向量的内积外积与其几何意义

一、点乘（内积）

有向量 a⃗=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，夹角为 θ\thetaθ，内积为：
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=x1x2+y1y2

几何意义：

夹角，由 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 知，当内积 >0>0>0，θ<90∘\theta<90^\circθ<90∘，内积 <0<0<0，θ>90∘\theta>90^\circθ>90∘，内积 =0=0=0，θ=90∘\theta=90^\circθ=90∘。同时也可以计算 θ\thetaθ 的值：θ=arccosa⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}θ=arccos∣a∣∣b∣a⋅b
投影，∣a⃗∣cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣|\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}∣a∣cosθ=∣b∣a⋅b 表示 a⃗\vec aa 在 b⃗\vec bb 上的投影。
对偶性：a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣(∣b⃗∣cos⁡θ)=∣b⃗∣(∣a⃗∣cos⁡θ)\vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)a⋅b=∣a∣(∣b∣cosθ)=∣b∣(∣a∣cosθ)
∣a⃗∣(∣b⃗∣cos⁡θ)|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)∣a∣(∣b∣cosθ) 的理解是 a⃗\vec aa 的长度与 b⃗\vec bb 在 a⃗\vec aa 上的投影的乘积；
∣b⃗∣(∣a⃗∣cos⁡θ)|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)∣b∣(∣a∣cosθ) 的理解是 b⃗\vec bb 的长度与 a⃗\vec aa 在 b⃗\vec bb 上的投影的乘积；
而这两个是相等的。

二、叉乘（外积）

上面的公式，就是求三阶行列式。

几何意义：

上面如果不把 i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j,\vec ki,j,k 的具体指带入公式，而是写成 a⃗×b⃗=mi⃗+nj⃗+lk⃗\vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec ka×b=mi+nj+lk 的形式，向量 (m,n,l)(m,n,l)(m,n,l) 就是一个同时垂直 a⃗\vec aa 和 b⃗\vec bb 的向量，如下图：
对于二维向量，a⃗=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，按照上面的公式得：
a⃗×b⃗=∣x1y1x2y2∣=x1y2−x2y1\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1a×b=∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣=x1y2−x2y1，设这个数值为 mmm。
则，∣m∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta∣m∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ （θ\thetaθ为 a⃗\vec aa 和 b⃗\vec bb 的夹角）
且，|m| = a⃗\vec aa 和 b⃗\vec bb构成的平行四边形的面积，如下图：
判断向量的相对位置（顺逆时针）
a⃗\vec aa 和 b⃗\vec bb 如图所示：

如果让 a⃗\vec aa 以最小角度转到 b⃗\vec bb 的方向，是顺时针还是逆时针呢，从图中很容易看出，但怎么用数字判断呢？
仍然是 m=a⃗×b⃗=x1y2−x2y1m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1m=a×b=x1y2−x2y1，
当 m>0m>0m>0，a⃗\vec aa 逆时针转到 b⃗\vec bb 的角度 <180∘<180^\circ<180∘，
当 m<0m<0m<0，a⃗\vec aa 逆时针转到 b⃗\vec bb 的角度 >180∘>180^\circ>180∘，
当 m=0m=0m=0，a⃗\vec aa 和 b⃗\vec bb 共线。

直观记忆如下图：

m>0m>0m>0，b⃗\vec bb 在蓝色部分；
m<0m<0m<0，b⃗\vec bb 在红色部分；
m=0m=0m=0，b⃗\vec bb 在分界线上（与 a⃗\vec aa 共线）。

三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）

我们平时默认的坐标系是这样的：

但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：

可以发现，同样的 a⃗=(2,1)\vec a=(2,1)a=(2,1) 转到 b⃗=(1,2)\vec b=(1,2)b=(1,2) ，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 xxx 轴旋转到 yyy 轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
当 m>0m>0m>0，a⃗\vec aa 正旋转到 b⃗\vec bb 的角度 <180∘<180^\circ<180∘，
当 m<0m<0m<0，a⃗\vec aa 正旋转到 b⃗\vec bb 的角度 >180∘>180^\circ>180∘，
当 m=0m=0m=0，a⃗\vec aa 和 b⃗\vec bb 共线。
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。