§3 Bernoulli试验和直线上的随机游动

文章目录

  • §3 Bernoulli试验和直线上的随机游动
    • 1.Bernoulli 概型
    • 2. Bernoulli概型中的一些分布
      • 2.1 Bernoulli 分布
      • 2.2 二项分布
      • 2.3 几何分布
      • 2.4 Pascal分布
    • 3. 直线上的随机游动
      • 3.1 无限制随机游动
      • 3.2 两端带有吸收壁的随机游动
    • 4. 推广的 Bernoulli 试验与多项分布

1.Bernoulli 概型

定义2.3.1(Bernoulli)试验

只有两种可能结果的实验被称为 Bernoulli试验。在这类问题中,我们可将事件域取为:
F={∅,A,A‾,Ω}\mathscr{F} = \{ \empty, A,\overline{A},\Omega\}F={∅,A,A,Ω}
并称出现 AAA 为“成功”,出现 A‾\overline{A}A 为“失败”。

在某些情况中,试验的结果不止两个。但是,如果我们可以认为:出现且仅仅出现某一个特定的结果时认为其“成功”,其余任何结果都视为“失败”,则此时我们也可以把问题视为 Bernoulli 试验。

在 Bernoulli 试验中,首先需要给出下面概率:
P(A)=p,P(A‾)=qP(A) = p, \ \ P(\overline{A}) = q P(A)=p,  P(A)=q
显然, p,q⩾0p,q \geqslant 0p,q⩾0,且 p+q=1.p+q = 1.p+q=1.

现在,我们考虑重复进行 nnn 次独立的 Bernoulli 试验。

定义2.3.2(nnn 重Bernoulli试验)

在每次试验中事件 AAA 和事件 A‾\overline{A}A 出现的概率都保持不变。我们称这样的试验为 n重Bernoulli试验 ,记为 EnE^{n}En.

对于 nnn 重Bernoulli试验,我们有下列的四个约定:

  1. 每次试验最多出现两个可能结果之一: AAA 或 A‾\overline{A}A ;
  2. AAA 在每次实验中出现的概率 ppp 保持不变;
  3. 各次实验相互独立;
  4. 总共进行 nnn 次试验。

下面,我们给出 nnn 重Bernoulli 试验的概率空间:

nnn 重Bernoulli试验 EnE^{n}En 的样本点形如:
(A^1,A^1,⋯,A^n)(\hat{A}_{1},\hat{A}_{1},\cdots,\hat{A}_{n})(A^1​,A^1​,⋯,A^n​)
其中, A^i\hat{A}_{i}A^i​ 是 AiA_{i}Ai​ 或 A‾i\overline{A}_{i}Ai​ ,分别表示第 iii 次试验中出现 AAA 或 A‾\overline{A}A.显见,这样的样本点总共有 2n2^{n}2n 个,这是一个有限样本空间。
为书写方便起见,我们进行如下约定:
(A1,A2,⋯,An−1,A‾n)(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n-1},\overline{A}_{n})(A1​,A2​,⋯,An−1​,An​)
表示前 n−1n-1n−1 次试验均出现事件 AAA ,而第 nnn 次试验出现事件 A‾\overline{A}A,简记为
A1A2⋯An−1A‾n.A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1}\overline{A}_{n}.A1​A2​⋯An−1​An​.
为给定 nnn 重Bernoulli试验的样本点的概率,我们主要考察在它中 AAA 或 A‾\overline{A}A 出现的次数。若其中有 lll 个 AAA ,从而有 n−ln-ln−l 个 A‾\overline{A}A ,则利用试验的独立性可知:
P(A^1A^1⋯A^n)=P(A^1)P(A^2)⋯P(A^n)P(\hat{A}_{1} \hat{A}_{1} \cdots \hat{A}_{n}) = P(\hat{A}_{1})P(\hat{A}_{2})\cdots P(\hat{A}_{n})P(A^1​A^1​⋯A^n​)=P(A^1​)P(A^2​)⋯P(A^n​)
=plqn−l.=p^{l}q^{n-l}.=plqn−l.
一般事件的概率由它所含样本点的概率求和得到。这样一来,我们已对 nnn 重Bernnoulli试验给定了概率空间。

Bernoulli试验是一种重要的概率模型。它是“在相同条件下进行重复试验”的一种数学模型,尤其在讨论某事件出现的频率时常用这种模型。

2. Bernoulli概型中的一些分布

2.1 Bernoulli 分布

若我们只进行一次Bernoulli试验,则这种概率分布称为 Bernoulli分布,这是最简单的情况。

2.2 二项分布

我们记 nnn 重Bernoulli试验中事件 AAA 出现 kkk 次的概率,记之为 b(k;n,p):b(k;n,p):b(k;n,p):

