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碎纸片的拼接复原问题
摘要
为解决碎纸片的拼接复原问题，我们通过定义差异度指数、高度差，建立0-1规划模型，使用聚类分析、MATLAB搜索算法和人工干预等相结合，得到了所有附件复原序号和复原图片。
针对问题一，首先提取附件1、2中所有碎片左侧和右侧边缘灰度，通过任意列碎片右侧和任意列碎片左侧的边缘灰度差值可以定义差异度指数，从而得到差异度特征矩阵，然后建立0-1规划模型，以第i张碎片右侧与第j张碎片左侧差异度最小为目标函数，以第i张碎片右侧与第j张碎片左侧是否相连为决策变量，以每张碎片右侧一定与某张碎片左侧相连、每张碎片左侧一定与某张碎片右侧相连为约束条件。算法为先提取任意张碎片边缘灰度值，得到差异度矩阵，带入规划模型中，通过LINGO软件找到中英文碎片的拼接方法，得到复原序号如表一、表二，从而得到出中文与英文复原图片。
表一:中文碎片的复原序号
008
014
012
015
003
010
002
016
001
004
005
009
013
018
011
007
017
000
006
表二：英文碎片的复原序号
003
006
002
007
015
018
011
000
005
001
009
013
010
008
012
014
017
016
004
检验中英文碎片拼接复原顺序准确性，利用MATLAB搜索算法，可以得到中英文碎片拼接方法。结果表明两种方法得出的中英文复原顺序相同，复原图片相同，同时人工检验中英文复原图片中无明显语法、单词错误，证明复原图片准确。
针对问题二，由于每张碎片有左侧、右侧和上侧、下侧，与问题一相同，可以定义两个差异度指数，建立双目标0-1规划模型。但由于差异度矩阵过大，决策变量复杂，我们又建立了改进的简化模型，定义高度差，运用聚类分析方法，按照高度不同将所有碎片分为18类，然后再以第j块碎片左侧与第i块碎片右侧的差异度最小为目标函数，以第i块碎片右侧与第j块碎片左侧是否相连为决策变量，以每块碎片右侧一定与某块碎片左侧相连、每块碎片左侧一定与某块碎片右侧相连，满足高度差阈值为约束条件，建立单目标0-1规划模型。算法为先提取任意块碎片边缘灰度值和高度，得到差异度矩阵，编程将中文碎片按高度分为18类，人工干预分为11行，再利用问题一中碎片纵向复原方法，得到中文复原序号，画出中文复原图片。(英文复原模型相似，仅高度差阈值不同)
针对问题三，对于双面英文碎片的复原问题，我们提出了单词残缺程度的定义，定量的描述了英文碎片的特征信息，构成了算法的核心内容，运用编程和人工干预将碎纸片分为11类，每类19个碎片，在此基础上利用前两问所建的0-1规划模型，再加上双面的一些约束条件，得到双面英文复原序号，并绘出英文双面复原图片。
关键词：差异度指数；0-1规划；LINGO软件；聚类分析；高度差；残缺程度；
一、问题重述
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题：
1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达。
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。
3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。
二、模型假设
1.假设每个碎纸片上的字和字母都没有发生扭曲。
2.假设每个碎纸片的形状和大小完全相同。
3.假设每个碎纸片上灰度值的提取都是完全正确的值不等于255的都是黑点
三、符号说明
符号
符号的含义
差异度指数，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的差异度；
表示第张碎片右侧第k个特征点的灰度值；
决策变量，当=0时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的不相连；
=1时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的相连；
表示第j列碎片左侧与差异度最小的第i列碎纸片右侧相连；
表示第块碎片右侧和第块碎片左侧的差异度；
表示第块碎片下侧和第块碎片上侧的差异度；
表示第块碎片右侧第k个特征点的灰度值；
表示第块碎片下侧第k个特征点的灰度值；
=0时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的不相连；
=1时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的相连；
=0时，表示第张碎片下侧和第张碎片上侧的不相连；
=1时，表示第张碎片下侧和第张碎片上侧的相连；
高度差表示第i块碎片第一行文字中心到第i碎片上侧边缘的高度与第j块碎片第一行文字中心到第j碎片上侧边缘的高度之间的差值；
四、问题一分析与模型建立、求解
4.1问题一的分析
问题一要求对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。参考文献[1]，由于每列中文和英文碎片都有左侧和右侧，需要考虑每一列碎片的左侧和右侧与其他列的左侧和右侧差异，每列碎片边缘灰度已知，通过任意列碎片右侧和任意列碎片左侧的差异值可以定义差异度指数(同一列碎片的左侧与右侧的差异度定义为无穷大)，从而得到差异度特征矩阵。
