§3 Bernoulli试验和直线上的随机游动

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§3 Bernoulli试验和直线上的随机游动
- 1.Bernoulli 概型
- 2. Bernoulli概型中的一些分布
- - 2.1 Bernoulli 分布
  - 2.2 二项分布
  - 2.3 几何分布
  - 2.4 Pascal分布
- 3. 直线上的随机游动
- - 3.1 无限制随机游动
  - 3.2 两端带有吸收壁的随机游动
- 4. 推广的 Bernoulli 试验与多项分布

1.Bernoulli 概型

定义2.3.1（Bernoulli）试验

只有两种可能结果的实验被称为 Bernoulli试验。在这类问题中，我们可将事件域取为：
F={∅,A,A‾,Ω}\mathscr{F} = \{ \empty, A,\overline{A},\Omega\}F={∅,A,A,Ω}
并称出现 AAA 为“成功”，出现 A‾\overline{A}A 为“失败”。

在某些情况中，试验的结果不止两个。但是，如果我们可以认为：出现且仅仅出现某一个特定的结果时认为其“成功”，其余任何结果都视为“失败”，则此时我们也可以把问题视为 Bernoulli 试验。

在 Bernoulli 试验中，首先需要给出下面概率:
P(A)=p,P(A‾)=qP(A) = p, \ \ P(\overline{A}) = q P(A)=p, P(A)=q
显然， p,q⩾0p,q \geqslant 0p,q⩾0，且 p+q=1.p+q = 1.p+q=1.

现在，我们考虑重复进行 nnn 次独立的 Bernoulli 试验。

定义2.3.2（nnn 重Bernoulli试验）

在每次试验中事件 AAA 和事件 A‾\overline{A}A 出现的概率都保持不变。我们称这样的试验为 n重Bernoulli试验 ，记为 EnE^{n}En.

对于 nnn 重Bernoulli试验，我们有下列的四个约定：

每次试验最多出现两个可能结果之一： AAA 或 A‾\overline{A}A ；
AAA 在每次实验中出现的概率 ppp 保持不变；
各次实验相互独立；
总共进行 nnn 次试验。

下面，我们给出 nnn 重Bernoulli 试验的概率空间：

nnn 重Bernoulli试验 EnE^{n}En 的样本点形如：
(A^1,A^1,⋯,A^n)(\hat{A}_{1},\hat{A}_{1},\cdots,\hat{A}_{n})(A^1,A^1,⋯,A^n)
其中， A^i\hat{A}_{i}A^i 是 AiA_{i}Ai 或 A‾i\overline{A}_{i}Ai ，分别表示第 iii 次试验中出现 AAA 或 A‾\overline{A}A.显见，这样的样本点总共有 2n2^{n}2n 个，这是一个有限样本空间。
为书写方便起见，我们进行如下约定：
(A1,A2,⋯,An−1,A‾n)(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n-1},\overline{A}_{n})(A1,A2,⋯,An−1,An)
表示前 n−1n-1n−1 次试验均出现事件 AAA ，而第 nnn 次试验出现事件 A‾\overline{A}A，简记为
A1A2⋯An−1A‾n.A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1}\overline{A}_{n}.A1A2⋯An−1An.
为给定 nnn 重Bernoulli试验的样本点的概率，我们主要考察在它中 AAA 或 A‾\overline{A}A 出现的次数。若其中有 lll 个 AAA ，从而有 n−ln-ln−l 个 A‾\overline{A}A ，则利用试验的独立性可知：
P(A^1A^1⋯A^n)=P(A^1)P(A^2)⋯P(A^n)P(\hat{A}_{1} \hat{A}_{1} \cdots \hat{A}_{n}) = P(\hat{A}_{1})P(\hat{A}_{2})\cdots P(\hat{A}_{n})P(A^1A^1⋯A^n)=P(A^1)P(A^2)⋯P(A^n)
=plqn−l.=p^{l}q^{n-l}.=plqn−l.
一般事件的概率由它所含样本点的概率求和得到。这样一来，我们已对 nnn 重Bernnoulli试验给定了概率空间。

Bernoulli试验是一种重要的概率模型。它是“在相同条件下进行重复试验”的一种数学模型，尤其在讨论某事件出现的频率时常用这种模型。

2. Bernoulli概型中的一些分布

2.1 Bernoulli 分布

若我们只进行一次Bernoulli试验，则这种概率分布称为 Bernoulli分布，这是最简单的情况。

2.2 二项分布

我们记 nnn 重Bernoulli试验中事件 AAA 出现 kkk 次的概率，记之为 b(k;n,p):b(k;n,p):b(k;n,p):

