1.1 行列式（1）

背景

行列式出现于线性方程组的求解，对于二元一次方程组

如果系数行列式的结果不为0，即
则方程组有唯一的解

二阶、三阶行列式解法

为什么要把二阶行列式和三阶行列式单独列出来呢？
因为像上面那样简单地主对角线减去副对角线的计算方法仅限于二阶和三阶行列式使用，更高阶的行列式无法使用，等下我们验证4阶行列式。

排列、逆序、逆序数

排列：一排数据放到那就是一个排列，可以是有序的也可以是乱序的，如：1 2 3 4，又如：2 1 4 3 5。有个多少数据就称为几阶排列，上面的两个例子就分别是4阶和5阶排列，通常用j表示
逆序：以自然数的大小为基准，如果较大的值排在较小的值之前，则称两个数据之间存在逆序
逆序数：一个排列的逆序的总数量称为逆序数。逆序数为奇数称为奇排列，逆序数为偶数称为偶排列，自然排列的逆序数为0，因此自然排列为偶排列。

例如：3 2 1
首先这是一个3阶排列，3与2存在逆序，3与1存在逆序，2与1存在逆序，因此此排列的逆序数为2+1=3
计算逆序数时表示为

n阶行列式定义

不同行不同列的几个元素乘积的代数和，当j₁ j₂ …j_n为奇排列时带负号，当j₁ j₂ …j_n为偶排列时带正号。

以三阶行列式为例
可以看出来三阶行列式代数计算的正负是完全符合n阶行列式定义的

例题

从上题中可以看到，abcd为行列式的副对角线，但是最终的计算结果为+abcd，所以再次强调，主对角线和副对角线相减的计算方法仅限于而阶行列式和三阶行列式而不适用于更高阶的情况。

行列式的性质

1.行列式经过转置（行变成列，列变成行）值不变，例如

2. 某一行或某一列有公因数，可以将公因数提出，特别是当某一行或某一列全部为0时，D=-0
3. 两行或两列互换，行列式的值互为相反数；两行或两列相同时，行列式的值为0；两行或两列成比例，行列式的值为0
4. 如果某一行或某一列的每一项都是两个数的和，则可以将行列式进行拆分
以此类推，如果一个n阶行列式全部都是两项数据之和，要拆分的话就需要拆分为2ⁿ个行列式而不是2n个。

5.将某一行（或某一列）乘以k倍加到另外一行（或一列），行列式的值不变

接下来根据行列式的性质做两道例题

例题

例1
例2
例3
强调一下，这些例题的解法有很多种，不是唯一的，可以尝试一下其他的解法，比如再找出例题3的另外两种解法。

余子式和代数余子式

例题

行列式的按行展开公式和按列展开公式

按行展开

某一行的元素与各元素的代数余子式的乘积之和

例如按第一行展开

按列展开

某一行的元素与各元素的代数余子式的乘积之和

如按第一列展开

我们以三阶行列式按行展开为例子证明一下这个公式，可以自己尝试证明按列展开的公式

注记
某一行所有元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和为0；

某一列所有元素与另一列对应元素的代数余子式的乘积之和为0；

啥意思呢？上面的展开公式不是元素和代数余子式的乘积之和嘛，二者是同一行或同一列，现在我们选一行或一列作为数据元素，选另一行或另一列计算
代数余子式，二者乘积之和为0。

A_ij的值与a_ij的值无关，与a_ij的位置有关

现在我们证明一下上面的结论

重要公式

三角行列式
作者不太分得清上下三角，所以我按主对角线和副对角线区分

主对角线上元素不为0的三角行列式公式
就是主对角线元素乘积
副对角线上元素不为0的三角行列式公式
副对角线元素乘积再带一个正负号

两个特殊的拉普拉斯行列式
首先我们把一个大的行列式拆分成4个小的行列式，比如把一个4阶的行列式拆分成4个2阶行列式

当主对角线行列式的值不为0，副对角线任意一个行列式的值为0时（如下图所示）

大行列式的值为主对角线两个行列式值的乘积

当副对角线行列式的值不为0，住对角线任意一个行列式的值为0时（如下图所示）

m和n为|A||B|的阶数

本篇内容到这里就结束了，行列式计算的方式有很多，一定要多练习。

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