然后可以通过0-1规划模型，以第j张碎片左侧与第i张碎片右侧的差异度最小为目标函数，以第i张碎片右侧与第j张碎片左侧是否相连为决策变量，以每张碎片右侧一定与某张碎片左侧相连、每张碎片左侧一定与某张碎片右侧相连为约束条件(复原图片最左侧一定与最右侧的差异度最小)，找到中文和英文碎片的拼接复原顺序，MATLAB编程得到复原序号，从而得到出中文与英文复原图片。
为了检验中文与英文碎片拼接复原顺序是否正确，建立了MATLAB搜索算法模型，可以得到中文与英文碎片拼接方法，MATLAB软件可以直接画出中文与英文复原图片。结果表明两种方法得出的中文与英文复原顺序相同，复原图片相同。同时人工检验出中文与英文复原图片中无明显语法、词语和单词错误，证明复原图片正确。
4.2问题一的碎纸片拼接复原模型建立
先提取碎纸片边缘差异信息，再进行图片拼接复原，具体步骤如下:
(1)提取信息：差异度指数
用差异度指数来衡量任意列右侧边缘与任意列左侧边缘差异。
定义差异度指数，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的差异度，为第i张碎片右侧与第j张碎片左侧的对应灰度值之差的绝对值的累和。公式如下：
(1)
其中：表示第张碎片右侧第k个特征点的灰度值
表示第j张碎片右侧第k个特征点的灰度值
说明： 和的值已知，将附件1和附件2中19张碎片数据带入MATLAB软件可以得到每张碎片的1980个灰度值；
从而得到差异度矩阵如下：
(2)
通过MATLAB编程计算出具体值如下：
表一：附件一中文任意碎片差异度
差异度
1列左侧
2列左侧
3列左侧
4列左侧
5列左侧
6列左侧
7列左侧
8列左侧
9列左侧
10列左侧
j列左侧
1列右侧
Inf
130945
116103
141448
100942
111955
25661
106097
85949
111118
...
2列右侧
123423
Inf
126589
125652
33616
100027
112423
119895
93527
111604
...
3列右侧
127946
114084
Inf
105035
104745
96928
122414
90256
82744
101673
...
4列右侧
106253
127629
95945
Inf
113330
106911
111305
103203
83887
112810
...
5列右侧
110732
116398
100076
115677
Inf
22300
118792
105006
57564
104087
...
6列右侧
120399
113365
105551
124588
114916
Inf
122693
87465
81403
24650
...
7列右侧
84410
106346
74468
114079
86709
49380
Inf
62810
0
80369
...
8列右侧
111607
113205
109137
136976
102362
111309
107605
Inf
84629
112936
...
9列右侧
97181
110965
116889
124112
107114
78601
111883
98983
Inf
111394
...
10列右侧
111484
118620
109288
121471
118069
104472
124464
101500
90152
Inf
...
i列右侧
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
表二：附件二英文任意碎片差异度
差异度
1列左侧
2列左侧
3列左侧
4列左侧
5列左侧
6列左侧
7列左侧
8列左侧
9列左侧
10列左侧
j列左侧
1列右侧
Inf
85310
82752
76567
79562
24368
98542
89600
89490
89715
...
2列右侧
68051
Inf
80085
51574
74947
102845
86945
71997
67927
18356
...
3列右侧
58295
62297
Inf
40226
64579
88857
77825
19823
66511
69324
...
4列右侧
66977
63869
70269
Inf
78117
92269
25277
76883
82185
72522
...
5列右侧
34897
39595
54663
0
Inf
83053
61675
46143
57641
50786
...
6列右侧
57649
19399
76727
45482
76087
Inf
79089
69945
80753
66210
...
7列右侧
66747
77277
19737
51798
63015
85575
Inf
71487
74927
80436
...
8列右侧
70250
74580
74654
57731
80914
92520
71274
Inf
75578
70757
...
9列右侧
62506
63054
70142
40225
71430
80938
82310
68430
Inf
75775
...