若以 BkB_{k}Bk 记 nnn 重Bernoulli试验中事件 AAA 恰好出现 kkk 次这一事件，而用 AiA_{i}Ai 表示第 iii 次试验中出现事件 AAA，以 A‾i\overline{A}_{i}Ai 表示第 iii 次试验中出现 A‾\overline{A}A ，则
Bk=A1A2⋯AkA‾k+1⋯A‾n+⋯+A‾1A‾2⋯A‾n−kAn−k+1⋯An.B_{k} = A_{1}A_{2} \cdots A_{k} \overline{A}_{k+1} \cdots \overline{A}_{n} + \\ \cdots +\overline{A}_{1}\overline{A}_{2} \cdots \overline{A}_{n-k}A_{n-k+1} \cdots A_{n}.Bk=A1A2⋯AkAk+1⋯An+⋯+A1A2⋯An−kAn−k+1⋯An.
右边的每一项表示在某 kkk 次试验中出现事件 AAA ，而在另外 n−kn-kn−k 次实验中出现 A‾\overline{A}A，这种项共有 (nk)\binom{n}{k}(kn) 个，而且两两互不相容。

显见右边各项所对应事件的概率均为 pkqn−kp^{k}q^{n-k}pkqn−k ，我们利用概率的可加性即得：
P(Bk)=(nk)pkqn−kP(B_{k}) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}P(Bk)=(kn)pkqn−k
即:
b(k;n,p)=(nk)pkqn−k,k=0,1,2,⋯,nb(k;n,p) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}, \ k = 0,1,2,\cdots,nb(k;n,p)=(kn)pkqn−k, k=0,1,2,⋯,n

注意到 b(k;n,p)，k=0,1,2,⋯,nb(k;n,p)， \ k = 0,1,2,\cdots,nb(k;n,p)， k=0,1,2,⋯,n 是二项式 (q+ps)n(q + ps)^{n}(q+ps)n 展开式中 sks^{k}sk 项的系数，因此上式称为 二项分布 。

特别地：
∑k=0nb(k;n,p)=∑k=0n(nk)pkqn−k=(p+q)n=1.\sum^{n}_{k=0}b(k;n,p) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = (p+q)^{n} = 1.k=0∑nb(k;n,p)=k=0∑n(kn)pkqn−k=(p+q)n=1.

2.3 几何分布

下面, 我们讨论在 Bernoulli 试验中"首次成功"出现在第 kkk 次试验的概率. 要使"首次成功"出现在第 kkk 次试验时, 必须且只需在前 k−1k-1k−1 次试验中均出现事件 A‾\overline{A}A, 而在第 kkk 次时出现 $A$, 因此该事件 (我们记为 WkW_{k}Wk ) 可表示为
Wk=P(A‾1)P(A‾2)⋯P(A‾k−1)P(Ak)=qk−1p.W_{k} = P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2})\cdots P(\overline{A}_{k-1})P(A_{k}) = q^{k-1}p.Wk=P(A1)P(A2)⋯P(Ak−1)P(Ak)=qk−1p.
记
g(k;p)=qk−1p,k=1,2,⋯g(k;p) = q^{k-1}p,\ \ \ \ k = 1,2,\cdotsg(k;p)=qk−1p, k=1,2,⋯
g(k;p)g(k;p)g(k;p) 是几何级数的一般项, 故称上式为 几何分布. 此处有;
∑k=1∞g(k;p)=∑k=1∞qk−1p=p11−q=1.\sum_{k = 1}^{\infty}g(k;p) = \sum_{k = 1}^{\infty}q^{k-1}p = p \frac{1}{1-q} = 1.k=1∑∞g(k;p)=k=1∑∞qk−1p=p1−q1=1.
几何分布给出了等待事件 AAA 出现共需要试验 kkk 次的概率. 这类概率在许多问题中都有涉及.

2.4 Pascal分布

下面, 我们讨论更为复杂的情况,也就是 Pascal 分布. 可以视其为几何分布的一种推广.

考虑 Bernoulli 试验,让我们考察要经过多长时间才会出现第 rrr 次成功:
若第 rrr 次成功发生在第 ζ\zetaζ 次试验,则必然有 ζ⩾r.\zeta \geqslant r.ζ⩾r.
下面以 CkC_{k}Ck 表示"第 rrr 次成功发生在第 kkk 次试验" 这一事件,并且记其概率为 f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p).

