证明：二阶行列式和三阶行列式的几何意义的证明

今天突发奇想去复习线性代数（主要是看数值分析发现自己线代忘得差不多了），然后就突然看见一句话，说是二阶行列式的几何意义就是其平行四边形的面积，三阶行列式的几何意义是其六面体的体积，尝试证明

二阶行列式

直观证明
如图可见，由于平行四边形的定义，面积由底边和底边所对应的高决定，因此在下图平移过程中，蓝色和灰色的平行四边形的面积适中保持不变的，移动到合适位置时，可以显而易见的看到 以(a,b)和(c,d)为边的平行四边形是以(a,0)和(0,d)为底边的长方形与以(c,0)和(0,b)为底边的长方形的面积之差。

图片来源 Matrix67: The Aha Moments
算式证明：平行四边形面积S = ab→×cd→\overrightarrow{ab} \times\overrightarrow{cd}ab×cd = ∣ab→∣∣cd→∣|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|∣ab∣∣cd∣ sinθsin\thetasinθ = ad−bcad-bcad−bc ?
由于ab→⋅cd→\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}ab⋅cd = ∣ab→∣∣cd→∣|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|∣ab∣∣cd∣ cosθcos\thetacosθ，即 cosθcos\thetacosθ = ab→⋅cd→∣ab→∣∣cd→∣\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|}∣ab∣∣cd∣ab⋅cd，即 sinθsin\thetasinθ = 1−cos2θ\sqrt{1-cos^2\theta}1−cos2θ = 1−(ab→⋅cd→∣ab→∣∣cd→∣)2\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|})^2}1−(∣ab∣∣cd∣ab⋅cd)2
试证明 S = ∣ab→∣∣cd→∣|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|∣ab∣∣cd∣ sinθ{1}sin\theta\{1\}sinθ{1}= ad−bc{2}ad-bc\{2\}ad−bc{2}?
式{1}\{1\}{1}可以进一步化为 ∣ab→∣∣cd→∣1−cos2θ|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|\sqrt{1-cos^2\theta}∣ab∣∣cd∣1−cos2θ = ∣ab→∣∣cd→∣1−(ab→⋅cd→∣ab→∣∣cd→∣)2|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|})^2}∣ab∣∣cd∣1−(∣ab∣∣cd∣ab⋅cd)2
式{1}\{1\}{1}，式{2}\{2\}{2}同时平方
式{1}=(∣ab→∣∣cd→∣1−(ab→⋅cd→∣ab→∣∣cd→∣)2)2=(a2+b2c2+d21−(ab→⋅cd→∣ab→∣∣cd→∣)2)2=(a2+b2c2+d21−(ac+bda2+b2c2+d2)2)2=(a2+b2c2+d21−(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2))2=((a2+b2)(c2+d2)(1−(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)))2=((a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2)2=((a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)−(a2c2+2abcd+b2d2))2=(a2d2+b2c2−2abcd)2=((ad−bc)2)2=(ad−bc)2=式{2}\begin{aligned} 式\{1\}&= (|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|})^2})^2\\ &=({\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{ab} \cdot\overrightarrow{cd}}{|\overrightarrow{ab} ||\overrightarrow{cd}|})^2})^2 \\ &=({\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}\sqrt{1-(\frac{ac+bd}{{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}})^2})^2\\ &=({\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}\sqrt{1-\frac{(ac+bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}})^2\\ &=(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)(1-\frac{(ac+bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})})^2\\ &=(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2})^2\\ &=(\sqrt{(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)-(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)})^2\\ &=(\sqrt{a^2d^2+b^2c^2-2abcd})^2\\ &=(\sqrt{(ad-bc)^2})^2 = (ad-bc)^2 = 式\{2\} \end{aligned} 式{1}=(∣ab∣∣cd∣1−(∣ab∣∣cd∣ab⋅cd)2)2=(a2+b2c2+d21−(∣ab∣∣cd∣ab⋅cd)2)2=(a2+b2c2+d21−(a2+b2c2+d2ac+bd)2)2=(a2+b2c2+d21−(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2)2=((a2+b2)(c2+d2)(1−(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2))2=((a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2)2=((a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)−(a2c2+2abcd+b2d2))2=(a2d2+b2c2−2abcd)2=((ad−bc)2)2=(ad−bc)2=式{2}

三阶行列式。。。（暂时不知道，后续懂了再码）

ps：https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491487.html
一种直观的理解思路ing

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