10列右侧
68901
70927
77477
53854
82123
97435
88703
84461
84145
Inf
...
i列右侧
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(2)中文和英文碎纸片拼接复原模型
以第j张碎片左侧与第i张碎片右侧的差异度最小为目标函数，以第i张碎片右侧与第j张碎片左侧是否相连为决策变量，以每张碎片右侧一定与某张碎片左侧相连、每张碎片左侧一定与某张碎片右侧相连为约束条件，建立0-1规划模型。
s.t (3)
其中：为决策变量，=0时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的不相连；
=1时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的相连；
4.3问题一中英文碎片拼接问题模型求解
模型求解算法如下：
(1)运用MATLAB编程提取19列中文和英文碎片左侧和右侧的灰度值，计算出差异度指数，得到差异度矩阵，结果见表一和表二。
(2)运用LINGO11.0软件，将上述0-1规划问题的目标函数与约束条件带入LINGO软件中(附录一为中文碎片拼接复原LINGO算法，附录二为英文碎片拼接复原LINGO算法)，结果如表三和表四。
(3)运用MATLAB编程(编程见附录三)得到中文和英文碎片的复原序号，结果见表五和表六，可以直接得到中文和英文复原图片，图片见附录四和五。
表三：中文碎片连接方法
决策变量为1
X(2,5)
X(1,7)
X(3,17)
X(4,11)
X(5,6)
X(6,10)
X(7,9)
X(8,18)
X(9,15)
X(10,14)
实际连接点
01-04
00-06
02-16
03-10
04-05
05-09
06-08
07-17
08-14
09-13
决策变量为1
X(11,3)
X(12,8)
X(13,16)
X(14,19)
X(15,13)
X(16,14)
X(17,2)
X(18,1)
X(19,12)
实际连接点
10-02
11-07
12-15
13-18
14-12
15-13
16-01
17-00
18-11
表四：英文碎片连接方法
决策变量为1
X(1,6)
X(2,10)
X(3,8)
X(4,7)
X(5,4)
X(6,2)
X(7,3)
X(8,16)
X(9,13)
X(10,14)
实际连接点
00-05
01-09
02-07
03-06
04-03
05-01
06-02
07-15
08-12
09-13
决策变量为1
X(11,19)
X(12,1)
X(13,15)
X(14,11)
X(15,18)
X(16,19)
X(17,5)
X(18,17)
X(19,12)
实际连接点
10-18
11-0
12-14
13-10
14-17
15-18
16-04
17-16
18-11
得到连接方法以后，可以使用MATLAB编程(见附录三)得到中文和英文碎片的复原序号如下表：
表五:中文碎片的复原序号
008
014
012
015
003
010
002
016
001
004
005
009
013
018
011
007
017
000
006
表六：英文碎片的复原序号
003
006
002
007
015
018
011
000
005
001
009
013
010
008
012
014
017
016
004
用MATLAB编程(附录四)可以直接拼接出中文和英文碎片复原图片，程序结果截图如图一：
图一：复原图片程序结果截图
中文与英文碎片复原的图片见附录四和五。
复原过程不需要人工干预，可完全通过LINGO软件和MATLAB编程实现。
4.4中文和英文碎片拼接复原方法检验
为了检验差异度指数和0-1规划模型得出的复原顺序和复原图片的准确性，利用MATLAB搜索算法模型：
(4)
已通过MATLAB编程得到第i张碎片右侧和第j张碎片左侧的差异度，见表一与表二。对表一和表二按照列搜索，依次搜索找到与第j列碎片左侧相连的差异度最小的第i列碎纸片右侧(即)，即第i列碎纸片右侧与第j列碎片左侧相连，对于每一列碎纸片需要搜索19次，共需要搜索361次，使用MATLAB搜索算法即可实现(编程见附录三 )
可以得到中文和英文碎纸片的连接方式，如下表：
表七：中文碎纸片连接方式
第i列右侧连接第j列左侧
017-000
016-001
010-002
015-003
001-004
004-005
000-006
011-007
000-006
005-009
第i列右侧连接第j列左侧
003-010
018-011
014-012
009-013
008-014
012-015
002-016
007-017
013-018
表八：英文碎纸片连接方式
第i列右侧连接第j列左侧
011-000
005-001
006-002
000-003
016-004
000-005
003-006
010-008
002-007