若以 BkB_{k}Bk​ 记 nnn 重Bernoulli试验中事件 AAA 恰好出现 kkk 次这一事件,而用 AiA_{i}Ai​ 表示第 iii 次试验中出现事件 AAA,以 A‾i\overline{A}_{i}Ai​ 表示第 iii 次试验中出现 A‾\overline{A}A ,则
Bk=A1A2⋯AkA‾k+1⋯A‾n+⋯+A‾1A‾2⋯A‾n−kAn−k+1⋯An.B_{k} = A_{1}A_{2} \cdots A_{k} \overline{A}_{k+1} \cdots \overline{A}_{n} + \\ \cdots +\overline{A}_{1}\overline{A}_{2} \cdots \overline{A}_{n-k}A_{n-k+1} \cdots A_{n}.Bk​=A1​A2​⋯Ak​Ak+1​⋯An​+⋯+A1​A2​⋯An−k​An−k+1​⋯An​.
右边的每一项表示在某 kkk 次试验中出现事件 AAA ,而在另外 n−kn-kn−k 次实验中出现 A‾\overline{A}A,这种项共有 (nk)\binom{n}{k}(kn​) 个,而且两两互不相容。

显见右边各项所对应事件的概率均为 pkqn−kp^{k}q^{n-k}pkqn−k ,我们利用概率的可加性即得:
P(Bk)=(nk)pkqn−kP(B_{k}) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}P(Bk​)=(kn​)pkqn−k
即:
b(k;n,p)=(nk)pkqn−k,k=0,1,2,⋯,nb(k;n,p) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}, \ k = 0,1,2,\cdots,nb(k;n,p)=(kn​)pkqn−k, k=0,1,2,⋯,n

注意到 b(k;n,p),k=0,1,2,⋯,nb(k;n,p), \ k = 0,1,2,\cdots,nb(k;n,p), k=0,1,2,⋯,n 是二项式 (q+ps)n(q + ps)^{n}(q+ps)n 展开式中 sks^{k}sk 项的系数,因此上式称为 二项分布

特别地:
∑k=0nb(k;n,p)=∑k=0n(nk)pkqn−k=(p+q)n=1.\sum^{n}_{k=0}b(k;n,p) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = (p+q)^{n} = 1.k=0∑n​b(k;n,p)=k=0∑n​(kn​)pkqn−k=(p+q)n=1.

2.3 几何分布

下面, 我们讨论在 Bernoulli 试验中"首次成功"出现在第 kkk 次试验的概率. 要使"首次成功"出现在第 kkk 次试验时, 必须且只需在前 k−1k-1k−1 次试验中均出现事件 A‾\overline{A}A, 而在第 kkk 次时出现 $A$, 因此该事件 (我们记为 WkW_{k}Wk​ ) 可表示为
Wk=P(A‾1)P(A‾2)⋯P(A‾k−1)P(Ak)=qk−1p.W_{k} = P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2})\cdots P(\overline{A}_{k-1})P(A_{k}) = q^{k-1}p.Wk​=P(A1​)P(A2​)⋯P(Ak−1​)P(Ak​)=qk−1p.

g(k;p)=qk−1p,k=1,2,⋯g(k;p) = q^{k-1}p,\ \ \ \ k = 1,2,\cdotsg(k;p)=qk−1p,    k=1,2,⋯
g(k;p)g(k;p)g(k;p) 是几何级数的一般项, 故称上式为 几何分布. 此处有;
∑k=1∞g(k;p)=∑k=1∞qk−1p=p11−q=1.\sum_{k = 1}^{\infty}g(k;p) = \sum_{k = 1}^{\infty}q^{k-1}p = p \frac{1}{1-q} = 1.k=1∑∞​g(k;p)=k=1∑∞​qk−1p=p1−q1​=1.
几何分布给出了等待事件 AAA 出现共需要试验 kkk 次的概率. 这类概率在许多问题中都有涉及.

2.4 Pascal分布

下面, 我们讨论更为复杂的情况,也就是 Pascal 分布. 可以视其为几何分布的一种推广.

考虑 Bernoulli 试验,让我们考察要经过多长时间才会出现第 rrr 次成功:
若第 rrr 次成功发生在第 ζ\zetaζ 次试验,则必然有 ζ⩾r.\zeta \geqslant r.ζ⩾r.
下面以 CkC_{k}Ck​ 表示"第 rrr 次成功发生在第 kkk 次试验" 这一事件,并且记其概率为 f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p).

