写给小白的小波变换原理分析

1、前言
2、傅里叶变换扫盲
3、一个傅里叶变换所不能解决的问题
- 3.1 问题介绍
- 3.2 短时傅里叶变换STFT
4、小波变换
- 4.1 小波变换的原理
- 4.2 小波变换工作流程
- 4.3 小波变换的时间与频率分辨率

1、前言

如果你想搞懂小波，你可以不用看前言介绍。

我目前是一个学生，并不是一个数学家，我觉得啊，人对技术是需要主观上的理解，如果有一天我去问一个数学家，小波变换balabala…，他一定会用小波变换的公式来指导我学习的（太可怕了，我觉得这就是一场折磨），然而并不是所有人都需要这种学习方式。

所以我觉得，我当然需要公式，只不过我想让这些公式恰如其分的来帮助我理解小波变换，但凡不能帮助我理解的努力，我都会视它为无用功，这些无用功可能是老师的讲解、无聊的数学公式、流程化的变换步骤，直到有一天，我看到了适合我理解它的资料，然后我鼓起勇气，打算写下自己的理解。

2、傅里叶变换扫盲

傅里叶变换目的：测量信号的频率成分

工作原理：把无限长的三角函数作为基函数，在每个不同尺度下进行伸缩和拉伸，分别不断与信号相乘，计算信号与三角函数的相关性。

傅里叶变换的特质：
（1）从频域角度出发，傅里叶变换提供了信号的频率信息，意味着它告诉我们信号中每个频率存在多少，但是并没有告诉这些频率分量何时存在，当信号为平稳信号（信号频率变化不随着时间发生变化，及固定信号）时，因此无需知道这些信息；

（2）从时域角度出发，当信号是固定的时，所有频域成分始终存在，所以我们也无需知道频域成分何时存在

缺点：对时域信息无保留，无法得知它在时域上存在的位置

举一个例子说明：有一个平稳信号，存在信号的4种叠加，10HZ 25HZ 50HZ 100HZ的频率，信号绘制如下

通过四种信号的叠加最终产生的信号，出现了这样一个问题“如果在某一个时间对最终产生的信号进行检测，那么得到的最终结果到底是多少Hz?”

回答是这四种Hz都存在与每一个任意时刻。

接下来我们经过傅里叶变换

可以看到，上面的图横轴代表频率，纵轴代表存在的时间。

接下来还有另外一组实验：这时候有另一信号，调制信号，非平稳信号，0至300 ms的间隔为100 Hz正弦波，300至600 ms的间隔为50 Hz正弦波，600至800 ms的间隔为25 Hz正弦波，最后800至1000 ms的间隔为10 Hz正弦波。

经过傅里叶变换之后再得到下图

我们可以看到，实验1中的平稳信号通过傅里叶变换之后得到的结果，与实验2非平稳信号得到的结果十分类似。为什么会这样呢？两束完全不同的信号，即平稳的叠加信号与非平稳的调制信号通过傅里叶变换之后，得到的东西竟然这么相似，这该怎么解释得清楚呢？

通过观察我们知道
实验一：10HZ、25HZ 50HZ 100HZ这四种频域在时域的每一个瞬间都存在；
实验二：10HZ、25HZ 50HZ 100HZ这四种频域只在特定的时间段出现，而且每一段时间只对应着一种频率

而最终的结论是：傅里叶变化只负责统计，它说不清楚某个频域存在对时应的时间！！！

现在，我们来看傅里叶变换的公式：
X(f)=∫−∞∞x(t)⋅e−2jπftdtX(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-2 j \pi f t} dtX(f)=∫−∞∞x(t)⋅e−2jπftdt
解释一下：x(t)x(t)x(t)是信号的时域表示，后面是一个指数项，也可以被理解为一个放大器（这个放大器能让相乘后大的值更大，小的值更小），这个放大器也叫基函数，傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数，它长这样：

放大器里有一个fff（频率），这个指数项（放大器）也可以被写为：
cos(2πft)⋅sin(2πft)cos(2 \pi f t) \cdot sin(2 \pi f t)cos(2πft)⋅sin(2πft)

虽然fff是会变的，但也不妨碍把这个指数项（放大器）理解为一个常数项，程序在时域信号x里，遍历不同频率fff，得到的结果在乘以指数项（它是什么并不重要），最后，可以看到时域信号与放大器相乘，对这个信号存在的所有时间积分，最终完成了傅里叶变换。