001-009
第i列右侧连接第j列左侧
013-010
018-011
008-012
009-013
012-014
007-015
017-016
014-017
015-018
通过对比这两种模型得到的结果发现：中文和英文碎片连接方式完全相同，两种方法得出的中文与英文复原顺序相同，复原图片相同。同时人工检验出中文与英文复原图片中无明显语法、词语和单词错误，证明中文和英文复原图片正确。
0-1规划模型清晰明了，同时运算简单，运算速度快。MATLAB搜索算法搜索次数较多，运算速度慢一些，但结果准确。所以我们使用0-1规划模型解决问题一，使用MATLAB搜索算法检验结果。
五、问题二分析与模型建立、求解
5.1问题二的分析
问题二要求对于碎纸机既纵切又横切的情形，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。由于209块中文和209块英文碎片都有左侧、右侧和上侧、下侧，与问题一相同，可以定义两个差异度指数。根据问题一得到双目标0-1规划模型，由于决策变量较复杂，这种模型不是很易求解，矩阵太大，也不易计算，因此提出了改进模型。
改进模型，定义高度差，表示第i块碎片第一行文字中心到第i碎片上侧边缘的高度与第j块碎片第一行文字中心到第j碎片上侧边缘的高度之间的差值。运用聚类分析，给定高度差阈值，按照高度不同将所有碎片分为18类。然后再以第j块碎片左侧与第i块碎片右侧的差异度最小和第i块碎片与第j块碎片高度差最小为双目标函数，以第i块碎片右侧与第j块碎片左侧是否相连为决策变量()，以每块碎片右侧一定与某块碎片左侧相连()，每块碎片左侧一定与某块碎片右侧相连()为约束条件，建立双目标0-1规划模型。找到18类中英文碎片，结合MATLAB编程和人工干预，将18类碎片处理为11行碎片，再利用问题一中碎片纵向复原的方法，得到中英文复原序号，从而MATLAB编程画出中文与英文复原图片。同时人工检验出中文与英文复原图片中无明显语法、词语和单词错误，证明复原图片正确。
5.2问题二碎纸片拼接复原模型建立
5.2.1问题二碎纸片拼接复原初步模型
先提取碎纸片边缘差异信息，再进行图片拼接复原，具体步骤如下:
(1)提取信息：差异度指数
用差异度指数来衡量任意块碎片右侧边缘与任意块碎片左侧边缘差异及任意块碎片下侧边缘与任意块碎片上侧边缘的差异。
定义差异度指数：表示第块碎片右侧和第块碎片左侧的差异度，为第i块碎片右侧与第j块碎片左侧的对应灰度值之差的绝对值的累和。表示第块碎片下侧和第块碎片上侧的差异度，为第i块碎片下侧与第j块碎片上侧的对应灰度值之差的绝对值的累和。
公式如下：
(5)
(6)
其中：表示第块碎片右侧第k个特征点的灰度值；
表示第j块碎片右侧第k个特征点的灰度值；
表示第块碎片下侧第k个特征点的灰度值；
表示第j块碎片上侧第k个特征点的灰度值；
说明： 、和、的值已知，将附件3和附件4所有碎片数据带入MATLAB软件可以得到每块碎片的左侧、右侧和上侧、下侧灰度值；
从而得到两个差异度矩阵如下：
(7)
(8)
(2)中文和英文碎纸片拼接复原模型
以第j块碎片左侧与第i块碎片右侧的差异度最小和第j块碎片上侧与第i块碎片下侧的差异度最小为双目标函数，以第i块碎片右侧与第j块碎片左侧是否相连为决策变量()和第i块碎片下侧与第j块碎片上侧是否相连为决策变量()，以每块碎片右侧一定与某块碎片左侧相连()、每块碎片下侧一定与某块碎片上侧相连()，任意两块碎片之间可能不相连、可能左右相连、可能上下相连()为约束条件，建立双目标0-1规划模型。
(9)
其中：=0时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的不相连；
=1时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的相连；
=0时，表示第张碎片下侧和第张碎片上侧的不相连；
=1时，表示第张碎片下侧和第张碎片上侧的相连；
此模型可以得到所有碎片的连接方式。
5.2.2问题二中英文碎片拼接复原改进模型
由于建立的初步模型有决策变量较复杂，而且两个差异度矩阵较大，用程序实现较困难，因此在此提出改进模型，只使用一种决策变量，具体建模过程如下：
(1)提取信息：差异度指数和高度差
定义差异度指数与初步模型定义相同，但改进模型中不在使用差异度指数，定义高度差，表示第i块碎片第一行文字中心到第i碎片上侧边缘的高度与第j块碎片第一行文字中心到第j碎片上侧边缘的高度之间的差值。公式如下：
(10)
(2)中文碎纸片拼接复原模型
以第j块碎片左侧与第i块碎片右侧的差异度最小和第i块碎片与第j块碎片高度差最小为双目标函数，以第i块碎片右侧与第j块碎片左侧是否相连为决策变量()，以每块碎片右侧一定与某块碎片左侧相连()，每块碎片左侧一定与某块碎片右侧相连()为约束条件，建立双目标0-1规划模型。
(11)
其中：为决策变量，=0时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的不相连；