CkC_{k}Ck​ 发生当且仅当前面的 k−1k-1k−1 次试验中有 r−1r-1r−1 次成功, k−rk-rk−r 次失败,而第 kkk 次试验的结果为成功,这两个事件的概率分别为:(k−1r−1)pr−1qk−r\binom{k-1}{r-1}p^{r-1}q^{k-r}(r−1k−1​)pr−1qk−r 和 ppp. 利用试验的独立性,得到:
P(Ck)=(k−1r−1)pr−1qk−r⋅p=P(Ck)=(k−1r−1)prqk−r.P(C_{k}) = \binom{k-1}{r-1}p^{r-1}q^{k-r} \cdot p = P(C_{k}) = \binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r}.P(Ck​)=(r−1k−1​)pr−1qk−r⋅p=P(Ck​)=(r−1k−1​)prqk−r.
即:
f(k;r,p)=(k−1r−1)prqk−r,k=r,r+1,⋯f(k;r,p) = \binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r}, \ \ \ k = r,r+1,\cdotsf(k;r,p)=(r−1k−1​)prqk−r,   k=r,r+1,⋯
注意到:
∑k=r∞f(k;r,p)=∑k=r∞(k−1r−1)prqk−r=∑l=0∞(r+l−1r−1)prql=∑l=0∞(r+l−1l)prql=∑l=0∞(−rl)(−1)lprql=pr(1−q)−r=1.\sum_{k = r}^{\infty}f(k;r,p) = \sum_{k =r}^{\infty}\binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r} \\ = \sum_{l = 0}^{\infty} \binom{r + l - 1}{r - 1}p^{r}q^{l} = \sum_{l = 0}^{\infty} \binom{r+l-1}{l}p^{r}q^{l} \\ = \sum_{l = 0}^{\infty}\binom{-r}{l}(-1)^{l}p^{r}q^{l} = p^{r}(1-q)^{-r} = 1.k=r∑∞​f(k;r,p)=k=r∑∞​(r−1k−1​)prqk−r=l=0∑∞​(r−1r+l−1​)prql=l=0∑∞​(lr+l−1​)prql=l=0∑∞​(l−r​)(−1)lprql=pr(1−q)−r=1.

我们称 f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p) 为 Pascal分布. 特别地,当 r=1r = 1r=1 时,我们得到几何分布.

3. 直线上的随机游动

定义2.3.3 (随机游动)

我们考虑位于 xxx 轴上的一个质点,并限制它只能位于整数点. 在时刻 t=0t = 0t=0 时, 它处于初始位置 aa∈Za \ \ a \in \mathbb{Z}a  a∈Z , 以后每个单位时间他总受到某个外力的随机作用使位置发生变化,分别以概率 ppp 和概率 q=1−pq = 1-pq=1−p 向正方向/负方向移动一个单位.

在这个问题中, 我们所感兴趣的是质点在时刻 t=nt = nt=n 时的位置. 我们称用这种方式描述的质点运动为 随机游动.

定义2.3.4(无限制随机游动和有吸收壁的随机游动)

若质点可在整个数轴的整数点上游动,则称这种随机游动为 无限制随机游动.

若在某点 ddd 设有一个吸收壁, 质点一旦到达该点则被吸收从而不再游动, 因而游动过程结束,称这种随机游动为 在 ddd 点有吸收壁的随机游动.

此外, 我们还可以相应地考虑带有 “反射壁” 及 “弹性壁” 的随机游动, 在一个随机游动中还可以存在不止一个壁.

当 p=q=12p = q = \frac{1}{2}p=q=21​ 时,称这样的随机游动为 对称的, 此时质点向两方向移动的可能性相等.

在自然科学中, 我们可以将大量的问题都归结为随机游动问题. 例如: 随机游动模型可作为布朗运动的初步近似. 概率论中的一些古典问题也可引导到随机游动问题. 实际上, 随机游动可以视为 Bernoulli试验的一种描述法.

下面,我们简介随机游动的两个最简单的模型:

3.1 无限制随机游动

假定质点在时刻 000 从原点出发, 以 SnS_{n}Sn​ 记它在时刻 t=nt = nt=n 时的位置. 为了使质点在时刻 t=nt = nt=n 时位于 kkk (kkk 也可以是负整数), 质点必须而且只需在前 nnn 次游动中向右游动的次数比向左游动的次数多 kkk 次.

