正弦函数_傅里叶为什么会想到把函数展开为正弦波

给定二维直角坐标系：

假设A的坐标为(2，2)，根据向量表示，则OA=2i+2j, i，j代表x,y轴

同样给定三维直角坐标系：

同样，假设B1的坐标为(3，3，3)，根据向量表示，则OB1=3i+3j+3k, i,j,k代表x,y,z轴。

也就是说，空间直角坐标系把空间中的任意一点分解到了不同的坐标轴上面。我们知道，x,y,z轴是相互两两垂直，在我们所处的这个空间里面，再也找不出其他一根什么轴，能够再和x,y,z轴相互两两垂直，一般来说，对于空间中任意一点的分解也就到处为止了。但数学家不这么想，他们觉得，虽然现实中没有四维空间，但他们可以想象一个出来，不但是四维空间，而且是n维空间，

n维空间

当然，这n维空间里的每一根轴都必须相互垂直。但现实中确实没有，怎么办呢？于是，他们把简单的x,y,z轴拓展到了函数，同时把空间中的任意一点也拓展为函数。并且给出了两个函数相互垂直(即正交)的定义：

而正弦波余弦波刚好满足这样的条件：

也就是说，

这些函数(包括1，代表分解后的直流分量)中的任意两项都两两正交。于是，按照OB1=3i+3j+3k,的形式，就有

f(x)=A0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+.........+ancosnx+bnsinnx，也就是傅里叶级数。

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