选题

题目背景

破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。

问题提出

对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1 一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达（见【结果表达格式说明】）。

问题分析

我针对仅纵切的情况，首先将其图像进行数字化处理，并将其二
值化，分别得到图像的左右边缘用于计算边缘匹配度，其次，根据其图像左边距特征确定左边第一碎片，并基于边缘匹配度的贪心策略得到从左至右复原的结果。结果表明，我的方法对于中文情况适用性较好。

文献查找

王昕.基于图像处理的文档碎纸拼接技术研究【Z】.大学教育,2015(08):133-134.

刘威,王军民,刘克勤.基于边缘匹配的纵向碎纸拼接方法【J】.计算机与现代化,2019(02):55-59.

刘铁.基于数字图像的碎纸复原模型与算法——2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题【J】.重庆理工大学学报(自然科学),2015(03):83-88.

刘亚威,王军民,刘威.基于相关矩阵的纵向碎纸拼接方法【J】.计算机与现代化,2019(10):43-47.

 *本文基于文献2进行阐述

建立数学模型

基本假设：

假设 1.附件中所给的碎纸图片无噪声，即不缺少，不增多。

假设 2.碎纸图片可进行图像数字化处理以及二值化处理，可以直接提取图像左右边界特征。

假设 3.附件中的每一张碎纸的大小统一，图片内容清晰可见。

名词解释和符号说明：

符号	说明
i,j	图片序数
left	图片左边界矩阵
right	图片右边界矩阵
D	图片横向二值化后首列矩阵
S	相似度矩阵
A	均值
Dk	标准偏差
N	匹配度矩阵
Label	顺序列表
c	具有左边距特征的碎纸图片

方法选取的数学思想：

边缘匹配
相关度分析
贪婪策略

建模过程

用 PIL 包下的 Image 函数读取附件 1 中的碎片图片并统一其大小为 2004 行 68 列，并用矩阵存放。
提取每个图片左右边界的灰度值，并将其二值化，左边界保存在 left中，其大小为 2004 行 20 列，同理，将右边界保存在 right 中，大小与 left 同等。
求匹配度矩阵 n，具体做法为依次求 left 第 i 列 left[: , i]与 right 第 j 列right[: , j] 之间的匹配度，存放在匹配矩阵 n 中，其中 ni,j 表示第 i 张碎片的左边缘与第 j 张碎片的右边缘的匹配度，由于自身无法与自身匹配，所以将其置为 0，即当 i=j时。
求相似度矩阵 S 然后求取纸片之间的相似度，保存为相似度矩阵 S。依次求矩阵 D 中第 i 列 Di(i=1，2，…，19)与剩余 18 列 Dj(j≠i，j=1，2，…，19)的相似度，比较 Di 与 Dj 行元素相同的总行数，即为二者的相似度，结果保存为 Sij
建立顺序列表 label 用于记录排序顺序，以 c 作为首张，寻找匹配度矩阵 n[: , c]中最大匹配值，将其最大匹配值的行为设定为 r，之后求相似度矩阵 S[: , c]中非 0 所有元素的均值 A 与标准偏差 Dk。
当满足

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