若以 xxx 记它在前 nnn 次游动中向右游动的次数, yyy 记向左游动的次数,则
{x+y=nx−y=k\begin{cases} x + y = n \\ x - y = k\end{cases}{x+y=nx−y=k​
即 x=n+k2x = \frac{n+k}{2}x=2n+k​, 因为 xxx 是整数, 故 kkk 必须和 nnn 具有相同的奇偶性.

事件 {Sn=k}\{S_{n} = k\}{Sn​=k} 发生相当要求在前 nnn 次游动中有 n+k2\frac{n+k}{2}2n+k​ 次向右, n−k2\frac{n-k}{2}2n−k​ 次向左. 利用二项分布即得:
P{Sn=k}=(nn+k2)qn−k2pn+k2.P\{S_{n} = k\} = \binom{n}{\frac{n+k}{2}}q^{\frac{n-k}{2}}p^{\frac{n+k}{2}}.P{Sn​=k}=(2n+k​n​)q2n−k​p2n+k​.
当 kkk 和 nnn 奇偶性相反时, 概率为 0.0.0.

3.2 两端带有吸收壁的随机游动

假定质点在时刻 t=0t = 0t=0 时, 位于 x=ax = ax=a, 而在 x=0x = 0x=0 和 x=a+bx = a+bx=a+b 处各有一个吸收壁,我们求质点在 x=0x = 0x=0 被吸收或在 x=a+bx = a+bx=a+b 被吸收的概率. 使用的是差分方程法:

若以 qnq_{n}qn​ 记质点的初始位置为 nnn, 而最终在 a+ba+ba+b 点被吸收的概率, 显然;q0=0,qa+b=1q_{0} = 0,\ \ q_{a+b} = 1q0​=0,  qa+b​=1若某时刻质点位于 x=nx = nx=n, 此处 1⩽n⩽a+b−11 \leqslant n \leqslant a+b-11⩽n⩽a+b−1, 则它要被 x=a+bx = a+bx=a+b 吸收.

有两种实现方式: 第一种是接下去的一次移动是向右的, 从而最终被 x=a+bx = a+bx=a+b 吸收; 另一种是接下去的一次移动是向左的, 而最终被 x=a+bx = a+bx=a+b 吸收. 所以, 按照全概率公式有:qn=pqn+1+qqn−1,n=1,2,⋯,a+b−1.q_{n} = pq_{n+1} + qq_{n-1}, \ \ \ n = 1,2,\cdots, a+b-1.qn​=pqn+1​+qqn−1​,   n=1,2,⋯,a+b−1.这样, 我们就得到了关于 qnq_{n}qn​ 的一个二阶差分方程 (上式), 再利用边界条件 q0=0,qa+b=1q_{0} = 0,\ \ q_{a+b} = 1q0​=0,  qa+b​=1 就可以求解.
利用这个差分方程系数的特殊性, 较为方便的解法是将原差分方程改写为:p(qn+1−qn)=q(qn−qn−1),n=1,2,⋯,a+b−1.p(q_{n+1} - q_{n}) = q(q_{n} - q_{n-1}),\ \ \ n = 1,2,\cdots,a+b-1.p(qn+1​−qn​)=q(qn​−qn−1​),   n=1,2,⋯,a+b−1.
下面分两种情况求解;

  1. r=1r=1r=1, 即 p=q=12p=q=\frac{1}{2}p=q=21​, 也即对称随机游动的场合:

此时 cn=cn−1.c_{n} = c_{n-1}.cn​=cn−1​.
因此, 若记
qn+1−qn=qn−qn−1=⋯=q1−q0=dq_{n+1}-q_{n} = q_{n}-q_{n-1} = \cdots =q_{1}-q_{0} = dqn+1​−qn​=qn​−qn−1​=⋯=q1​−q0​=d

qn=q0+ndq_{n} = q_{0} + ndqn​=q0​+nd
由于 q0=0,qa+b=1q_{0} = 0, \ q_{a+b} = 1q0​=0, qa+b​=1, 故有:
qn=na+bq_{n} = \frac{n}{a+b}qn​=a+bn​
特别地:
qa=aa+b.q_{a} = \frac{a}{a+b}.qa​=a+ba​.