=1时，表示第张碎片右侧和第张碎片左侧的相连；
为了将双目标转化为单目标问题，可以给定高度差阈值，给定高度范围给所有碎片进行分类，共18类，可以将此模型简化，目标函数与约束条件如下：
(12)
再结合人工干预可以得到所有碎片的连接方式。
(3)英文碎纸片复原模型
对附件四英文碎纸片建立复原模型与中文碎纸片模型基本相同，但由于中文是方块字，同一行中文字上下侧边缘基本对齐，英文是非方块字，上下边缘的灰度值不大，因此应该扩大改进模型的阈值，对英文碎片进行分类，可以将高度差阈值调节为，其余约束条件不变，从而得到所有碎片连接方式，得到复原序号。
5.3问题二中英文碎片拼接复原模型求解
5.3.1模型算法
(1)找到每块碎纸片第一行文字中心到碎纸片上侧边缘的高度
第一步：每块碎纸片带入MATLAB软件中可以得到一个像素点的灰度矩阵，将每个矩阵归一化：
第二步：对灰度矩阵从上到下进行行搜索，找到每块碎片第一行文字的中心位置
第三步：通过MATLAB软件编程(附录三)计算第i块碎纸片第一行文字中心到碎纸片上侧边缘的高度。
(2)确定高度差阈值，给定18个高度范围，进行聚类分析，将209块碎片按照每块碎片第一行文字中心到碎片上侧边缘的高度分为18类，结果见表九。
(3)对每一类碎片，运用MATLAB软件画图，可以画出18行文字，对每行文字出现的奇异碎片进行剔除。通过人工干预，可以得到11行文字。
(4)对这11行文字，运用问题一算法，进行纵向拼接复原，在此基础上通过人工干预将11行文字进行调试和拼接，可以得到附件三和附件四中英文的复原序号和复原图片。
5.3.2模型结果
(1)附件三中文碎片拼接复原模型结果
表九：18类不同高度范围的中文碎片
高度(像素)=0+0.5的碎片编号
无
高度(像素)=的碎片编号
6，11,38,45，49,56,59，60,65,76,93,
高度(像素)=的碎片编号
9，10，25，26，36，39，47，75，82，89，104，106，123，131，149，162，168，190，194
高度(像素)=的碎片编号
1，8，33，35，43，44，46，48，54，57，69，71，78，85，91，94，95，98，113，122，125，127，128，137，138，139，145，150，154，159，165，167，175，176，184，197，209
高度(像素)=的碎片编号
7，20，21，37，53，62，64，68，70，73，79，80，97，100，117，132，163，164，178
高度(像素)=的碎片编号
16，18，28，34，61，81，84，86，133，134，153，157，166，171，199，201，203，206
高度(像素)=的碎片编号
17,22,111,146,158,182,183,185,188,205
高度(像素)=的碎片编号
14,67，107,110,126,140,151,174,198
高度(像素)=的碎片编号
5,41,102,103,109，114,115,118,120,124,141,147,152,155,156,186,195,208
高度(像素)=的碎片编号
2,19,24,27,31,42,51,63,77,87,88,101,121,143,148,169,180,192,19
高度(像素)=的碎片编号
4，13,32,40,52,74,83,108,116,129,135,136,160,161,170,177,200
高度(像素)=的碎片编号
204
高度(像素)=的碎片编号
30
高度(像素)=的碎片编号
3,23,29,50,58,66,92,119,130,142,144,187,191,193
高度(像素)=的碎片编号
12,55,96,179,189
高度(像素)=的碎片编号
72
高度(像素)=的碎片编号
90
高度(像素)=的碎片编号
15
注：此表中的碎片编号均比实际大1，由于MATLAB编程从1开始计数。
对18类中任意一类碎片运用MATLAB编程可以画出任意一行中文，举例如图二：
图二：某一类中文文字行排列
MATLAB编程画出18行中文，对每行中文出现的奇异碎片进行剔除。通过人工干预和问题一中纵向排列法，可以得到11行有顺序的中文，举例如图三：
图三：某一行有顺序的中文文字排列
干预的时间节点及干预方式如下：
干预时间节点：MATLAB编程排出18行后，对第18行的第14张碎片、第89张、第71张、第29张、第203张进行人工干预；将高度(像素)=的第4行碎片人工干预。
干预方式：将这五个块碎片分别带入剩下的12行中文中，将每个碎片左侧和右侧边缘灰度值这12行中文碎片的边缘灰度值进行比较，找到差异度最小的连接方式；将高度(像素)=的第4行碎片按照边缘灰度人工干预成两行。
通过人工干预和MATLAB编程结合得到附件三中文碎片复原序号如下表：
表十：附件三中文碎片复原序号
49
54
65
143
186
2
57
192
178
118
190
95
11
22
129
