解决数据拟合问题最重要方法是最小二乘法和回归分析。如，我们需要从一组测定的数据（例如N个点（xi，yi）（i=0,1，…，m））去求得自变量 x 和因变量 y 的一个近似解表达式 y=f（x），这就是由给定的 N 个点（xi，yi）（i=0,1，…，m）求数据拟合的问题。（注意数据拟合和数据插值是不同的，举个例子：因为测量数据往往不可避免地带有测试误差，而插值多项式又通过所有的点（xi，yi），这样就使插值多项式保留了这些误差，从而影响逼近精度，使得插值效果不理想）
所以使用最小二乘法曲线拟合法：即寻求已知函数的一个逼近函数y=f（x），使得逼近函数从总体与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小，而又不一定通过全部的点（xi，yi），这个时候就需要使用最小二乘法曲线拟合法。
数据拟合的具体做法是：对给定的数据（xi，yi）（i=0,1，…，m），在取定的函数类ϕ\phiϕ中使误差ri=p(xi)−yi(i=0,1,…,m)r_{i}=p\left(x_{i}\right)-y_{i}(i=0,1, \ldots, m)ri​=p(xi​)−yi​(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
[∑i=0mri2=∑i=0m[p(xi−yi)]2]min⁡\left[\sum_{i=0}^{m} r_{i}^{2}=\sum_{i=0}^{m}\left[p\left(x_{i}-y_{i}\right)\right]^{2}\right]_{\min }[i=0∑m​ri2​=i=0∑m​[p(xi​−yi​)]2]min​
从几何意义讲，即寻求与给定点 xi−yi(i=0,1,…,m)x_{i}-y_{i}(i=0,1, \ldots, m)xi​−yi​(i=0,1,…,m) 的距离平方和为最小的曲线y=p（x）。函数p（x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p（x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类 ϕ\phiϕ 可有不同的选取方法。
MATLAB工具箱中提供了最小二乘拟合函数 polyfit() -->多项式曲线拟合
具体调用格式有三种：

  1. P = polyfit(X,Y,N)
  2. [P,S] = polyfit(X,Y,N)
  3. [P,S,MU] = polyfit(X,Y,N)

（1）P = polyfit(X,Y,N) 返回次数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最小二乘方式中）。p 中的系数按降幂排列，p 的长度为 n+1.
其中 X 为输入的向量x，Y 为得到的函数值，N 表示拟合的最高次数，返回的P值为拟合的多项式：

P(1)×Xn+P(2)×Xn−1+…+P(N)×X+P(N+1)P(1) \times X^{n}+P(2) \times X^{n-1}+\ldots+P(N) \times X+P(N+1)P(1)×Xn+P(2)×Xn−1+…+P(N)×X+P(N+1)

（2） [P,S] = polyfit(X,Y,N)还返回一个结构体 S，S可用作 polyval 的输入来获取误差估计值（S为由范德蒙矩阵的QR分解的R分量）。
其中 X 为输入的向量x，Y 为得到的函数值，N 表示拟合的最高次数，返回的P值为拟合的多项式：

P(1)×Xn+P(2)×Xn−1+…+P(N)×X+P(N+1)P(1) \times X^{n}+P(2) \times X^{n-1}+\ldots+P(N) \times X+P(N+1)P(1)×Xn+P(2)×Xn−1+…+P(N)×X+P(N+1)

（3）[P,S,MU] = polyfit(X,Y,N)还返回 mu，mu是一个二元素向量，包含中心化值和缩放值。mu(1) 是 mean(x)，mu(2) 是 std(x)。使用这些值时，polyfit 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差：

x^=x−xˉσx\hat{x}=\frac{x-\bar{x}}{\sigma_{x}}x^=σx​x−xˉ​

这种中心化和缩放变换可同时改善多项式和拟合算法的数值属性。

下面来看一些具体的例子：（来源于帮助文档，改编）

  • 将多项式与三角函数拟合：
    在区间 [0,4*pi] 中沿余弦曲线生成 10 个等间距的点。
>> x = linspace(0,4*pi,10);
>> y = cos(x);

使用 polyfit 将一个 7 次多项式与这些点拟合。

>> p = polyfit(x,y,7);

在更精细的网格上计算多项式并绘制结果图。

>> x1 = linspace(0,4*pi);
>> y1 = polyval(p,x1);
>> figure
>> plot(x,y,'o')
>> hold on
>> plot(x1,y1,'m')
>> hold off

运行结果如下：

  • 将多项式与点集拟合
    创建一个由区间 [0,1] 中的 5 个等间距点组成的向量，并计算这些点处的 y（x）= (2+x)^-1 。
>> x=0:0.2:1;   //或者写成  >> x=0:0.2:1;  也可以实现相同的作用
>> y = 1./(2+x);

将 4 次多项式与 5 个点拟合。通常，对于 n 个点，可以拟合 n-1 次多项式以便完全通过这些点。

>> p = polyfit(x,y,4);