  1. r≠1r \neq 1r​=1, 即 p≠qp \neq qp​=q 的场合:

此时
cn=rcn−1=r2cn−2=⋯=rnc0.c_{n} = rc_{n-1} = r^{2}c_{n-2} = \cdots = r^{n}c_{0}.cn​=rcn−1​=r2cn−2​=⋯=rnc0​.
从而:
qn−q0=∑k=0n−1(qk+1−qk)=∑k=0n−1ck=∑k=0n−1rkc0=1−rn1−rc0.q_{n}-q_{0} = \sum^{n-1}_{k=0}(q_{k+1}-q_{k}) = \sum_{k=0}^{n-1}c_{k} = \sum_{k=0}^{n-1}r^{k}c_{0} = \frac{1-r^{n}}{1-r}c_{0}.qn​−q0​=k=0∑n−1​(qk+1​−qk​)=k=0∑n−1​ck​=k=0∑n−1​rkc0​=1−r1−rn​c0​.
由于 q0=0,qa+b=1q_{0} = 0, \ q_{a+b} = 1q0​=0, qa+b​=1, 故有:
1−ra+b1−rc0=1\frac{1-r^{a+b}}{1-r}c_{0} = 11−r1−ra+b​c0​=1
因此
qn=1−rn1−ra+bq_{n} = \frac{1-r^{n}}{1-r^{a+b}}qn​=1−ra+b1−rn​
特别地:
qa=1−rn1−ra+b=1−(qp)a1−(qp)a+b.q_{a} = \frac{1-r^{n}}{1-r^{a+b}} = \frac{1-(\frac{q}{p})^{a}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}.qa​=1−ra+b1−rn​=1−(pq​)a+b1−(pq​)a​.

若以 pnp_{n}pn​ 记质点从 nnn 出发而在 000 点被吸收的概率,则同样可列出差分方程:
pn=ppn+1+qpn+1,n=1,2,⋯,a+b−1.p_{n} = pp_{n+1} + qp_{n+1},\ \ \ n = 1,2,\cdots, a+b-1.pn​=ppn+1​+qpn+1​,   n=1,2,⋯,a+b−1.
及边界条件:
p0=1,pa+b=0.p_{0} = 1,\ \ p_{a+b} = 0.p0​=1,  pa+b​=0.
类似地可以求得:当 p=q=12p = q = \frac{1}{2}p=q=21​ 时:
pa=aa+bp_{a} = \frac{a}{a+b}pa​=a+ba​
而在 p≠qp \neq qp​=q 的情况下:
pa=1−(pq)b1−(pq)a+b=(qp)a−(qp)a+b1−(qp)a+b.p_{a} = \frac{1-(\frac{p}{q})^{b}}{1-(\frac{p}{q})^{a+b}} = \frac{(\frac{q}{p})^{a}-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}.pa​=1−(qp​)a+b1−(qp​)b​=1−(pq​)a+b(pq​)a−(pq​)a+b​.
在任何情况下,均有:
pa+pb=1.p_{a} + p_{b} = 1.pa​+pb​=1.
也就是说, 随机游动的质点最终必被两个端点之一所吸收.

4. 推广的 Bernoulli 试验与多项分布

二项分布可以被很容易地推广到 nnn 次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形. 将每次试验的可能结果记为 A1,A2,⋯,ArA_{1},A_{2},\cdots, A_{r}A1​,A2​,⋯,Ar​, 而 P(Ai)=pi,i=1,2,⋯,r,P(A_{i}) = p_{i},\ i = 1,2,\cdots,r,P(Ai​)=pi​, i=1,2,⋯,r, 且
p1+p2+⋯+pr=1,pi⩾0.p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = 1, \ \ p_{i} \geqslant 0.p1​+p2​+⋯+pr​=1,  pi​⩾0.
当 r=2r = 2r=2 时, 我们即得到 Bernoulli 试验.

在这种推广的 Bernoulli 试验中,不难推出在 nnn 次试验中 AiA_{i}Ai​ 出现 kik_{i}ki​ 次 (i=1,2,⋯,ri = 1,2,\cdots,ri=1,2,⋯,r) 的概率为;
n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr.\frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}.k1​!k2​!⋯kr​!n!​p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​.
此处 ki⩾0k_{i} \geqslant 0ki​⩾0, 且 k1+k2+⋯+kr=n.k_{1} + k_{2} + \cdots +k_{r} = n.k1​+k2​+⋯+kr​=n.
上式称为 多项分布, 因其为(p1+p2+⋯+pr)n(p_{1} + p_{2} + \cdots +p_{r})^{n}(p1​+p2​+⋯+pr​)n 展开式的一般项,且知:
∑ki⩾0k1+k2+⋯+kr=1n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr.\sum_{k_{i} \geqslant 0 \ \ \ k_{1} + k{2} + \cdots + k{r} = 1} \frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}.ki​⩾0   k1​+k2+⋯+kr=1∑​k1​!k2​!⋯kr​!n!​p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​.
显然,多项分布是二项分布的推广, 二项分布的许多结论均和多项分布的场合平行. 以后, 我们只详细讨论二项分布的有关问题.

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