左走，那么中间B就会越大，为了满足B≤C，那么必然j有下界。

在第二个分界点往后走的时候，C在变小，为了满足B≤C，j也应该往后走。也就是说，j会随着i向右移而单调向右移。

k的含义是：i给定之后，第二个分界点最靠后可以取到什么位置。

k需要满足什么呢？

k需要满足a[k]~a[i-1]的和≥ a[1] ~a[k-1]的和，即B≥A。

k往右走，在i固定时，B会变小，A会变大，为了满足B≥A，必然存在一个最大的k，越过了这个边界，就不再满足B≥A。

根据上面 j的推理，可以利用反证法证明， k会随着i向右移而单调向右移。

总之：最小取值j由右边(C≥B)限制， 最大取值 k由左边（A≤B）限制。

当然还有小技巧：可以使用前缀和来求出一段的和：通过O(1)的时间求出一段的和。

注意：下面对代码进行解释

对于边界(j,k)的判断思路不太一样

 while(s[n]-s[i-1] < s[i-1]-s[j-1]) j++;
while(  k+1<i  && s[k] <= s[i-1]-s[k])  k++;

下面进行解释：

对于左边界j：左边界被右边限制，只要B大于C，j就一直j++，直到第一个满足B小于等于C。这就是满足题意的第一个分界点的最小取值，即左边界。

对于右边界k：右边界k被左边限制，我们要试探性地往右走：对于下标是k+1的第一个分界点，是否满足 A小于等于B，如果满足，就继续k++。当然，第一个下标永远小于第二个下标i，尝试k+1时也要满足k+1<i.

ac代码

class Solution {public:int waysToSplit(vector<int>& nums) {int n  = nums.size(),mod = 1e9 +7;vector<int> s(n+1); //前缀和数组for(int i=1;i<=n;i++)  s[i] =s[i-1]+nums[i-1]; //下标往后移动了一个，从1开始int res=0;//枚举第二个分界点i,记住下标从1开始for( int i=3, j=2, k=2; i<= n; i++){//判断(j,k)的位置//对于左边界j：如果B＞C，j一直往右移动，直到B≤Cwhile(s[n]-s[i-1] < s[i-1]-s[j-1]) j++;//对于右边界k： 如果A一直小于等于B,k就一直往右移//本身是A小于等于B 即[1,k-1] ≤ [k,i-1]//试探一下，看k取k+1是否成立，如果成立就k++。//现在要试探k+1   即 [1,k] ≤ [k+1, i-1]while(  k+1<i  && s[k] <= s[i-1]-s[k])  k++;if(j<=k && s[k-1] <= s[i-1]-s[k-1] &&  s[n]-s[i-1] >= s[i-1]-s[j-1] )res=( res+ k-j+1) %mod;}return res;}
};

题目链接

Leetcode1712. 将数组分成三个子数组的方案数