28
91
188
141
61
19
78
67
69
99
162
96
131
79
63
116
163
72
6
177
20
52
36
168
100
76
62
142
30
41
23
147
191
50
179
120
86
195
26
1
87
18
38
148
46
161
24
35
81
189
122
103
130
193
88
167
25
8
9
105
74
71
156
83
132
200
17
80
33
202
198
15
133
170
205
85
152
165
27
60
14
128
3
159
82
199
135
12
73
160
203
169
134
39
31
51
107
115
176
94
34
84
183
90
47
121
42
124
144
77
112
149
97
136
164
127
58
43
125
13
182
109
197
16
184
110
187
66
106
150
21
173
157
181
204
139
145
29
64
111
201
5
92
180
48
37
75
55
44
206
10
104
98
172
171
59
7
208
138
158
126
68
175
45
174
0
137
53
56
93
153
70
166
32
196
89
146
102
154
114
40
151
207
155
140
185
108
117
4
101
113
194
119
123
(2) 英文碎片拼接复原模型结果
MATLAB变成可以按照高度不同将英文碎片分为22类，由于分类表格较大，将英文碎片分类表格作为附录6,。
对18类中任意一类碎片运用MATLAB编程可以画出任意一行英文，举例如图四：
图四：某一类英文文字行排列
可以画出18行中文，对每行中文出现的奇异碎片进行剔除。通过人工干预和问题一的纵向排列方法，可以得到11行有顺序的中文，举例如图五：
图五：某一行有顺序的英文排列
干预的时间节点及干预方式如下：
干预时间节点：MATLAB编程排出22行后，对第209块碎片、第8块、第62块、第180块、第5块进行人工干预；将高度(像素)=的碎片与高度(像素)=人工干预。
干预方式：将这五个块碎片分别带入剩下的12行中文中，将每个碎片左侧和右侧边缘灰度值这12行中文碎片的边缘灰度值进行比较，找到差异度最小的连接方式，发现要把编号209的碎片归入高度(像素)=，把；将高度(像素)=的碎片与高度(像素)=人工干预成一行。
得到附件四英文碎片拼接复原复序号如下表：
表十一：附件四英文碎片复原序号
191
75
11
154
190
184
2
104
180
64
106
4
149
32
204
65
39
67
147
201
148
170
196
198
94
113
164
78
103
91
80
101
26
100
6
17
28
146
86
51
107
29
40
158
186
98
24
117
150
5
59
58
92
30
37
46
127
19
194
93
141
88
121
126
105
155
114
176
182
151
22
57
202
71
165
82
159
139
1
129
63
138
153
53
38
123
120
175
85
50
160
187
97
203
31
20
41
108
116
136
73
36
207
135
15
76
43
199
45
173
79
161
179
143
208
21
7
49
61
119
33
142
168
62
169
54
192
133
118
189
162
197
112
70
84
60
14
68
174
137
195
8
47
172
156
96
23
99
122
90
185
109
132
181
95
69
167
163
166
188
111
144
206
3
130
34
13
110
25
27
178
171
42
66
205
10
157
74
145
83
134
55
18
56
35
16
9
183
152
44
81
77
128
200
131
52
125
140
193
87
89
48
72
12
177
124
0
102
115
复原图片见附录七和附录八。
六、问题三分析与模型建立、求解
6.1问题三的分析
问题三要求解决双面打印文件的碎纸片拼接复原问题。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。要求设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果。根据问题二，根据单词的残缺程度给定运用MATLAB编程和人工干预将碎纸片分为11类，在此基础上对于建立0-1规划模型:以第j块碎片右侧与第k块碎片左侧的差异度最小为目标函数，以第j块碎片右侧与第k块碎片左侧是否相连为决策变量()，以每块碎片右侧一定与某块碎片左侧相连()，每块碎片左侧一定与某块碎片右侧相连()，某块碎片a、b面一定与某块碎片a、b面中任意一面相连或不相连(或)，为约束条件，建立0-1规划模型。按以上模型可将分成的11类分别按横向排好序，得到11个长纸条。然后回到第一问的模型，可将11个长纸条按纵向排好序，即可得到复原图片。