做一个总结：
（1）傅里叶变换的指数项，能让得到的大结果更大，微小的结果更小，这样就很容易在频谱图里区分出来，到底哪些频率出现的多一些。
（2）如果这个信号的频率分量中没有包含f，那么结果就是最后的乘积为0。

你看，我反复强调这个放大器不重要，是因为我不懂它，而且，我也没必要懂它。

3、一个傅里叶变换所不能解决的问题

3.1 问题介绍

就是上面这个问题，我想再强调一下这个问题“为什么一个调制信号（非平稳信号），和一个确定信号（平稳信号）”经过同样的傅里叶变换之后，得到的结果惊人相似？

一般来说，傅里叶变换处理的信号是平稳信号（也就是周期信号），前面提到了，如果个信号被我们发现是一个平稳信号：

（1）从时域的角度出发，我们干嘛还要知道哪一个瞬间出现了多少Hz的信号呢？没有必要，这些对于平稳信号来说，什么瞬间出现什么信号已经是确定的了；

（2）从频域的角度出发，虽然傅里叶变换会告诉我们不同信号出现的对应频域，但是并没有告诉我们出现这些信号时所对应的时间，但是重要的是，它也无需告诉，因为这是一个平稳的信号，意味着特定频率只出现在特定时间。

3.2 短时傅里叶变换STFT

那么如果是一个非平稳信号呢？那不完蛋了吗？

如何把频域信息和时域信息相关联呢？

有人出了一招来解决这个问题，对一般的傅里叶变换加上时间窗口，在每个不同的窗口内计算出傅里叶变换的值，这不就大致是这样的：

这样做可以，但是也有好多的缺陷，框如果太窄，时间是可以分得清楚，但是分辨不出频率，框如果太宽，频域可是分的清楚，但是分不清时间，这样做可太难了。

之后，小波才出来了。

4、小波变换

之前就有人想到了，不是嫌时间窗口傻傻分不清时域和频域吗？那么让这个时间窗口的大小动起来，多做几次，不断积分，不就OK了么？这种想法的思路和小波如出一辙，但是小波可不是这么实现的。

4.1 小波变换的原理

想要解决的问题：如何把时域信息与频域信息组合到一起先看看STFT是怎么做的？
STFT公式：
STFTX(ω)(t,f)=∫t[x(t)⋅ω∗(t−t′)]⋅e−j2πftdtSTFT_X^{(\omega)}(t,f) = \int_t \left[ x(t) \cdot \omega^*(t - t') \right] \cdot e^{-j 2 \pi f t} dtSTFTX(ω)(t,f)=∫t[x(t)⋅ω∗(t−t′)]⋅e−j2πftdt
其中，x(t)x(t)x(t)是时域信号，后面相乘的那一项是一个窗口，后面还是我们的老朋友放大器，对信号存在的所有时间进行积分。
小波公式：
CWTxψ(τ,s)=Ψxψ(τ,s)=1∣s∣∫x(t)ψ∗(t−τs)dtCWT_x^\psi(\tau,s) = \Psi_x^\psi(\tau,s) = \frac{1}{\sqrt{|s|}} \int x(t) \psi^* \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dtCWTxψ(τ,s)=Ψxψ(τ,s)=∣s∣1∫x(t)ψ∗(st−τ)dt
小波公式里改变的东西有两个，尺度aaa、平移量τ\tauτ，尺度决定着这个小波的宽度，平移量决定时间，最前面的那个常量表示将得到的每一个结果都归一化。

4.2 小波变换工作流程

（1）首先需要一个母小波（就像傅里叶变换里确定的基函数，但是这个基函数并不像傅里叶变换一样在时域无穷延申），确定初始的母小波比例尺，小波从高频开始分析，朝低频进行，S的第一个值对应压缩程度最高的小波，随着比例尺扩大，小波也将扩大；

（2）每一个确定比例的母小波，都要依照公式，在所有时间进行积分，也就是说，在时间上移动小波，将积分结果乘以常数（1s\frac{1}{\sqrt{s}}s1）归一化；

（3）每个刻度和每个时间间隔，将计算平面内的一个点；

（4）重复步骤2-3，直到遍历完成S的区域（1-0.05），最终生成小波的三维图像；

4.3 小波变换的时间与频率分辨率

用不同的比例+不同的时间，对母小波进行改造，改造的结果分别对信号积分。

参考资料：
https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083
http://users.rowan.edu/~polikar/WTtutorial.html

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