最近在区块链技术与安全这门课上学了三节课的密码学，简直无语了…
自然语言处理课上，学了三节多的课的神经网络机器学习…
国科大的学科融合太真实了…
课程笔记就不写博客了，感觉就算写也会搞成PPT截图或者老师讲话记录那种，没意义

RSA

背景

RSA加密算法是一种非对称加密算法，是1977年由麻省理工学院的（Ron Rivest）、（Adi Shamir）和（Leonard Adleman）一起提出的。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
RSA算法是目前使用最为广泛的非对称加密算法，这得益于它的算法原理易于理解、实现相对简单（相对于椭圆曲线公钥密码算法）。不过我们国家的非对称加密算法国家标准并不是RSA，而是基于椭圆曲线密码学的SM2。
RSA算法应用非常广泛，主要可以分为如下两类：一是小数据段的加密，尤其是秘钥的传输；而是数字签名，可以说目前绝大多数的数字签名算法都是使用的RSA算法。
RSA算法的出现并不是为了替代对称加密算法，通常RSA非对称加密算法要比AES、DES等对称加密算法慢的多。这是因为RSA算法的计算过程涉及到了很多大数运算，非常的耗时。RSA算法通常和AES等对称加密算法一起使用，RSA算法加密算法在这里起到了加密对称秘钥的作用，大批量数据的加密实际上使用AES等对称加密算法加密的。
RSA算法的原理是由一系列的数学原理和数论知识支撑的，其中主要是模运算、费马小定理、欧拉定理和欧拉函数。
RSA算法的安全性依赖于大数的相乘在计算上是简单的，但是大数的因数分解是复杂的。具体的来讲就是计算两个大质数p和q的乘积是简单的，但是想从p和q的乘积分解出p和q是非常难的。

原理

互质

互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形。
互质,若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

欧拉数

数学中，欧拉数是一组重要的常数，即函数sech t在t=0点的泰勒展开式的系数En。

前几个欧拉数为：E0=1，E1=1，E2=5，E3=61，E4=1385，E5=50521，E6=2702765，……

欧拉数与欧拉多项式En(x)有关，有时也称2^n*En(1/2)为欧拉数。

欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。
假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
至此，最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

/*
欧几里得算法：辗转求余
原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
当b为0时，两数的最大公约数即为a
getchar()会接受前一个scanf的回车符
*/
#include<stdio.h>unsigned int MaxCommonFactor（int a,int b）
{if(b<=0)return a;return MaxCommonFactor(b,a%b);
}unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{unsigned int Rem;while(N > 0){Rem = M % N;M = N;N = Rem;}return M;
}int main(void)
{int a,b;scanf("%d %d",&a,&b);printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a,b);printf("%d\n",Gcd(a,b));printf("recursion:%d\n",MaxCommonFactor(a,b));return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{if (a < b) swap(a, b);return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int x, y;
int main(){cin >> x >> y;cout << gcd(x, y);return 0;
}

int gcd(int m,int n)
{   if(n == 0){return m; }int r = m%n;return gcd(n,r);
}

function gcd(a, b) {if (a % b == 0) return b;return gcd(b, a % b);
}

def gcd(a, b):while a != 0:a, b = b % a, areturn b

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法可用于RSA加密等领域。
扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。
通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
扩展欧几里得算法可以用来计算模反元素(也叫模逆元)，而模反元素在RSA加密算法中有举足轻重的地位。

int gcdEx(int a,int b,int*x,int*y)
{if(b==0){*x=1,*y=0 ;return a ;}else {int r=gcdEx(b,a%b,x,y);/* r = GCD(a, b) = GCD(b, a%b) */int t=*x ;*x=*y ;*y=t-a/b**y ;return r ;}
}

def ext_euclid(a, b):     if b == 0:         return 1, 0, a     else:         x, y, q = ext_euclid(b, a % b) # q = gcd(a, b) = gcd(b, a%b)         x, y = y, (x - (a // b) * y)         return x, y, q

例子

1、P = 11，q = 13 （随机选两个素数）
2、N = 11*13 = 143 （公共模数）
3、

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原理

互质

欧拉数

欧几里得算法

扩展欧几里得算法

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