6.2问题三碎纸片拼接复原模型建立
(1) 提取信息
第一步：提取每个碎纸片的残缺程度和正面和反面的边缘灰度值，如下：
表示第张碎纸片面的左边缘，表示第张碎纸片面的右边缘；
表示第张碎纸片面的右边缘， 表示第张碎纸片面的右边缘；
第二步：对个碎纸片，先根据单词的残缺程度进行分类。(把同一张碎纸片的正反面看成两张不同的碎纸片)，再进行人工干预，最终可以分成11类，其中每类包括38张碎纸片(通过观察可以得到每张碎片a面和b面的单词残缺程度相同，因此每类中必包括19张碎纸片的正反面)
第三步：分好类后，将以上38张中属于同一块碎纸片的正反面相邻排在一起，如：001a-001b-005a-005b-007a-007b......再重新编号，依次记为。从第一步已提取的信息中，提取每一类中：
(第张碎纸片的残缺值)
(第张碎纸片的右边缘灰度列向量)()
(第张碎纸片的左边缘灰度列向量) ()
(2)附件五碎纸片拼接复原模型
首先根据问题一定义表示表示第j张碎片右侧和第k张碎片左侧的差异度，为第j张碎片右侧与第k张碎片左侧的对应灰度值之差的绝对值的累和。公式如下：
以第j块碎片右侧与第k块碎片左侧的差异度最小为目标函数，以第j块碎片右侧与第k块碎片左侧是否相连为决策变量()，以每块碎片右侧一定与某块碎片左侧相连()，每块碎片左侧一定与某块碎片右侧相连()，某块碎片a、b面一定与某块碎片a、b面中任意一面相连或不相连(或)，为约束条件，建立0-1规划模型。
(13)
其中：为决策变量，=0时，表示第j张碎片右侧和第k张碎片左侧的不相连；
=1时，表示第j张碎片右侧和第k张碎片左侧的相连；
按以上模型可将分成的11类分别按横向排好序，得到11个长纸条。然后回到第一问的模型，可将11个长纸条按纵向排好序，即可得到复原图片。
6.3问题三碎纸片拼接复原模型求解
6.3.1模型算法
(1) 首先根据英文字母的字体特征和书写特征对每块碎纸片进行分类。
1. 每个单词最多占一行，一行占三个格子；
经计算每块碎纸片大概可以容纳三个单词，每个单词占像素点为60
2. 定义每块碎纸片的上边缘单词的残缺程度：
(14)
意义：Q=0或1，上边缘可容纳一个完整的单词。
Q越小，上边缘单词残缺程度越大。
以Q来表示每个碎片的特征。
3. 以上提供信息比较精细，将具有相同特征的分为一类，通过MATLAB编程和人工干预，可分为11类。其中：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
可以根据以上Q值结合人工干预可得分类，见下表：
表十二：附件五英文分类
Q1
164
047
020
029
081
189
110
125
108
066
078
018
183
150
155
136
147
111
140
Q2
193
159
073
021
163
130
016
031
053
177
146
202
092
190
050
035
019
171
201
Q3
205
145
082
118
015
101
071
048
062
052
023
129
119
160
095
009
033
133
051
Q4
175
039
097
132
072
093
034
161
198
181
199
087
206
173
194
083
156
11
169
Q5
103
196
112
106
055
100
113
096
049
026
099
091
104
006
123
054
134
043
109
Q6
142
024
057
102
208
064
154
179
012
028
114
017
158
058
207
013
197
184
116
Q7
187
200
086
138
131
056
94
084
137
061
186
045
121
038
030
143
98
153
042
Q8
040
122
182
068
127
188
075
128
117
167
165
008
067
046
168
172
063
195
157
Q9
060
152
147
079
059
014
124
036
120
022
089
144
025
044
178
005
192
010
076
Q10
002
203
162
041
139
070
166
149
151
001
088
170
065
191
037
090
115
107
180
Q11
135
204
141
000
027
080
074
085
176
126
003
185
069
004
077
105
032
007
148