CkC_{k}Ck 发生当且仅当前面的 k−1k-1k−1 次试验中有 r−1r-1r−1 次成功, k−rk-rk−r 次失败,而第 kkk 次试验的结果为成功,这两个事件的概率分别为:(k−1r−1)pr−1qk−r\binom{k-1}{r-1}p^{r-1}q^{k-r}(r−1k−1)pr−1qk−r 和 ppp. 利用试验的独立性,得到:
P(Ck)=(k−1r−1)pr−1qk−r⋅p=P(Ck)=(k−1r−1)prqk−r.P(C_{k}) = \binom{k-1}{r-1}p^{r-1}q^{k-r} \cdot p = P(C_{k}) = \binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r}.P(Ck)=(r−1k−1)pr−1qk−r⋅p=P(Ck)=(r−1k−1)prqk−r.
即:
f(k;r,p)=(k−1r−1)prqk−r,k=r,r+1,⋯f(k;r,p) = \binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r}, \ \ \ k = r,r+1,\cdotsf(k;r,p)=(r−1k−1)prqk−r, k=r,r+1,⋯
注意到:
∑k=r∞f(k;r,p)=∑k=r∞(k−1r−1)prqk−r=∑l=0∞(r+l−1r−1)prql=∑l=0∞(r+l−1l)prql=∑l=0∞(−rl)(−1)lprql=pr(1−q)−r=1.\sum_{k = r}^{\infty}f(k;r,p) = \sum_{k =r}^{\infty}\binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r} \\ = \sum_{l = 0}^{\infty} \binom{r + l - 1}{r - 1}p^{r}q^{l} = \sum_{l = 0}^{\infty} \binom{r+l-1}{l}p^{r}q^{l} \\ = \sum_{l = 0}^{\infty}\binom{-r}{l}(-1)^{l}p^{r}q^{l} = p^{r}(1-q)^{-r} = 1.k=r∑∞f(k;r,p)=k=r∑∞(r−1k−1)prqk−r=l=0∑∞(r−1r+l−1)prql=l=0∑∞(lr+l−1)prql=l=0∑∞(l−r)(−1)lprql=pr(1−q)−r=1.

我们称 f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p) 为 Pascal分布. 特别地,当 r=1r = 1r=1 时,我们得到几何分布.

3. 直线上的随机游动

定义2.3.3 (随机游动)

我们考虑位于 xxx 轴上的一个质点,并限制它只能位于整数点. 在时刻 t=0t = 0t=0 时, 它处于初始位置 aa∈Za \ \ a \in \mathbb{Z}a a∈Z , 以后每个单位时间他总受到某个外力的随机作用使位置发生变化,分别以概率 ppp 和概率 q=1−pq = 1-pq=1−p 向正方向/负方向移动一个单位.

在这个问题中, 我们所感兴趣的是质点在时刻 t=nt = nt=n 时的位置. 我们称用这种方式描述的质点运动为 随机游动.

定义2.3.4(无限制随机游动和有吸收壁的随机游动)

若质点可在整个数轴的整数点上游动,则称这种随机游动为 无限制随机游动.

若在某点 ddd 设有一个吸收壁, 质点一旦到达该点则被吸收从而不再游动, 因而游动过程结束,称这种随机游动为 在 ddd 点有吸收壁的随机游动.

此外, 我们还可以相应地考虑带有 “反射壁” 及 “弹性壁” 的随机游动, 在一个随机游动中还可以存在不止一个壁.

当 p=q=12p = q = \frac{1}{2}p=q=21 时,称这样的随机游动为 对称的, 此时质点向两方向移动的可能性相等.

在自然科学中, 我们可以将大量的问题都归结为随机游动问题. 例如: 随机游动模型可作为布朗运动的初步近似. 概率论中的一些古典问题也可引导到随机游动问题. 实际上, 随机游动可以视为 Bernoulli试验的一种描述法.

下面,我们简介随机游动的两个最简单的模型:

3.1 无限制随机游动

假定质点在时刻 000 从原点出发, 以 SnS_{n}Sn 记它在时刻 t=nt = nt=n 时的位置. 为了使质点在时刻 t=nt = nt=n 时位于 kkk (kkk 也可以是负整数), 质点必须而且只需在前 nnn 次游动中向右游动的次数比向左游动的次数多 kkk 次.

