240升水,运往干旱地区,最多携带60升,前进1公里耗1升,最多可赚多少钱
1.故事起源
有一人有240升水,他想运往干旱地区赚钱。有几个限制条件如下:
每次最多携带60升
每前进1公里须耗水1升(均匀耗水)
水的价格与路程成正比,出发地为0元/升,前进10公里处为10元/升
他必须安全返回出发地
那么应该采取怎样的策略,赚取最多的钱?
2.分析
总共240L,每次最多60L,那就分4次运输。假设前进X公里处卖掉:
则收益为:.
这样就变成了一个二次函数求最值问题,画出函数图像如下:
得到结论:分4次往返运输,每次装满60L,前进15公里的地方卖掉,再返回。
总共获利:。
那这样问题貌似已经完美解决了,网上其它的分析基本也都是这样,但题目貌似有一些歧义,接着我们继续往下分析。
3.深入思考
题意描述是一个数学模型,但其实我们也可以反向建模。以前都是将生活场景抽象成数学模型,这次我们尝试找一个对应的生活场景。
上面我们通过计算得到了结论,但应该怎么去理解呢,它是否具备可解释性?
这样来理解:水在原产地没有价格差异,所以不论有多少,收益都为0。运输到了外地产生了价格差,但运输成本也会增加。
那收益为什么会存在一个确定的最大值呢?
比如在成都产的小麦,为啥不运输到纽约去卖呢。先不考虑其它的客观条件,只通过计算经济收益来考虑。
先来研究一下价格、运输成本与距离的关系。
通过上面的函数图像可以发现:
收益=价格*剩余数量,即收益=,这不是线性关系,因为货物数量在越来越少
只看成本,则成本=损耗数量*价格,即成本=,也不是线性增长,因为成本是损耗的货物本身,而货物本身的价格在增长,所以成本以非线性上升
如果理想场景,价格与距离成正比,运输成本也与距离成正比,且货物数量不变。
则收益为:利差*数量
那么收益与距离成正比,距离越远,收益就越高。如果从成都运输小麦到纽约符合这个模型,那么肯定应该把小麦卖得越远越好,但实际生活中,有很多其它的因素,不满足线性关系。
比如到纽约的小麦价格涨10倍,但成本却要涨100倍,这样收益就会越来越低,甚至亏损。
4.对生活场景的思考
4.1 场景1
平时外出经常需要打车。打车人数一般不会变,单价固定,而司机的成本也就考虑油费,这时司机的收益可以假设与里程成正比,那么跑得越远,收益越多。
所以你打车的时候会发现,他们都喜欢跑距离远的单子,近距离一般都不喜欢接。
4.2 场景2
收益=利差*数量,通过这个公式,可以看出要提高收益,就增大利差或者增大销售数量。所以为啥iphone要卖向全球,因为能提高销售数量,至于利差也不一定要比原产地高,但整体收益肯定会增加。从市场经济的角度来说,理论上有更高利润,那么这个经济行为就可以发生。
4.3 场景3
回到之前的问题,随着距离的增加,货物越来越少,最后可能是一个大货车运一瓶矿泉水,也可以理解为运输效率越来越低,成本自然就越来越高。
比如网购的快递运输。快递在长途运输是用大货车,但最后派送却是用的电瓶车,你应该没见过一个大货车装几个包裹开你家门口吧,快递公司都是有很多的中转站。
那么之前的问题,是否也可以用中转的方式呢,这就是有歧义的地方。题目没有说必须一次运输到目标点再全部卖掉,接着我们继续分析。
5.中转
为了解决运输效率低,我们肯定是希望货车尽量的满载,因为限制最多60L,那就尽量装满60L,所以可以在中途建立中转站。
中转站建设规则:
240L,要运输4次,如果有181L,也要运输4次,所以保证每个中转站都还剩60的倍数
在到每一个中转站途中,选择最大的收益卖掉,最后比较取全局最优
到达一个中转站,如果不卖,就要将返程的水放这里,等返回的时候再装上
5.1 第一站,7.5公里
运输4次,最佳卖点是7.5公里的位置,最多可得1350元。如果不卖就往返7次,留7.5L在此处,继续往前转运,返程再装回7.5L。
5.2 第二站,10公里
在站点卖掉,最多可得2100元。
5.3 第三站,15公里
在距离第二站6.25公里处卖掉,最多可得2256.25元。
如果在第3站站点卖掉得60*32.5=1950,往后只会更低。所以按上面方式转运,最多可得2256.25元。
ok,我们成功的把一个简单的问题复杂化了,perfect。
6.总结
简单的问题也要多深入思考,全方位360度无死角,就有可能发现很多不一样的结论。生活中的各种场景都可以和严谨的数学联系起来,关键是能否找出他们的本质规律。
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