4.对每一类运用0-1规划模型，结合MATLAB编程和人工干预进行排序，可以先将11行进行行排序，然后按照问题一列拼接复合模型排序。
6.3.2模型结果
表十三：附件五单面英文复原序号
136b
047a
020a
164b
081b
189b
029a
018b
108a
066a
110a
147b
183b
150a
155a
140a
125a
111b
078b
005a
152a
147a
060a
059a
014a
079a
144a
120b
022a
124a
192a
025b
044a
178a
076b
036a
010b
089a
143b
200b
086b
187b
131b
056b
138a
045a
137b
061b
94b
98a
121a
038a
030a
042b
084b
153a
186b
083a
039b
097a
175a
072b
093a
132b
087a
198b
181b
034a
156a
206b
173b
194b
169b
161a
11b
199b
090a
203b
162b
002b
139b
070b
041a
170b
151b
001b
166b
115b
065b
191a
037b
180a
149b
107a
088b
013a
024a
057a
142a
208b
064b
102b
017b
012a
028b
154b
197a
158a
058a
207a
116b
179b
184b
114a
035a
159a
073b
193b
163a
130a
021b
202a
053b
177b
016b
019b
092b
190b
050a
201a
031a
171b
146a
172a
122a
182b
040a
127a
188a
068b
008b
117b
167a
075b
063b
067a
046a
168a
157a
128a
195a
165b
105a
204b
141a
135b
027a
080b
000b
185a
176a
126b
074b
032a
069a
004a
077a
148b
085b
007b
003b
009b
145a
082b
205a
015b
101a
118b
129b
062a
052a
071b
033b
119a
160b
095a
051b
048a
133a
023b
054b
196b
112a
103a
055b
100b
106b
091a
049b
026b
113a
134a
104a
006a
123a
109a
096b
043a
099a
附件五双面英文复原图片见附录九。
七、模型的评价与推广
7.1模型的优点
问题一中，纵切附件一和附件二中英文，每个碎纸条都比较长，提取的边缘灰度值包含纸片的信息比较多。因此每个碎纸片边缘上的区分度比较大。按边缘差异度优化计算时，对于中英文碎纸片复原都很成功。同时我们不仅建立了0-1规划模型运用LINGO软件求解此问题，还运用了MATLAB搜索算法检验了问题一的结果，发现两种方法得到的复原序列和复原图片完全相同。问题一中完全运用了MATLAB编程和LINGO软件，没有使用人工干预。
问题二中，需要横切和纵切数据，边缘上的灰度信息已明显难以区分两个不能拼在一起的碎纸片，直接用边缘差异度优化计算时即使对于汉语误差也较大，需要的人工干预比较多。因此在双目标0-1规划问题基础上，提出了改进和简化模型，根据汉字和英文的字体特征和书写特征提取不同的高度值，依据高度值进行分类后，在将分类结果运用第一问纵向优化计算时，拼接比较成功，人工干预比较少。这说明对于每个碎纸片提取的特征信息越多，拼接时人工干预的就越少，然而相应的会增加模型的复杂度。因此信息提取要合适。同时在问题二中考虑了中文和英文的轮廓不同，因此对英文碎片复原模型进行了改进。
问题三，提出了单词残缺度定义，定量的描述了英文碎片的特征信息，构成了算法的核心内容，很好的将纵横碎片快速有效的分类，为碎片的拼接复原提供了保障。
7.2模型的缺点
问题二中文和英文碎片的复原模型存在差异，但是我们仅通过改变高度差阈值，对中文和英文碎片进行了不同的分类，这个分类方式不够精确，需要进一步思考，找到更加合理的约束条件，对中文和英文碎片进行不同的分类。同时在英文拼接复原模型中，采用的人工干预过多，说明建立的英文拼接复原模型需要进一步改进。
问题三英文双面碎片，由于聚类分类不够完美，算法实现较困难，所以采用的人工干预较多，人工进行。
7.3模型的推广
碎纸片拼接复原模型可以推广到对文物古迹、破碎物体、司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获等情况。
参考文献：
[1]罗智中，基于文字特征的文档碎纸片半自动化拼接，计算机工程与应用，201205：207页 ，2012年。
[2]龚纯，精通MATLAB最优化计算，北京：电子
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