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更多导数例子

在这个视频中我将给出一个更加复杂的例子，在这个例子中，函数在不同点处的斜率是不一样的，先来举个例子:

我在这里画一个函数，f(a)=a2f(a)=a^2f(a)=a2 ，如果 a=2a=2a=2 的话，那么 f(a)=4f(a)=4f(a)=4 。让我们稍稍往右推进一点点，现在 a=2.001a=2.001a=2.001 ，则 f(a)≈4.004f(a)\approx 4.004f(a)≈4.004 (如果你用计算器算的话，这个准确的值应该为4.004。0.001 我只是为了简便起见，省略了后面的部分)，如果你在这儿画，一个小三角形，你就会发现，如果把 aaa 往右移动0.001，那么 f(a)f(a)f(a) 将增大四倍，即增大0.004。在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率，称为 f(a)f(a)f(a) 在点 a=2a=2a=2 处的导数(即为4)，或者写成微积分的形式，当 a=2a=2a=2 的时候， ddaf(a)=4\frac{d}{da}f(a)=4dadf(a)=4 由此可知，函数 f(a)=a2f(a)=a^2f(a)=a2 ，在 aaa 取不同值的时候，它的斜率是不同的，这和上个视频中的例子是不同的。

这里有种直观的方法可以解释，为什么一个点的斜率，在不同位置会不同如果你在曲线上，的不同位置画一些小小的三角形你就会发现，三角形高和宽的比值，在曲线上不同的地方，它们是不同的。所以当 a=2a=2a=2 时，斜率为4；而当 a=5a=5a=5 时，斜率为10 。如果你翻看微积分的课本，课本会告诉你，函数 f(a)=a2f(a)=a^2f(a)=a2 的斜率（即导数）为 2a2a2a 。这意味着任意给定一点 aaa ，如果你稍微将 aaa ，增大0.001，那么你会看到 f(a)f(a)f(a) 将增大 2a2a2a ，即增大的值为点在 aaa 处斜率或导数，乘以你向右移动的距离。

现在有个小细节需要注意，导数增大的值，不是刚好等于导数公式算出来的值，而只是根据导数算出来的一个估计值。

为了总结这堂课所学的知识，我们再来看看几个例子：

假设 f(a)=a3f(a)=a^3f(a)=a3 如果你翻看导数公式表，你会发现这个函数的导数，等于 3a23a^23a2 。所以这是什么意思呢，同样地举一个例子：我们再次令 a=2a=2a=2 ，所以 a3=8a^3=8a3=8 ，如果我们又将 aaa 增大一点点，你会发现 f(a)≈8.012f(a)\approx8.012f(a)≈8.012 ，你可以自己检查一遍，如果我们取8.012，你会发现 2.00132.001^32.0013 ，和8.012很接近，事实上当 a=2a=2a=2 时，导数值为 3∗223*2^23∗22 ，即 3∗4=123*4=123∗4=12 。所以导数公式，表明如果你将 aaa 向右移动0.001时，f(a)f(a)f(a) 将会向右移动12倍，即0.012。

来看最后一个例子，假设 f(a)=log⁡e(a)f(a)=\log_e(a)f(a)=loge(a) ，有些可能会写作 ln⁡(a)\ln(a)ln(a) ，函数 log⁡a\log aloga 的斜率应该为 1a\frac1aa1 ，所以我们可以解释如下：如果 aaa 取任何值，比如又取 a=2a=2a=2 ，然后又把 aaa 向右边移动0.001 那么 f(a)f(a)f(a) 将增大 1a∗0.001\frac1a*0.001a1∗0.001，如果你借助计算器的话，你会发现当 a=2a=2a=2 时 f(a)≈0.69315f(a)\approx0.69315f(a)≈0.69315 ；而 a=2.001a=2.001a=2.001 时，f(a)≈0.69365f(a)\approx0.69365f(a)≈0.69365 。所以 f(a)f(a)f(a) 增大了0.0005，如果你查看导数公式，当 a=2a=2a=2 的时候，导数值 ddaf(a)=12\frac{d}{da}f(a)=\frac12dadf(a)=21 。这表明如果你把 aaa 增大0.001，将只会 f(a)f(a)f(a) 增大0.001的二分之一，即0.0005。如果你画个小三角形你就会发现，如果 xxx 轴增加了0.001，那么 yyy 轴上的 log⁡a\log aloga 函数，将增大0.001的一半即0.0005。所以 1a\frac1aa1 ，当 a=2a=2a=2 时这里是，就是当 a=2a=2a=2 时这条线的斜率。这些就是有关导数的一些知识。

在这个视频中，你只需要记住两点：

第一点，导数就是斜率，而函数的斜率，在不同的点是不同的。在第一个例子中 f(a)=3af(a)=3af(a)=3a ，这是一条直线，在任何点它的斜率都是相同的，均为3。但是对于函数 f(a)=a2f(a)=a^2f(a)=a2 ，或者 f(a)=log⁡af(a)=\log af(a)=loga ，它们的斜率是变化的，所以它们的导数或者斜率，在曲线上不同的点处是不同的。

第二点，如果你想知道一个函数的导数，你可参考你的微积分课本或者维基百科，然后你应该就能找到这些函数的导数公式。

最后我希望，你能通过我生动的讲解，掌握这些有关导数和斜率的知识，下一课我们将讲解计算图，以及如何用它来求更加复杂的函数的导数。

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