python实现最小二乘法进行线性拟合

基本原理

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。

对于线性拟合，最小二乘法存在解析解，其矩阵形式的公式如下所示：
XB=Y⇒B=(XTX)−1XTY\mathbf{X B}=\mathbf{Y} \Rightarrow \mathbf{B}=\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T} \mathbf{Y} XB=Y⇒B=(XTX)−1XTY

代码实现

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltX = np.array([[0,1],[1,1],[2,1],[3,1],[4,1]])
y = np.array([0,2,1,2,4])Xt = X.transpose()
Xs = np.matmul(Xt,X)
Xsi = np.linalg.inv(Xs)Wstar = np.matmul(np.matmul(Xsi,Xt),y)
print(Wstar)
Xhat = Wstar[0]*y + Wstar[1]
print(Xhat)Xp = X[:,0]
plt.scatter(Xp,y)
plt.plot(Xhat,y)
plt.show()

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