导数与微分常用公式(基础)

一。导数的定义；

1.导数的定义：
导数其实就是函数某点附近的 0000\frac{0}{0} 型极限
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
左导数
f′(x−)=limh→0−f(x+h)−f(x)hf′(x−)=limh→0−f(x+h)−f(x)hf'(x-)=\lim_{h \to 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
右导数
f′(x+)=limh→0+f(x+h)−f(x)hf′(x+)=limh→0+f(x+h)−f(x)hf'(x+)=\lim_{h \to 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

连续的定义：
函数在x0可导，(左导数=右导数)，则连续，反之不成立。

几何意义：切线的斜率

2.高阶导数：
莱布尼兹公式：
(uv)(n)=∑ni=0Cinu(i)v(n−i)(uv)(n)=∑i=0nCniu(i)v(n−i)(uv)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}u^{(i)}v^{(n-i)}

二项分布公式
重复n次，发生i次的概率
P(X=i)=Cinp(i)q(n−i)P(X=i)=Cnip(i)q(n−i)P(X=i)=C_{n}^{i}p^{(i)}q^{(n-i)}

3.求导方法
四则运算
(u±v)′=u′±v′(u±v)′=u′±v′ (u\pm v)'=u'\pm v'
(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'

uv=u′v−uv′v2,(v≠0)uv=u′v−uv′v2,(v≠0)\frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2} , (v\neq 0)

4.反函数的求导法则
函数 y=f(x) ==》 x=f(y)
反函数 y=f−1(x)y=f−1(x)y=f^{-1}(x)
反函数的导数 y′=[f−1(x)]′=1f′(y)y′=[f−1(x)]′=1f′(y)y' =[ f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}

5.复合函数的导数
y=f[g(x)]
dydx=dydududxdydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}
y′(x)=f′(u)g′(x)y′(x)=f′(u)g′(x)y'(x)=f'(u)g'(x)

二.常用基本初等函数的导数公式

(C)’=0 (C为常数)
(xa)′=axa−1(xa)′=axa−1(x^{a})'=a x^{a-1}
=====
(ex)′=ex(ex)′=ex(e^x)' = e^x
(ax)′=axlna(ax)′=axlna(a^x)' = a^x lna , (a>0 且 a!=1)
=====
(ln|x|)′=1x(ln|x|)′=1x(ln|x|)' = \frac{1}{x}
(loga|x|)′=1xlna(loga|x|)′=1xlna (log_a|x|)' = \frac{1}{xlna} , (a>0 且 a!=1)
====
(sinx)’=cosx
(cosx)’=-sinx
(tanx)′=1cos2x=sec2x(tanx)′=1cos2x=sec2x(tanx)'=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x
(cotx)′=−1sin2x=csc2x(cotx)′=−1sin2x=csc2x(cotx)'=-\frac{1}{sin^2x}=csc^2x
(secx)′=secx∗tanx(secx)′=secx∗tanx(secx)' = secx*tanx
(secx=1cosxsecx=1cosxsecx=\frac{1}{cosx})
(cscx)′=−cscx∗cotx(cscx)′=−cscx∗cotx(cscx)' = -cscx*cotx
(cscx=1sinxcscx=1sinxcscx=\frac{1}{sinx})

=====
(arcsinx)′=11−x2√(arcsinx)′=11−x2(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(arccosx)′=−11−x2√(arccosx)′=−11−x2(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(arctanx)′=11+x2(arctanx)′=11+x2(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}
(arccotx)′=−11+x2(arccotx)′=−11+x2(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}

===========

三.常用高阶导数公式
(ex)(n)=ex(ex)(n)=ex (e^x)^{(n)} = e^x
(sinx)(n)=sin(x+nπ2)(sinx)(n)=sin(x+nπ2) (sinx)^(n)=sin(x+\frac{n\pi}{2})
(cosx)(n)=cos(x+nπ2)(cosx)(n)=cos(x+nπ2) (cosx)^(n)=cos(x+\frac{n\pi}{2})
[ln(1+x)](n)=(−1)n−1∗(n−1)!(1+x)n[ln(1+x)](n)=(−1)n−1∗(n−1)!(1+x)n[ln(1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}*\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}
(xa)n=a(a−1)...(a−n+1)xa−n(xa)n=a(a−1)...(a−n+1)xa−n(x^a)^{n} = a(a-1)...(a-n+1)x^{a-n}

莱布尼兹公式：
(u∗v)(n)=∑nk=0Cknu(k)v(n−k)(u∗v)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)(u*v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}

二项分布公式
重复n次，发生k次的概率
P(X=k)=Cknp(k)q(n−k)P(X=k)=Cnkp(k)q(n−k)P(X=k)=C_{n}^{k}p^{(k)}q^{(n-k)}

四.利用微分做近似计算的常用公式
基本公式
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x
Δy≈f′(x0)ΔxΔy≈f′(x0)Δx\Delta y\approx f'(x_{0})\Delta x

常用公式
（|x|→0|x|→0|x| \to 0 时）
ex≈1+xex≈1+xe^x\approx 1+x
ln(1+x)≈xln(1+x)≈xln(1+x)\approx x
(1+x)a≈1+ax(1+x)a≈1+ax(1+x)^a \approx 1+ax
sinx≈xsinx≈xsinx \approx x
tanx≈xtanx≈xtanx \approx x
arcsinx≈xarcsinx≈xarcsinx \approx x
cosx≈1−x22cosx≈1−x22cosx \approx 1-\frac{x^2}{2}

五.微分基本公式

d(C) = 0
d(xa)=axa−1dxd(xa)=axa−1dxd(x^{a})=a x^{a-1}dx
=====
d(ex)=exdxd(ex)=exdxd(e^x) = e^xdx
d(ax)=lna∗axdxd(ax)=lna∗axdxd(a^x) = lna*a^x dx , (a>0 且 a!=1)
=====
d(ln|x|)=1xdxd(ln|x|)=1xdxd(ln|x|) = \frac{1}{x}dx
d(loga|x|)=1xlnadxd(loga|x|)=1xlnadx d(log_a|x|) = \frac{1}{xlna} dx , (a>0 且 a!=1)
====
d(sinx)=cosx dx
d(cosx)=-sinx dx
d(tanx)=1cos2xdx=sec2xdxd(tanx)=1cos2xdx=sec2xdxd(tanx)=\frac{1}{cos^2x}dx=sec^2x dx
d(cotx)=−1sin2xdx=csc2xdxd(cotx)=−1sin2xdx=csc2xdxd(cotx)=-\frac{1}{sin^2x} dx=csc^2x dx
d(secx)=secx∗tanxdxd(secx)=secx∗tanxdxd(secx) = secx*tanxdx
(secx=1cosxsecx=1cosxsecx=\frac{1}{cosx})
d(cscx)=−cscx∗cotxdxd(cscx)=−cscx∗cotxdxd(cscx) = -cscx*cotx dx
(cscx=1sinxcscx=1sinxcscx=\frac{1}{sinx})

=====
d(arcsinx)=11−x2√dxd(arcsinx)=11−x2dxd(arcsinx) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx
d(arccosx)=−11−x2√dxd(arccosx)=−11−x2dxd(arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx
d(arctanx)=11+x2dxd(arctanx)=11+x2dxd(arctanx)=\frac{1}{1+x^2} dx
d(arccotx)=−11+x2dxd(arccotx)=−11+x2dxd(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2} dx

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