若以 xxx 记它在前 nnn 次游动中向右游动的次数, yyy 记向左游动的次数,则
{x+y=nx−y=k\begin{cases} x + y = n \\ x - y = k\end{cases}{x+y=nx−y=k
即 x=n+k2x = \frac{n+k}{2}x=2n+k, 因为 xxx 是整数, 故 kkk 必须和 nnn 具有相同的奇偶性.

事件 {Sn=k}\{S_{n} = k\}{Sn=k} 发生相当要求在前 nnn 次游动中有 n+k2\frac{n+k}{2}2n+k 次向右, n−k2\frac{n-k}{2}2n−k 次向左. 利用二项分布即得:
P{Sn=k}=(nn+k2)qn−k2pn+k2.P\{S_{n} = k\} = \binom{n}{\frac{n+k}{2}}q^{\frac{n-k}{2}}p^{\frac{n+k}{2}}.P{Sn=k}=(2n+kn)q2n−kp2n+k.
当 kkk 和 nnn 奇偶性相反时, 概率为 0.0.0.

3.2 两端带有吸收壁的随机游动

假定质点在时刻 t=0t = 0t=0 时, 位于 x=ax = ax=a, 而在 x=0x = 0x=0 和 x=a+bx = a+bx=a+b 处各有一个吸收壁,我们求质点在 x=0x = 0x=0 被吸收或在 x=a+bx = a+bx=a+b 被吸收的概率. 使用的是差分方程法:

若以 qnq_{n}qn 记质点的初始位置为 nnn, 而最终在 a+ba+ba+b 点被吸收的概率, 显然;q0=0,qa+b=1q_{0} = 0,\ \ q_{a+b} = 1q0=0, qa+b=1若某时刻质点位于 x=nx = nx=n, 此处 1⩽n⩽a+b−11 \leqslant n \leqslant a+b-11⩽n⩽a+b−1, 则它要被 x=a+bx = a+bx=a+b 吸收.

有两种实现方式: 第一种是接下去的一次移动是向右的, 从而最终被 x=a+bx = a+bx=a+b 吸收; 另一种是接下去的一次移动是向左的, 而最终被 x=a+bx = a+bx=a+b 吸收. 所以, 按照全概率公式有:qn=pqn+1+qqn−1,n=1,2,⋯,a+b−1.q_{n} = pq_{n+1} + qq_{n-1}, \ \ \ n = 1,2,\cdots, a+b-1.qn=pqn+1+qqn−1, n=1,2,⋯,a+b−1.这样, 我们就得到了关于 qnq_{n}qn 的一个二阶差分方程 (上式), 再利用边界条件 q0=0,qa+b=1q_{0} = 0,\ \ q_{a+b} = 1q0=0, qa+b=1 就可以求解.
利用这个差分方程系数的特殊性, 较为方便的解法是将原差分方程改写为:p(qn+1−qn)=q(qn−qn−1),n=1,2,⋯,a+b−1.p(q_{n+1} - q_{n}) = q(q_{n} - q_{n-1}),\ \ \ n = 1,2,\cdots,a+b-1.p(qn+1−qn)=q(qn−qn−1), n=1,2,⋯,a+b−1.
下面分两种情况求解;

r=1r=1r=1, 即 p=q=12p=q=\frac{1}{2}p=q=21, 也即对称随机游动的场合:

此时 cn=cn−1.c_{n} = c_{n-1}.cn=cn−1.
因此, 若记
qn+1−qn=qn−qn−1=⋯=q1−q0=dq_{n+1}-q_{n} = q_{n}-q_{n-1} = \cdots =q_{1}-q_{0} = dqn+1−qn=qn−qn−1=⋯=q1−q0=d
则
qn=q0+ndq_{n} = q_{0} + ndqn=q0+nd
由于 q0=0,qa+b=1q_{0} = 0, \ q_{a+b} = 1q0=0, qa+b=1, 故有:
qn=na+bq_{n} = \frac{n}{a+b}qn=a+bn
特别地:
qa=aa+b.q_{a} = \frac{a}{a+b}.qa=a+ba.

r≠1r \neq 1r=1, 即 p≠qp \neq qp=q 的场合:

此时
cn=rcn−1=r2cn−2=⋯=rnc0.c_{n} = rc_{n-1} = r^{2}c_{n-2} = \cdots = r^{n}c_{0}.cn=rcn−1=r2cn−2=⋯=rnc0.
从而:
qn−q0=∑k=0n−1(qk+1−qk)=∑k=0n−1ck=∑k=0n−1rkc0=1−rn1−rc0.q_{n}-q_{0} = \sum^{n-1}_{k=0}(q_{k+1}-q_{k}) = \sum_{k=0}^{n-1}c_{k} = \sum_{k=0}^{n-1}r^{k}c_{0} = \frac{1-r^{n}}{1-r}c_{0}.qn−q0=k=0∑n−1(qk+1−qk)=k=0∑n−1ck=k=0∑n−1rkc0=1−r1−rnc0.
由于 q0=0,qa+b=1q_{0} = 0, \ q_{a+b} = 1q0=0, qa+b=1, 故有:
1−ra+b1−rc0=1\frac{1-r^{a+b}}{1-r}c_{0} = 11−r1−ra+bc0=1
因此
qn=1−rn1−ra+bq_{n} = \frac{1-r^{n}}{1-r^{a+b}}qn=1−ra+b1−rn
特别地:
qa=1−rn1−ra+b=1−(qp)a1−(qp)a+b.q_{a} = \frac{1-r^{n}}{1-r^{a+b}} = \frac{1-(\frac{q}{p})^{a}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}.qa=1−ra+b1−rn=1−(pq)a+b1−(pq)a.

若以 pnp_{n}pn 记质点从 nnn 出发而在 000 点被吸收的概率,则同样可列出差分方程:
pn=ppn+1+qpn+1,n=1,2,⋯,a+b−1.p_{n} = pp_{n+1} + qp_{n+1},\ \ \ n = 1,2,\cdots, a+b-1.pn=ppn+1+qpn+1, n=1,2,⋯,a+b−1.
及边界条件:
p0=1,pa+b=0.p_{0} = 1,\ \ p_{a+b} = 0.p0=1, pa+b=0.
类似地可以求得:当 p=q=12p = q = \frac{1}{2}p=q=21 时:
pa=aa+bp_{a} = \frac{a}{a+b}pa=a+ba
而在 p≠qp \neq qp=q 的情况下:
pa=1−(pq)b1−(pq)a+b=(qp)a−(qp)a+b1−(qp)a+b.p_{a} = \frac{1-(\frac{p}{q})^{b}}{1-(\frac{p}{q})^{a+b}} = \frac{(\frac{q}{p})^{a}-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}.pa=1−(qp)a+b1−(qp)b=1−(pq)a+b(pq)a−(pq)a+b.
在任何情况下,均有:
pa+pb=1.p_{a} + p_{b} = 1.pa+pb=1.
也就是说, 随机游动的质点最终必被两个端点之一所吸收.

4. 推广的 Bernoulli 试验与多项分布

二项分布可以被很容易地推广到 nnn 次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形. 将每次试验的可能结果记为 A1,A2,⋯,ArA_{1},A_{2},\cdots, A_{r}A1,A2,⋯,Ar, 而 P(Ai)=pi,i=1,2,⋯,r,P(A_{i}) = p_{i},\ i = 1,2,\cdots,r,P(Ai)=pi, i=1,2,⋯,r, 且
p1+p2+⋯+pr=1,pi⩾0.p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = 1, \ \ p_{i} \geqslant 0.p1+p2+⋯+pr=1, pi⩾0.
当 r=2r = 2r=2 时, 我们即得到 Bernoulli 试验.

在这种推广的 Bernoulli 试验中,不难推出在 nnn 次试验中 AiA_{i}Ai 出现 kik_{i}ki 次 (i=1,2,⋯,ri = 1,2,\cdots,ri=1,2,⋯,r) 的概率为;
n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr.\frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}.k1!k2!⋯kr!n!p1k1p2k2⋯prkr.
此处 ki⩾0k_{i} \geqslant 0ki⩾0, 且 k1+k2+⋯+kr=n.k_{1} + k_{2} + \cdots +k_{r} = n.k1+k2+⋯+kr=n.
上式称为 多项分布, 因其为(p1+p2+⋯+pr)n(p_{1} + p_{2} + \cdots +p_{r})^{n}(p1+p2+⋯+pr)n 展开式的一般项,且知:
∑ki⩾0k1+k2+⋯+kr=1n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr.\sum_{k_{i} \geqslant 0 \ \ \ k_{1} + k{2} + \cdots + k{r} = 1} \frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}.ki⩾0 k1+k2+⋯+kr=1∑k1!k2!⋯kr!n!p1k1p2k2⋯prkr.
显然,多项分布是二项分布的推广, 二项分布的许多结论均和多项分布的场合平行. 以后, 我们只详细讨论二项分布的有关问题.

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2.3 伯努利试验和直线上的随机游动