高等数学基础03：函数的连续性

2024-06-02 02:47:36

函数的连续性

设函数 y = f (x)在点x。的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋近于零时，相应函数的改变量△y也趋近于零，则称y = f (x)在点 x。处连续。

函数在点处连续，需要满足的条件：

函数在该点处有定义
函数在该点处极限 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0}f(x)limx→x0f(x)存在
极限值等于函数值f(x0)f(x_0)f(x0)

函数
在 x=0x=0x=0处的连续性？

函数的间断点

函数f(x)f(x)f(x) 在点x=x0x=x_0x=x0处不连续，则称其为函数的间断点。
3种情况为间断点：
1.函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0 处没有定义。
2.极限lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0}f(x)limx→x0f(x) 不存在
3.满足前两点，但是lim⁡x→x0≠f(x)\lim_{x \to x_0} \neq f(x)limx→x0=f(x)

当x→x0x \to x_0x→x0时，f(x)f(x)f(x) 的左右极限存在，则称x0x_0x0为 f(x)f(x)f(x)的第一类间断点，否则为第二类间断点。
跳跃间断点：lim⁡x→0−f(x)\lim_{x \to 0^-}f(x)limx→0−f(x) 与 lim⁡x→0+\lim_{x \to 0^+}limx→0+均存在，但不相等。
可去间断点：lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0f(x)存在但不等于f(x0)f(x_0)f(x0)

函数f(x)=x2−1x2−3x+2的连续型？函数f(x) = \frac{x^2 -1}{x^2 - 3x +2}的连续型？函数f(x)=x2−3x+2x2−1的连续型？

$在点 x=2,x=1x=2,x=1x=2,x=1处没有定义。$

在X=1处是可去间断点在X=1处是可去间断点在X=1处是可去间断点

在X=2是第二类间断点在X=2是第二类间断点在X=2是第二类间断点

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