基础知识

定义：对于包含外生变量UUU和内生变量XXX和YYY的SCM，形如YX=x(U=u)=yY_{X=x}(U=u)=yYX=x(U=u)=y表示“在U=uU=uU=u的情况下，如果X=xX=xX=x，则Y=yY=yY=y”。其中，YX=x(U=u)=yY_{X=x}(U=u)=yYX=x(U=u)=y可以简写为Yx(u)=yY_x(u)=yYx(u)=y。

反事实分析的一般步骤：

外展。基于数据对外生变量UUU进行估算。
干预。利用dododo算子改变模型（删除指向XXX的箭头），得到新模型MxM_xMx，反映我们提出的反事实假设。
预测。基于UUU和MxM_xMx来计算结果。

以上三个步骤可以总结为：

因果推断第一定律：Yx(u)=YMx(u)Y_x(u)=Y_{M_x}(u)Yx(u)=YMx(u)

反事实和干预的区别：

表现形式：do（x）do（x）do（x） vs YxY_xYx
对XXX进行干预，不会对XXX的子孙节点造成影响，而反事实会。

如何理解第2条？可以考虑如下因果图，P(Y∣do(x))P(Y|do(x))P(Y∣do(x))和P(Yx)P(Y_x)P(Yx)的含义显然不同。

计算P(Y∣do(x))P(Y|do(x))P(Y∣do(x))时，YYY的结果实际上和XXX的取值毫无关系，因为路径被ZZZ阻断了！
计算P(Yx)P(Y_x)P(Yx)时，会根据X=xX=xX=x对对应的ZZZ进行改动，进而得到YxY_xYx。

案例实战

下面基于一个案例，加深对反事实分析的理解。
在下表中，学历共分为0,1,20,1,20,1,2三种，分别代表高中，本科，研究生。S0(u)S_0(u)S0(u)表示雇员uuu在学历是高中时，现有的工资水平，S1(u)S_1(u)S1(u)和S2(u)S_2(u)S2(u)则是在本科和研究生学历下的工资水平。由于在工作时，每个人的学历已经固定，只会是高中、本科和研究生中的一种。故，对于每一个雇员，有两个工资的值为???，表示无法获得。

雇员 (u)	工龄 EX(u)	学历 ED(u)	工资 S0(u)	工资 S1(u)	工资 S2(u)
Alice	6	0	81000	?	?
Bob	9	1	?	92500	?
Lucy	9	2	?	?	97000
Daivd	8	1	?	91000	?
Est	12	1	?	100000	?
Flxs	13	0	97000	?	?
…	…	…	…	…	…

现在，我们想要研究一个反事实问题——如果Alice的学历是本科，那么她的工资应为多少？即：通过上表中的数据，估算S1(Alice)S_1(Alice)S1(Alice)。

在不使用反事实分析的情况下，我们或许可以采用线性回归，通过统计得到你和数据的最佳直线：

S=2500×EX+5000×ED+65000S=2500 \times EX + 5000 \times ED + 65000S=2500×EX+5000×ED+65000

并依此得出S1(Alice)=2500×6+5000×1+65000=85000S_1(Alice)=2500 \times 6 + 5000 \times 1 + 65000 = 85000S1(Alice)=2500×6+5000×1+65000=85000

但是，上述方法有一个明显的弊端，即：对于任何雇员，如果他们的工龄和学历一致，则预测出的工资也是一致的！通过观察Bob和Lucy的工资，我们可以发现，这显然是不对的！

从表中可以看出，Bob和Lucy具有相同的工龄，但Bob的学历更低。那么，假如Lucy的学历和Bob一致，二人的工资应该一致吗？答案显然是否定的。因为，如果Lucy降低了学历，那么理论上她的工龄会比Bob更长，这会导致S1(Lucy)>S1(Bob)S_1(Lucy)>S_1(Bob)S1(Lucy)>S1(Bob)。

如何在模型中体现这一点呢？

从因果的角度出发，我们首先可以构建如下的因果图：

我们还是通过线性回归拟合最佳直线，但是和上文中稍有不同：

S=2500×EX+5000×ED+65000+USS=2500 \times EX + 5000 \times ED + 65000 + U_SS=2500×EX+5000×ED+65000+US

同时，我们还需要一个（可能是）下式的方程：

EX=10−4×ED+UEXEX=10-4 \times ED + U_{EX}EX=10−4×ED+UEX

有了这两个方程后，我们就可以根据反事实分析的三个步骤，计算S1(Alice)S_1(Alice)S1(Alice)：

根据数据估算出US=1000,UEX=−1U_S=1000, U_{EX} = -1US=1000,UEX=−1;
使用dododo算子修改Alice的学历；
根据US=1000,UEX=−1U_S=1000, U_{EX} = -1US=1000,UEX=−1计算出ED=2ED=2ED=2，再结合ED=1ED=1ED=1计算出S1(Alice)=76000S_1(Alice)=76000S1(Alice)=76000。

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