在由 0 和 2 之间的点组成的更精细网格上计算原始函数和多项式拟合。

>> x1 = linspace(0,2);
>> y1 = 1./(2+x1);
>> f1 = polyval(p,x1);

在更大的区间 [0,2] 中绘制函数值和多项式拟合，其中包含用于获取以圆形突出显示的多项式拟合的点。多项式拟合在原始 [0,1] 区间中的效果较好，但在该区间外部很快与拟合函数出现差异。

>> figure
>> plot(x,y,'o')
>> hold on
>> plot(x1,y1)
>> plot(x1,f1,'b--')
>> legend('y','y1','f1')

运行结果如下：

  • 对误差函数进行多项式拟合：
    首先生成 x 点的向量，在区间 [0,1.5*pi] 内等间距分布；然后计算这些点处的 erf(x)。
    注：erf 是误差函数，也称高斯误差函数。
x = (0:0.10:1.5*pi)';y=erf(x);

确定6次逼近多项式的系数。

p=polyfit(x,y,6)

p =

0.0019   -0.0259    0.1242   -0.1785   -0.3442    1.2684   -0.0095

为了查看拟合情况如何，在各数据点处计算多项式，并生成说明数据、拟合和误差的一个表。

f=polyval(p,x);
T=table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})

T =

48×4 table

 X        Y          Fit         FitError
___    _______    __________    ___________0          0    -0.0094811      0.0094811
0.1    0.11246       0.11375     -0.0012876
0.2     0.2227       0.22919     -0.0064911
0.3    0.32863       0.33619     -0.0075599
0.4    0.42839       0.43431      -0.005914
0.5     0.5205       0.52334     -0.0028408
0.6    0.60386       0.60326     0.00059392
0.7     0.6778        0.6742      0.0035981
0.8     0.7421       0.73643      0.0056695
0.9    0.79691       0.79033      0.00657941     0.8427       0.83637      0.0063316
1.1    0.88021        0.8751      0.0051058
1.2    0.91031       0.90712       0.003194
1.3    0.93401       0.93307     0.00093826
1.4    0.95229       0.95361      -0.001323
1.5    0.96611        0.9694     -0.0032971
...

在该区间中，插值与实际值非常符合。创建一个绘图，以显示在该区间以外，外插值与实际数据值如何快速偏离。

 x1=(0:0.10:2*pi)';y1=erf(x1);f1=polyval(p,x1);plot(x,y,'o')plot(x1,y1,'-')hold onplot(x1,y1,'-')plot(x1,f1,'g-')axis([0  5.5  0  3])

  • 使用中心化和缩放改善数值属性
    创建一个由 1750 - 2000 年的人口数据组成的表，并绘制数据点。
 year = (1750:25:2000)';pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';T = table(year, pop)

T =

11×2 table

year       pop
____    _________1750     7.91e+08
1775     8.56e+08
1800     9.78e+08
1825     1.05e+09
1850    1.262e+09
1875    1.544e+09
1900     1.65e+09
1925    2.532e+09
1950    6.122e+09
1975     8.17e+09
2000    1.156e+10

 plot(year,pop,'square')


使用带三个输入的 polyfit 拟合一个使用中心化和缩放的 5 次多项式，这将改善问题的数值属性。polyfit 将 year 中的数据以 0 为进行中心化，并缩放为具有标准差 1，这可避免在拟合计算中出现病态的 Vandermonde （范德蒙）矩阵。

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

使用带四个输入的 polyval，根据缩放后的年份 (year-mu(1))/mu(2) 计算 p。绘制结果对原始年份的图。

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)

  • 简单线性回归
    将一个简单线性回归模型与一组离散二维数据点拟合。
    创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。对数据进行一次多项式拟合。
>> x=1:40;
>> y=0.4*x-1.5*randn(1,60);
注意：这里 矩阵维度必须一致。 所以第二行代码的输入是错误的y=0.4*x-1.5*randn(1,40);p=polyfit(x,y,1);

计算在 x 中的点处拟合的多项式 p。用这些数据绘制得到的线性回归模型。

 f = polyval(p,x); plot(x,y,'o',x,f,'-')legend('data','linear fit')

  • 具有误差估计值的线性回归
    将一个线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，其中包含预测区间为 95% 的估计值。
    创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。使用 polyfit 对数据进行一次多项式拟合。指定两个输出以返回线性拟合的系数以及误差估计结构体。
x = 1:100;
y = -0.3*x + 2*randn(1,100);
[p,S] = polyfit(x,y,1);

计算以 p 为系数的一次多项式在 x 中各点处的拟合值。将误差估计结构体指定为第三个输入，以便 polyval 计算标准误差的估计值。标准误差估计值在 delta 中返回。

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

绘制原始数据、线性拟合和 95% 预测区间 y±2Δy \pm 2 \Deltay±2Δ。

plot(x,y,'go')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')